频域滤波有优势，也有劣势。频域滤波是线性运算。
需要证明它满足线性运算的核心定义：叠加性 和齐次性。
简单来说，假设输入信号 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2 经过频域滤波后的输出分别是 y 1 y_1 y1 和 y 2 y_2 y2。如果将这两个信号先按任意比例 a a a 和 b b b 混合，得到新信号 a x 1 + b x 2 ax_1 + bx_2 ax1+bx2，再送入同一个频域滤波器。如果最终得到的输出结果，恰好等于 a y 1 + b y 2 ay_1 + by_2 ay1+by2，那么就证明了频域滤波是线性运算。
下面通过数学推导来严格证明这一点：
1. 频域滤波的数学表达
频域滤波的核心原理基于傅里叶变换的卷积定理 。在时域（或空域）中，滤波是输入信号与滤波器核的卷积运算；而在频域中，这个复杂的卷积运算被转化为简单的乘法运算。
设频域滤波器为 H H H，输入信号 x x x 的傅里叶变换为 F { x } \mathcal{F}\{x\} F{x}，那么频域滤波的输出 Y Y Y 可以表示为：
Y = F { x } ⋅ H Y = \mathcal{F}\{x\} \cdot H Y=F{x}⋅H
最终的时域输出信号 y y y 则是 Y Y Y 的傅里叶逆变换：
y = F − 1 { F { x } ⋅ H } y = \mathcal{F}^{-1}\{ \mathcal{F}\{x\} \cdot H \} y=F−1{F{x}⋅H}
2. 线性运算的证明过程
现在，将混合信号 z = a x 1 + b x 2 z = ax_1 + bx_2 z=ax1+bx2 作为输入送入该滤波器。
第一步：求混合信号的频域表示
根据傅里叶变换本身的线性性质 （即 F { a f + b g } = a F { f } + b F { g } \mathcal{F}\{af + bg\} = a\mathcal{F}\{f\} + b\mathcal{F}\{g\} F{af+bg}=aF{f}+bF{g}），混合信号 z z z 的频谱等于各自频谱的线性组合：
F { z } = F { a x 1 + b x 2 } = a F { x 1 } + b F { x 2 } \mathcal{F}\{z\} = \mathcal{F}\{ax_1 + bx_2\} = a\mathcal{F}\{x_1\} + b\mathcal{F}\{x_2\} F{z}=F{ax1+bx2}=aF{x1}+bF{x2}
第二步：在频域进行滤波（相乘）
将混合信号的频谱与滤波器传递函数 H H H 相乘，得到输出信号的频谱 Z o u t Z_{out} Zout：
Z o u t = F { z } ⋅ H = ( a F { x 1 } + b F { x 2 } ) ⋅ H Z_{out} = \mathcal{F}\{z\} \cdot H = (a\mathcal{F}\{x_1\} + b\mathcal{F}\{x_2\}) \cdot H Zout=F{z}⋅H=(aF{x1}+bF{x2})⋅H
根据乘法分配律展开：
Z o u t = a ( F { x 1 } ⋅ H ) + b ( F { x 2 } ⋅ H ) Z_{out} = a(\mathcal{F}\{x_1\} \cdot H) + b(\mathcal{F}\{x_2\} \cdot H) Zout=a(F{x1}⋅H)+b(F{x2}⋅H)
第三步：傅里叶逆变换回到时域
对 Z o u t Z_{out} Zout 进行傅里叶逆变换，得到最终的输出信号 z o u t z_{out} zout。由于傅里叶逆变换同样具有线性性质，可以将常数 a a a 和 b b b 提取出来：
z o u t = F − 1 { Z o u t } = F − 1 { a ( F { x 1 } ⋅ H ) + b ( F { x 2 } ⋅ H ) } z_{out} = \mathcal{F}^{-1}\{Z_{out}\} = \mathcal{F}^{-1}\{ a(\mathcal{F}\{x_1\} \cdot H) + b(\mathcal{F}\{x_2\} \cdot H) \} zout=F−1{Zout}=F−1{a(F{x1}⋅H)+b(F{x2}⋅H)}
z o u t = a ⋅ F − 1 { F { x 1 } ⋅ H } + b ⋅ F − 1 { F { x 2 } ⋅ H } z_{out} = a \cdot \mathcal{F}^{-1}\{ \mathcal{F}\{x_1\} \cdot H \} + b \cdot \mathcal{F}^{-1}\{ \mathcal{F}\{x_2\} \cdot H \} zout=a⋅F−1{F{x1}⋅H}+b⋅F−1{F{x2}⋅H}
第四步：得出结论
观察上式， F − 1 { F { x 1 } ⋅ H } \mathcal{F}^{-1}\{ \mathcal{F}\{x_1\} \cdot H \} F−1{F{x1}⋅H} 正是 x 1 x_1 x1 单独滤波后的输出 y 1 y_1 y1，同理另一项为 y 2 y_2 y2。因此：
z o u t = a y 1 + b y 2 z_{out} = ay_1 + by_2 zout=ay1+by2
证明总结：
通过上述推导可以看出，对混合信号 ( a x 1 + b x 2 ) (ax_1 + bx_2) (ax1+bx2) 进行频域滤波的结果，完全等于各自信号单独滤波结果 ( y 1 , y 2 ) (y_1, y_2) (y1,y2) 的相同线性组合 ( a y 1 + b y 2 ) (ay_1 + by_2) (ay1+by2)。因此，频域滤波是一个严格的线性运算。