第五节：论反射系统的光锥
21. 当一个矩形光线系统（即光线被一系列曲面垂直截断的系统）在镜面上反射时，我们已经知道反射系统也是矩形的；光线被等作用量曲面垂直截断（第三节）；因此反射光线与坐标轴夹角的余弦等于某个函数(V)的偏微分系数，我称之为系统的特征函数（Characteristic Function），因为系统的所有性质都可以从它推导出来。我们现在要进行的就是这种推导；在我们研究整个反射系统之前，我们先来研究各种部分系统的某些性质，这些部分系统是通过建立光线之间的任意给定关系形成的，即只考虑从镜面上任意给定曲线反射的光线。
22. 这种部分系统是一个第一类系统；即这种系统中一条光线的位置仅依赖于一个任意元素；例如，依赖于镜面上假设曲线的任意一个坐标。如果我们从光线的两个方程中消去这唯一元素，我们将得到一个曲面方程，它是我们所考虑的部分系统光线的轨迹。这个曲面的形式取决于部分系统光线发出的镜面上的任意曲线；因此，根据我们能在给定镜面上描绘的曲线的无限多样性，我们将有由给定反射系统光线组成的无限多个曲面。由于这些曲面具有许多重要性质，使得我们有必要给它们一个名称，我将称它们为光锥（Pencils）：将光锥定义为第一类系统（即只有一个任意常数的系统）光线的轨迹。
23. 虽然正如我们所见，可以由给定反射系统的光线形成无限多个光锥，但所有光锥都有某些共同性质，使得它们可以被包含在一个共同的解析表达式中。因为，如果我们用(V)表示给定反射系统的特征函数 20.，使得：
α=∂V∂x,β=∂V∂y,γ=∂V∂z(M)\alpha = \frac{\partial V}{\partial x}, \quad \beta = \frac{\partial V}{\partial y}, \quad \gamma = \frac{\partial V}{\partial z} \quad (M)α=∂x∂V,β=∂y∂V,γ=∂z∂V(M)
其中(α, β, γ)是反射光线通过空间中任意给定点(x, y, z)时与坐标轴夹角的余弦；那么对于任意一条光线上的所有点，我们有三个方程：
∂V∂x=const.,∂V∂y=const.,∂V∂z=const.\frac{\partial V}{\partial x} = \text{const.}, \quad \frac{\partial V}{\partial y} = \text{const.}, \quad \frac{\partial V}{\partial z} = \text{const.}∂x∂V=const.,∂y∂V=const.,∂z∂V=const.
这三个方程等价于但只有两个不同的关系，因为：
α2+β2+γ2=(∂V∂x)2+(∂V∂y)2+(∂V∂z)2=1\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^2 = 1α2+β2+γ2=(∂x∂V)2+(∂y∂V)2+(∂z∂V)2=1
那么，如果我们考虑通过建立整个反射系统光线之间的任意关系而形成的任何部分系统的光线；这些光线的轨迹，即这个部分系统的光锥，将有方程：
∂V∂y=f(∂V∂x)(N)\frac{\partial V}{\partial y} = f\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right) \quad (N)∂y∂V=f(∂x∂V)(N)
其中f表示任意函数，其形式取决于部分系统的性质。
24. 如果我们知道光锥通过的任意曲线，或者光锥包络的任意曲面，那么这个函数(f)的形式就可以确定。因为首先，后一个问题可以归结为前者，即在包络曲面上确定接触点的轨迹；这是通过以下公式完成的：
∂V∂x∂u∂x+∂V∂y∂u∂y+∂V∂z∂u∂z=0\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial V}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial V}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z} = 0∂x∂V∂x∂u+∂y∂V∂y∂u+∂z∂V∂z∂u=0
这表示未知光锥的光线是给定包络曲面u = 0的切线。当我们知道光锥通过的一条曲线u = 0, v = 0时，我们只需在该曲线的两个方程与以下两个方程之间消去(x, y, z)：
α=∂V∂x,β=∂V∂y\alpha = \frac{\partial V}{\partial x}, \quad \beta = \frac{\partial V}{\partial y}α=∂x∂V,β=∂y∂V
这样我们就得到了表征通过给定曲线的光线之间(α, β)的关系：在这个关系中代入(α, β)作为(x, y, z)的函数，我们就得到了光锥的方程。
