题解：AT_abc459_e

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Problem Statement

给你一棵有根树 T T T，共有 N N N 个顶点，顶点编号依次是顶点 1 1 1、顶点 2 2 2、 ... \dots ...、顶点 N N N。顶点 1 1 1 是树 T T T 的根，且顶点 i i i（ 2 ≤ i ≤ N 2 \le i \le N 2≤i≤N）的父节点为 P i P_i Pi。

此外，顶点 i i i（ 1 ≤ i ≤ N 1 \le i \le N 1≤i≤N）上有 C i C_i Ci 颗糖果。所有 ( C 1 + C 2 + ⋯ + C N ) (C_1+C_2+\dots+C_N) (C1+C2+⋯+CN) 颗糖果都是彼此不同的。

高桥给了 N N N 只松鼠一些任务。具体来说，第 i i i 只松鼠（ 1 ≤ i ≤ N 1 \le i \le N 1≤i≤N）的任务是：

从以顶点 i i i 为根的子树中，选出并收集 D i D_i Di 颗糖果。

不同的松鼠不能拿同一颗糖果。请输出所有可能的选法数量，对 998244353 998244353 998244353 取模。

注意，即使最终选出的糖果集合相同，只要拿糖果的松鼠不同，也算作不同的选法。

如果无法满足所有松鼠的要求，输出 0 0 0。

Constraints

2 ≤ N ≤ 2 × 10 5 2 \le N \le 2 \times 10^5 2≤N≤2×105
1 ≤ P i ≤ N 1 \le P_i \le N 1≤Pi≤N
1 ≤ C i ≤ 10 9 1 \le C_i \le 10^9 1≤Ci≤109
1 ≤ D i 1 \le D_i 1≤Di
D 1 + D 2 + ⋯ + D N ≤ 10 6 D_1+D_2+\dots+D_N \le 10^6 D1+D2+⋯+DN≤106
所有输入均为整数。
T T T 是以顶点 1 1 1 为根的树。

Input

输入从标准输入读取，格式如下：

N N N

P 2 P_2 P2 P 3 P_3 P3 ... \dots ... P N P_N PN

C 1 C_1 C1 C 2 C_2 C2 ... \dots ... C N C_N CN

D 1 D_1 D1 D 2 D_2 D2 ... \dots ... D N D_N DN

Output

输出所有可能的选法数量，对 998244353 998244353 998244353 取模。

Solution

从叶子到根节点求答案。记 subtree i \text{subtree}i subtreei 为以 i i i 为根的子树。对于节点 i i i，需要在 ∑ j ∈ subtree i , j ≠ i C j \sum{j \in \text{subtree}i,j \neq i} C_j ∑j∈subtreei,j=iCj 颗糖果中选择 D i D_i Di 颗，而每颗糖果不同，所以方案数即为 ( ∑ j ∈ subtree i , j ≠ i C j D i ) \binom{\sum{j \in \text{subtree}i,j \neq i} C_j}{D_i} (Di∑j∈subtreei,j=iCj) 种，再将每个节点的方案数相乘。组合数与 ∑ j ∈ subtree i , j ≠ i C j \sum{j \in \text{subtree}_i,j \neq i} C_j ∑j∈subtreei,j=iCj 可预处理。计算组合数时若运算不合法，即无解。

Code

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=2e5+5,mod=998244353;
int n;
int p[maxn],c[maxn],d[maxn];
int cs[maxn],ds[maxn];
vector<int> g[maxn];
int ans;
int quick_pow(int x,int y){
    int res=1;
    while(y){
        if(y&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod,y>>=1;
    }
    return res;
}
void dfs(int x){
    cs[x]=c[x],ds[x]=d[x];
    for(auto i:g[x]){
        dfs(i);
        cs[x]+=cs[i],ds[x]+=ds[i];
    }
}
int cpr(int x,int y){
    int res=1;
    for(int i=x-y+1;i<=x;i++){
        res=res*(i%mod)%mod;
    }
    for(int i=1;i<=y;i++){
        res=res*quick_pow(i%mod,mod-2)%mod;
    }
    return res;
}
signed main(){
    ans=1;
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        cin>>p[i];
        g[p[i]].push_back(i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>c[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>d[i];
    }
    dfs(1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans*=cpr(cs[i]-ds[i]+d[i],d[i]),ans%=mod;
    }
    cout<<ans<<"\n";
    return 0;
}