设世界坐标系为 WWW，机体坐标系为 BBB。
设有一自由向量p\mathbf{p}p,其在机体系下的坐标为：
pB=(p1,p2,p3)T\mathbf{p}^B = (p_1, p_2, p_3)^TpB=(p1,p2,p3)T
记机体系的三个基向量分别为 xB\mathbf{x}_BxB、yB\mathbf{y}_ByB、zB\mathbf{z}_BzB,则该向量用无人机机体系的基向量表示为：
p=p1⋅xB+p2⋅yB+p3⋅zB\mathbf{p} =p_1\cdot \mathbf{x}_B + p_2\cdot \mathbf{y}_B + p_3\cdot \mathbf{z}_Bp=p1⋅xB+p2⋅yB+p3⋅zB
之后把上面这个几何等式的每一项，都用世界系的坐标来表达：
pW=p1⋅xBW+p2⋅yBW+p3⋅zBW\mathbf{p}^W = p_1\cdot \mathbf{x}_B^W + p_2\cdot \mathbf{y}_B^W + p_3\cdot \mathbf{z}_B^WpW=p1⋅xBW+p2⋅yBW+p3⋅zBW
其中 xBW\mathbf{x}_B^WxBW、yBW\mathbf{y}_B^WyBW、zBW\mathbf{z}_B^WzBW分别为机体系的基向量xB\mathbf{x}_BxB、yB\mathbf{y}_ByB、zB\mathbf{z}_BzB在世界系下的坐标表达。pW\mathbf{p}^WpW为向量p\mathbf{p}p在世界系下的坐标表示。
再写成矩阵形式pW=xBWyBWzBWp1p2p3 \mathbf{p}^W = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_B^W & \mathbf{y}_B^W & \mathbf{z}_B^W \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_1\\ p_2\\ p_3 \end{bmatrix} pW=xBWyBWzBW p1p2p3
记矩阵RBW=xBWyBWzBWR_B^W = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_B^W & \mathbf{y}_B^W & \mathbf{z}_B^W \end{bmatrix}RBW=xBWyBWzBW
则结合上式可得
pW=RBW⋅pB\mathbf{p}^W = R_B^W \cdot \mathbf{p}^BpW=RBW⋅pB
观察该式的左右两侧可得，该式将向量p\mathbf{p}p在机体系中的坐标表示转换为在世界系中的坐标表示： RBWR_B^WRBW 是从机体系到世界系的旋转矩阵。
RBWR_B^WRBW 的三列，就是机体系的三个基向量在世界系下的坐标，也就是机体系三个坐标轴相对于世界系的方向。