通过这种方式，我们可以确定由给定反射系统产生的任何不透明体的影子，如果我们知道该物体的方程以及影子投射其上的屏幕的方程；我们也可以确定物体上光明与黑暗的边界，即包络光锥的接触曲线；如果我们考虑视觉光线而非发光光线，我们可以根据类似原理确定反射光的透视，即用任意镜子组合看到的物体的视形状和大小；至少在形式和大小取决于视觉锥的形状和大小的范围内。
25. 除了通过任意函数(f)表示系统所有光锥的上述一般解析表达式(N)之外，我们还可以找到这些光锥的另一个解析表达式，通过消去该任意函数，并用一阶光锥的偏微分系数来代替它。通过这种方式，依次对(N)中的(x)和(y)求导，并消去任意函数(f)的微分系数，我们得到了系统光锥的一阶偏微分方程。该方程最终变为：
αγ∂z∂x+βγ∂z∂y=1(O)\frac{\alpha}{\gamma}\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\beta}{\gamma}\frac{\partial z}{\partial y} = 1 \quad (O)γα∂x∂z+γβ∂y∂z=1(O)
这表示光锥的切平面包含通过接触点的光线。
第六节：论可展光锥、一条光线的两个焦点、以及焦散曲线和曲面
26. 在所有给定矩形系统的光锥中，只有某一列是可展的；即那些通过垂直于光线的曲面上的曲率线的光锥。从法向曲面的已知性质可以推出，每条光线有两个这样的可展光锥通过它，因此是两条焦散曲线的公切线，这些光锥的回归棱；光线接触这两条焦散曲线的点可以称为该光线的两个焦点 （Two Foci）；而这些焦点的轨迹形成两个焦散曲面（Caustic Surfaces），被所有光线相切。
27. 为了用解析方法确定系统的这些性质，我们用(a, b, c)表示光线与给定垂直曲面相交的点的坐标；如果光线给定，这些坐标将被确定，因此它们可以视为(α, β)的函数；我们可以将其微分写成以下形式：
da=∂a∂αdα+∂a∂βdβda = \frac{\partial a}{\partial \alpha}d\alpha + \frac{\partial a}{\partial \beta}d\betada=∂α∂adα+∂β∂adβ
db=∂b∂αdα+∂b∂βdβdb = \frac{\partial b}{\partial \alpha}d\alpha + \frac{\partial b}{\partial \beta}d\betadb=∂α∂bdα+∂β∂bdβ
dc=∂c∂αdα+∂c∂βdβdc = \frac{\partial c}{\partial \alpha}d\alpha + \frac{\partial c}{\partial \beta}d\betadc=∂α∂cdα+∂β∂cdβ
我们还有α da + β db + γ dc = 0，这给出：
∂c∂α=−αγ∂a∂α−βγ∂b∂α\frac{\partial c}{\partial \alpha} = -\frac{\alpha}{\gamma}\frac{\partial a}{\partial \alpha} - \frac{\beta}{\gamma}\frac{\partial b}{\partial \alpha}∂α∂c=−γα∂α∂a−γβ∂α∂b
∂c∂β=−αγ∂a∂β−βγ∂b∂β\frac{\partial c}{\partial \beta} = -\frac{\alpha}{\gamma}\frac{\partial a}{\partial \beta} - \frac{\beta}{\gamma}\frac{\partial b}{\partial \beta}∂β∂c=−γα∂β∂a−γβ∂β∂b
关于系数∂a/∂α, ∂a/∂β, ∂b/∂α, ∂b/∂β，它们通过对以下两个方程求导来确定：
∂V∂a=α,∂V∂b=β\frac{\partial V}{\partial a} = \alpha, \quad \frac{\partial V}{\partial b} = \beta∂a∂V=α,∂b∂V=β
这给出：
∂2V∂a2da+∂2V∂a∂bdb+∂2V∂a∂cdc=dα\frac{\partial^2 V}{\partial a^2}da + \frac{\partial^2 V}{\partial a \partial b}db + \frac{\partial^2 V}{\partial a \partial c}dc = d\alpha∂a2∂2Vda+∂a∂b∂2Vdb+∂a∂c∂2Vdc=dα
∂2V∂a∂bda+∂2V∂b2db+∂2V∂b∂cdc=dβ\frac{\partial^2 V}{\partial a \partial b}da + \frac{\partial^2 V}{\partial b^2}db + \frac{\partial^2 V}{\partial b \partial c}dc = d\beta∂a∂b∂2Vda+∂b2∂2Vdb+∂b∂c∂2Vdc=dβ
因此：
M⋅∂a=(γ∂2V∂b2−β∂2V∂b∂c)dα+(β∂2V∂a∂c−γ∂2V∂a∂b)dβM \cdot \partial a = \left(\gamma \frac{\partial^2 V}{\partial b^2} - \beta \frac{\partial^2 V}{\partial b \partial c}\right)d\alpha + \left(\beta \frac{\partial^2 V}{\partial a \partial c} - \gamma \frac{\partial^2 V}{\partial a \partial b}\right)d\betaM⋅∂a=(γ∂b2∂2V−β∂b∂c∂2V)dα+(β∂a∂c∂2V−γ∂a∂b∂2V)dβ
M⋅∂b=(α∂2V∂b∂c−γ∂2V∂a∂b)dα+(γ∂2V∂a2−α∂2V∂a∂c)dβM \cdot \partial b = \left(\alpha \frac{\partial^2 V}{\partial b \partial c} - \gamma \frac{\partial^2 V}{\partial a \partial b}\right)d\alpha + \left(\gamma \frac{\partial^2 V}{\partial a^2} - \alpha \frac{\partial^2 V}{\partial a \partial c}\right)d\betaM⋅∂b=(α∂b∂c∂2V−γ∂a∂b∂2V)dα+(γ∂a2∂2V−α∂a∂c∂2V)dβ
如果我们为简化起见令：
M=α⋅(∂2V∂a∂b∂2V∂b∂c−∂2V∂b2∂2V∂a∂c)+β⋅(∂2V∂a∂b∂2V∂a∂c−∂2V∂b∂c∂2V∂a2)+γ⋅(∂2V∂a2∂2V∂b2−(∂2V∂a∂b)2)M = \alpha \cdot \left(\frac{\partial^2 V}{\partial a \partial b}\frac{\partial^2 V}{\partial b \partial c} - \frac{\partial^2 V}{\partial b^2}\frac{\partial^2 V}{\partial a \partial c}\right) + \beta \cdot \left(\frac{\partial^2 V}{\partial a \partial b}\frac{\partial^2 V}{\partial a \partial c} - \frac{\partial^2 V}{\partial b \partial c}\frac{\partial^2 V}{\partial a^2}\right) + \gamma \cdot \left(\frac{\partial^2 V}{\partial a^2}\frac{\partial^2 V}{\partial b^2} - \left(\frac{\partial^2 V}{\partial a \partial b}\right)^2\right)M=α⋅(∂a∂b∂2V∂b∂c∂2V−∂b2∂2V∂a∂c∂2V)+β⋅(∂a∂b∂2V∂a∂c∂2V−∂b∂c∂2V∂a2∂2V)+γ⋅(∂a2∂2V∂b2∂2V−(∂a∂b∂2V)2)
在此基础上，设(x, y, z)为光线上距离给定垂直曲面为(ρ)的任意其他点；我们有：
x=a+αρ,y=b+βρ,z=c+γρx = a + \alpha\rho, \quad y = b + \beta\rho, \quad z = c + \gamma\rhox=a+αρ,y=b+βρ,z=c+γρ
dρ=αdx+βdy+γdz,dx−αdρ=da+ρdα,dy−βdρ=db+ρdβd\rho = \alpha dx + \beta dy + \gamma dz, \quad dx - \alpha d\rho = da + \rho d\alpha, \quad dy - \beta d\rho = db + \rho d\betadρ=αdx+βdy+γdz,dx−αdρ=da+ρdα,dy−βdρ=db+ρdβ
如果坐标(x, y, z)属于一条焦散曲线，那么这两个最后方程的第一项将消失，因此在此假设下：
da+ρ⋅dα=0,db+ρ⋅dβ=0da + \rho \cdot d\alpha = 0, \quad db + \rho \cdot d\beta = 0da+ρ⋅dα=0,db+ρ⋅dβ=0
消去(ρ)，我们找到可展光锥的方程：
da⋅dβdα−db⋅dαdβ=0(P)\frac{da \cdot d\beta}{d\alpha} - \frac{db \cdot d\alpha}{d\beta} = 0 \quad (P)dαda⋅dβ−dβdb⋅dα=0(P)
消去dβ，我们找到焦散曲面的方程：
(ρ+∂a∂α)(ρ+∂b∂β)−∂a∂β⋅∂b∂α=0(Q)\left(\rho + \frac{\partial a}{\partial \alpha}\right)\left(\rho + \frac{\partial b}{\partial \beta}\right) - \frac{\partial a}{\partial \beta} \cdot \frac{\partial b}{\partial \alpha} = 0 \quad (Q)(ρ+∂α∂a)(ρ+∂β∂b)−∂β∂a⋅∂α∂b=0(Q)
将其系数值代入，并注意到由一般关系：
(∂V∂a)2+(∂V∂b)2+(∂V∂c)2=1\left(\frac{\partial V}{\partial a}\right)^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial b}\right)^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial c}\right)^2 = 1(∂a∂V)2+(∂b∂V)2+(∂c∂V)2=1
我们得到焦散曲面的另一个形式：
1γ2(∂2V∂a2∂2V∂b2−(∂2V∂a∂b)2)ρ2+(∂2V∂a2+∂2V∂b2+∂2V∂c2)ρ+1=0(R)\frac{1}{\gamma^2}\left(\frac{\partial^2 V}{\partial a^2}\frac{\partial^2 V}{\partial b^2} - \left(\frac{\partial^2 V}{\partial a \partial b}\right)^2\right)\rho^2 + \left(\frac{\partial^2 V}{\partial a^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial b^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial c^2}\right)\rho + 1 = 0 \quad (R)γ21(∂a2∂2V∂b2∂2V−(∂a∂b∂2V)2)ρ2+(∂a2∂2V+∂b2∂2V+∂c2∂2V)ρ+1=0(R)
28. 使用这些公式的方法是显而易见的。我们将§视为α, β之间的一阶二次微分方程来积分，或视为x, y, z的相应函数的方程来积分；积分的形式为：
∂V∂y=f(∂V∂x,C)\frac{\partial V}{\partial y} = f\left(\frac{\partial V}{\partial x}, C\right)∂y∂V=f(∂x∂V,C)
其中C是任意常数；通过给定光线的条件将确定该常数的两个值，对应于两个可展光锥；而焦散曲线的方程（视为这些光锥的回归棱）将通过对光锥方程本身应用已知方法得到。给定光线接触这些焦散曲线的点，即光线的两个焦点，可以通过(Q)或®无需任何积分来确定；这样，我们就可以仅通过消元法确定两个焦散曲面的方程，即这些点或焦点的轨迹。
29. 在前面的推理中，我们假设了特征函数V的形式已知，其一阶偏微分系数等于反射光线与坐标轴夹角的余弦；现在让我们看看该函数的二阶偏微分系数（它们进入我们为可展光锥和焦散曲面找到的公式）如何依赖于镜面的曲率和入射系统的特征函数。设(V')表示后一函数，使得：
α′=∂V′∂x,β′=∂V′∂y,γ′=∂V′∂z\alpha' = \frac{\partial V'}{\partial x}, \quad \beta' = \frac{\partial V'}{\partial y}, \quad \gamma' = \frac{\partial V'}{\partial z}α′=∂x∂V′,β′=∂y∂V′,γ′=∂z∂V′
其中α', β', γ'是从镜面量起的入射光线与坐标轴夹角的余弦；设p, q, r, s, t为镜面的一阶和二阶偏微分系数，使得：
dz=pdx+qdy,dp=rdx+sdy,dq=sdx+tdydz = p dx + q dy, \quad dp = r dx + s dy, \quad dq = s dx + t dydz=pdx+qdy,dp=rdx+sdy,dq=sdx+tdy
其中x, y, z是镜面的坐标。那么，由本文第一节我们有两个方程：
α+α′+p(γ+γ′)=0,β+β′+q(γ+γ′)=0\alpha + \alpha' + p(\gamma + \gamma') = 0, \quad \beta + \beta' + q(\gamma + \gamma') = 0α+α′+p(γ+γ′)=0,β+β′+q(γ+γ′)=0
通过对它们求导，我们得到镜面偏微分系数与特征函数偏微分系数之间的关系。将这些方程与对以下方程求导得到的三个方程结合：
(∂V∂x)2+(∂V∂y)2+(∂V∂z)2=1\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^2 = 1(∂x∂V)2+(∂y∂V)2+(∂z∂V)2=1
我们就可以在已知V'和z的偏微分系数时（即已知入射系统和镜面时）得到V的二阶偏微分系数；然后只需将它们代入前段的公式，以找到可展光锥和焦散曲面，在此过程中我们可以将对(a, b, c)的偏微分系数替换为对(x, y, z)的相应系数。
30. 举一个前面推理的应用例子，假设入射光线是平行的，并取(x)轴和(y)轴为镜面上入射点处曲率线的切线，使得该点处的法线为竖直的；那么(V')的二阶偏微分系数将消失，我们有：
x=0,y=0,z=0,p=0,q=0,s=0x = 0, \quad y = 0, \quad z = 0, \quad p = 0, \quad q = 0, \quad s = 0x=0,y=0,z=0,p=0,q=0,s=0
α+α′=0,β+β′=0,γ=γ′=cosI\alpha + \alpha' = 0, \quad \beta + \beta' = 0, \quad \gamma = \gamma' = \cos Iα+α′=0,β+β′=0,γ=γ′=cosI
其中I是入射角；(V)的二阶偏微分系数的公式变为：
∂2V∂x2=−2γr,∂2V∂x∂y=0,∂2V∂y2=−2γt\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = -2\gamma r, \quad \frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y} = 0, \quad \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = -2\gamma t∂x2∂2V=−2γr,∂x∂y∂2V=0,∂y2∂2V=−2γt
∂2V∂x∂z=2αr,∂2V∂y∂z=2βt,∂2V∂z2=−2(α2r+β2t)γ\frac{\partial^2 V}{\partial x \partial z} = 2\alpha r, \quad \frac{\partial^2 V}{\partial y \partial z} = 2\beta t, \quad \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = -\frac{2(\alpha^2 r + \beta^2 t)}{\gamma}∂x∂z∂2V=2αr,∂y∂z∂2V=2βt,∂z2∂2V=−γ2(α2r+β2t)
两个焦点的公式®变为：
4rtγ2ρ2−2γ{(α2+γ2)r+(β2+γ2)t}+1=0(S)\frac{4rt}{\gamma^2}\rho^2 - \frac{2}{\gamma}\{(\alpha^2 + \gamma^2)r + (\beta^2 + \gamma^2)t\} + 1 = 0 \quad (S)γ24rtρ2−γ2{(α2+γ2)r+(β2+γ2)t}+1=0(S)
如果入射光线在给定入射点处垂直于镜面，那么γ = 1, α = 0, β = 0，且(S)的两个根为：
ρ=12r,ρ=12t\rho = \frac{1}{2r}, \quad \rho = \frac{1}{2t}ρ=2r1,ρ=2t1
即两个焦距是镜面两个曲率半径的一半。
如果入射光线不垂直于镜面，但包含在(xz)平面内（即包含镜面最大或最小密切圆的平面），那么β = 0, α² + γ² = 1，且(S)的两个根为：
ρ=γ2r,ρ=12(γt−α2γr)\rho = \frac{\gamma}{2r}, \quad \rho = \frac{1}{2\left(\frac{\gamma}{t} - \frac{\alpha^2}{\gamma r}\right)}ρ=2rγ,ρ=2(tγ−γrα2)1
第一个根是曲率弦的四分之一，即前述密切圆内截得的反射光线部分的四分之一；另一个根等于反射光线与一条平行于入射光线且通过另一密切圆中心的直线相交点到镜面的距离。一般地，当我们讨论密切焦点镜面时，由公式(S)确定的两个焦点将是最大和最小旋转抛物面（轴平行于入射光线）在入射点处密切于镜面的焦点。
31. 我在本节结束时指出，焦散曲面的方程是我们在前节发现的表示系统所有光锥的偏微分方程(O)的奇解（Singular Solution）；而光线的方程：
dxα=dyβ=dzγ\frac{dx}{\alpha} = \frac{dy}{\beta} = \frac{dz}{\gamma}αdx=βdy=γdz
其完全积分表示所有光线，也作为奇解被焦散曲线的方程满足；由此可以证明，光线的任一部分或焦散曲线的弧，在任意两点之间的长度等于特征函数(V)从一点到另一点的增量。
第七节：镜面上的反射线
32. 我们已经看到，反射系统的光线一般是两条焦散曲线系列的切线，并构成两列相应的可展光锥；这些光锥与镜面的交线在镜面上形成两条显著的曲线，由Malus首次发现，他称之为反射线（Lines of Reflexion）。在本节中，我们打算研究这些曲线的微分方程及其一些主要性质；同时进一步说明计算焦点和焦散曲面的方法。
33. 为了求反射曲线的微分方程，我们可以使用前节的公式，将(α, β, γ)视为入射点坐标的给定函数，使得：
dα=∂2V∂x2dx+∂2V∂x∂ydy+∂2V∂x∂zdzd\alpha = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}dx + \frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y}dy + \frac{\partial^2 V}{\partial x \partial z}dzdα=∂x2∂2Vdx+∂x∂y∂2Vdy+∂x∂z∂2Vdz
dβ=∂2V∂x∂ydx+∂2V∂y2dy+∂2V∂y∂zdzd\beta = \frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y}dx + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}dy + \frac{\partial^2 V}{\partial y \partial z}dzdβ=∂x∂y∂2Vdx+∂y2∂2Vdy+∂y∂z∂2Vdz
并从特征函数V的形式本身（如果给定）或从镜面方程和入射系统的性质（按照已解释的方法）来推导特征函数V的偏微分系数。但在后一种情况下，即只给定入射系统和镜面时，用类似于推导公式§的推理直接处理这个问题将更简单。
因此，设X, Y, Z表示焦散曲线上距离镜面为(ρ)的点的坐标；我们有：
X=x+αρ,Y=y+βρ,Z=z+γρX = x + \alpha\rho, \quad Y = y + \beta\rho, \quad Z = z + \gamma\rhoX=x+αρ,Y=y+βρ,Z=z+γρ
dρ=α⋅d(X−x)+β⋅d(Y−y)+γ⋅d(Z−z)d\rho = \alpha \cdot d(X-x) + \beta \cdot d(Y-y) + \gamma \cdot d(Z-z)dρ=α⋅d(X−x)+β⋅d(Y−y)+γ⋅d(Z−z)
dX=α(αdX+βdY+γdZ),dY=β(αdX+βdY+γdZ),dZ=γ(αdX+βdY+γdZ)dX = \alpha(\alpha dX + \beta dY + \gamma dZ), \quad dY = \beta(\alpha dX + \beta dY + \gamma dZ), \quad dZ = \gamma(\alpha dX + \beta dY + \gamma dZ)dX=α(αdX+βdY+γdZ),dY=β(αdX+βdY+γdZ),dZ=γ(αdX+βdY+γdZ)
dx−α(αdx+βdy+γdz)+ρdα=0dx - \alpha(\alpha dx + \beta dy + \gamma dz) + \rho d\alpha = 0dx−α(αdx+βdy+γdz)+ρdα=0
dy−β(αdx+βdy+γdz)+ρdβ=0dy - \beta(\alpha dx + \beta dy + \gamma dz) + \rho d\beta = 0dy−β(αdx+βdy+γdz)+ρdβ=0
dz−γ(αdx+βdy+γdz)+ρdγ=0dz - \gamma(\alpha dx + \beta dy + \gamma dz) + \rho d\gamma = 0dz−γ(αdx+βdy+γdz)+ρdγ=0
从这些方程消去dα, dβ, dγ，从已得到的公式：
α+α′+p(γ+γ′)=0,β+β′+q(γ+γ′)=0\alpha + \alpha' + p(\gamma + \gamma') = 0, \quad \beta + \beta' + q(\gamma + \gamma') = 0α+α′+p(γ+γ′)=0,β+β′+q(γ+γ′)=0
我们得到以下两个方程：
ρ{(γ+γ′)dp+dα′+p⋅dγ′}=dx+p⋅dz−(α+γp)(α⋅dx+β⋅dy+γ⋅dz)\rho\{(\gamma + \gamma')dp + d\alpha' + p \cdot d\gamma'\} = dx + p \cdot dz - (\alpha + \gamma p)(\alpha \cdot dx + \beta \cdot dy + \gamma \cdot dz)ρ{(γ+γ′)dp+dα′+p⋅dγ′}=dx+p⋅dz−(α+γp)(α⋅dx+β⋅dy+γ⋅dz)
ρ{(γ+γ′)dq+dβ′+q⋅dγ′}=dy+q⋅dz−(β+γq)(α⋅dx+β⋅dy+γ⋅dz)(T)\rho\{(\gamma + \gamma')dq + d\beta' + q \cdot d\gamma'\} = dy + q \cdot dz - (\beta + \gamma q)(\alpha \cdot dx + \beta \cdot dy + \gamma \cdot dz) \quad (T)ρ{(γ+γ′)dq+dβ′+q⋅dγ′}=dy+q⋅dz−(β+γq)(α⋅dx+β⋅dy+γ⋅dz)(T)
这些方程(T)通过消去dρ，或等价地消去比值dx:dy，即得到确定反射线的微分方程。
34. 方程(T)可以简化。取镜面法线为z轴，曲率线的切线为x轴和y轴，使得p = 0, q = 0, s = 0；设ρ'为从镜面量起的发光点的距离，使得α' + α = 0, β' + β = 0, γ' = γ；并设R, R'为镜面的两个曲率半径，使得r = 1/R, t = 1/R'；那么方程(T)变为：
1ρ+1ρ′=2γR(1−α2)\frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} = \frac{2\gamma}{R(1 - \alpha^2)}ρ1+ρ′1=R(1−α2)2γ
1ρ+1ρ′=2γR′(1−β2)(U)\frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} = \frac{2\gamma}{R'(1 - \beta^2)} \quad (U)ρ1+ρ′1=R′(1−β2)2γ(U)
这些方程在入射光线不平行于镜面法线或曲率线切线时有效。
35. 如果我们用ρ表示反射光线的一个焦点的距离，用ρ'表示从镜面量起的发光点的距离，并用V'表示入射系统的特征函数，使得dV' = α'dx + β'dy + γ'dz，那么我们有dρ' = -dV'，镜面的微分方程变为dρ + dρ' = 0，即ρ + ρ' = const.。焦点镜面因此是等作用量曲面。关于焦点的公式，通过消去(T)中的dα', dβ', dγ'，我们得到焦散距离与镜面曲率、入射角之间的完整关系。当ρ = ρ'时，我们得到主轴的公式，即反射光线被所有无限邻近光线在同一点相交的那些光线。
第八节：论密切焦点镜面
36. 旋转抛物面具有将其轴平行的光线反射到其焦点的性质，旋转椭球面具有将从一个焦点发出的光线反射到另一焦点的性质，这些早已为人所知；但据我所知，迄今尚无人将这些精确反射镜面的性质应用于研究一般镜面的焦散曲面和反射线。然而，它们之间存在一种显著的类比，类似于球面与法线之间的性质联系；而我们现在要考虑的正是这种联系，不仅对抛物面和椭球面，而且对本文第二部分指出的一般焦点镜面类。
37. 从最简单的情况开始，我注意到旋转抛物面的一般方程可以写成以下形式：
ρ=P+α′(x−X)+β′(y−Y)+γ′(z−Z)\rho = P + \alpha'(x-X) + \beta'(y-Y) + \gamma'(z-Z)ρ=P+α′(x−X)+β′(y−Y)+γ′(z−Z)
§是半参量，(ρ)是从焦点(X, Y, Z)的距离，α', β', γ'是抛物面轴（从顶点量起）与坐标轴夹角的余弦。由此可求得抛物面的偏微分系数(p', q', r', s', t')，它们满足：
r′=1+α′2/γ′2ργ′=1ργ′3r' = \frac{1+\alpha'^2/\gamma'^2}{\rho\gamma'} = \frac{1}{\rho\gamma'^3}r′=ργ′1+α′2/γ′2=ργ′31
t′=1+β′2/γ′2ργ′=1ργ′3t' = \frac{1+\beta'^2/\gamma'^2}{\rho\gamma'} = \frac{1}{\rho\gamma'^3}t′=ργ′1+β′2/γ′2=ργ′31
s′=α′β′ργ′3s' = \frac{\alpha'\beta'}{\rho\gamma'^3}s′=ργ′3α′β′
因此：
r′t′−s′2=1ρ2γ′4r't' - s'^2 = \frac{1}{\rho^2 \gamma'^4}r′t′−s′2=ρ2γ′41
38. 一般说来，当入射系统是矩形的时（这在自然界中总是如此），根据已建立的原理，我们可以找到无限多个焦点镜面，它们具有将光线反射到任意给定点(X, Y, Z)的性质，其微分方程为：
dρ=α′dx+β′dy+γ′dz=dV′d\rho = \alpha' dx + \beta' dy + \gamma' dz = dV'dρ=α′dx+β′dy+γ′dz=dV′
V'是入射系统的特征函数，ρ是从入射点(x, y, z)到点(X, Y, Z)（焦点镜面的焦点）的距离。在给定点处与给定镜面相切的条件，提供两个形式为p' = p, q' = q的方程，这表示焦点(X, Y, Z)位于给定反射光线上某处；而在给定方向密切的条件提供方程：
(r′−r)dx2+2(s′−s)dx⋅dy+(t′−t)dy2=0(r'-r)dx^2 + 2(s'-s)dx \cdot dy + (t'-t)dy^2 = 0(r′−r)dx2+2(s′−s)dx⋅dy+(t′−t)dy2=0
(r, s, t)是给定的，但(r', s', t')依赖于未知的焦点距离(ρ)；如果我们希望使这个距离成为最大或最小，我们需要满足两个条件。
39. 方程(Z)不仅确定了密切焦距的最大值和最小值，而且确定了达到这些极值时dx:dy的比值，即密切焦镜面的方向。这些方向与镜面上反射线的方向相同；因为由方程(T)消去ρ，我们得到反射线方向的方程。通过将ρ₁和ρ₂的表达式(Z)与方程(F)给出的焦散曲面方程(Q)进行比较，我们发现最大和最小密切焦距对应于可展光锥，即对应于反射线的方向。这一结论具有几何直观性：因为可展光锥是通过与焦散曲线接触的光线集合，而在接触点附近，光线与焦散曲线的距离是二阶小量；因此密切焦距在反射线方向上达到极值。
40. 我在本节结束时指出密切焦点镜面的另一个显著性质。如果我们通过一条给定反射光线和一个给定密切方向作一个平面，并将从该方向上无限邻近点反射的光线投影到这个平面上，那么投影将在对应的密切焦点处与给定光线相交。这一性质类似于密切圆的性质：曲线上一点的密切圆是通过该点及其两个无限邻近点的圆；类似地，密切焦点镜面是通过镜面上三个无限邻近点的焦点镜面------入射点和两个沿给定方向的无限邻近点。这一性质提供了通过几何构造来确定密切焦点的方法，无需进行复杂的分析计算。
第九节：论薄光锥与非可展光锥
41. 在考察了反射系统可展光锥的一些最重要性质之后，我们在本节中将对非可展光锥做一些评述；我们将从考虑薄光锥开始，即由非常靠近给定光线的光线组成的光锥；因为在光学理论的所有最有用的应用中，所使用的不是一个完整的反射或折射系统，而只是属于该系统的一小部分光线。
为了简化我们的计算，设给定光线为(z)轴，并像前段一样选择坐标平面；一条邻近光线与(x)轴和(y)轴夹角的余弦将近似为：
α=−xρ1,β=−yρ2\alpha = -\frac{x}{\rho_1}, \quad \beta = -\frac{y}{\rho_2}α=−ρ1x,β=−ρ2y
x, y是它在镜面上的交点坐标；而这条邻近光线的方程将近似为：
x′=x+αz′,y′=y+βz′x' = x + \alpha z', \quad y' = y + \beta z'x′=x+αz′,y′=y+βz′
即：
x′=α(z′−ρ1),y′=β(z′−ρ2)(E′)x' = \alpha(z' - \rho_1), \quad y' = \beta(z' - \rho_2) \quad (E')x′=α(z′−ρ1),y′=β(z′−ρ2)(E′)
x', y', z'是邻近光线的坐标。如果我们通过这些方程从光锥的一般方程β = f(α)中消去α, β，我们发现薄光锥的一般方程为：
y′z′−ρ2=f(x′z′−ρ1)(F′)\frac{y'}{z'-\rho_2} = f\left(\frac{x'}{z'-\rho_1}\right) \quad (F')z′−ρ2y′=f(z′−ρ1x′)(F′)
42. 这些方程(E'), (F')几乎包含了薄光锥的全部理论。作为它们的第一个应用，假设我们通过任意组合的镜子观察一个发光点；进入眼睛的光线一般不会从任何单一焦点发散，因此不会被一个锥体所限制，而是被另一种形状的铅笔所限制，我将称之为视觉边界光锥，其性质我现在就来研究。
为此，假设视轴与我们取为(z)轴的反射系统的给定光线重合，设(δ)表示眼睛到镜子的距离；瞳孔的周长将有方程：
z=δ,x2+y2=e2z = \delta, \quad x^2 + y^2 = e^2z=δ,x2+y2=e2
(e)是瞳孔的半径；视觉边界光锥的光线通过这个周长，因此满足条件：
α2(δ−ρ1)2+β2(δ−ρ2)2=e2\alpha^2(\delta - \rho_1)^2 + \beta^2(\delta - \rho_2)^2 = e^2α2(δ−ρ1)2+β2(δ−ρ2)2=e2
并通过(E')消去α, β，我们找到视觉边界光锥的以下方程：
(δ−ρ1z′−ρ1)2x′2+(δ−ρ2z′−ρ2)2y′2=e2(G′)\left(\frac{\delta - \rho_1}{z' - \rho_1}\right)^2 x'^2 + \left(\frac{\delta - \rho_2}{z' - \rho_2}\right)^2 y'^2 = e^2 \quad (G')(z′−ρ1δ−ρ1)2x′2+(z′−ρ2δ−ρ2)2y′2=e2(G′)
从这个方程可以明显看出，光锥被垂直于视轴（即给定光线）的平面所截的每个截面都是一个小椭圆，其中心在该光线上，其半轴位于两个可展光锥的切平面内，即在(x, z)和(y, z)平面内。用(a), (b)表示这些半轴，我们有：
a=±e⋅∣z′−ρ1δ−ρ1∣,b=±e⋅∣z′−ρ2δ−ρ2∣(H′)a = \pm e \cdot \left|\frac{z' - \rho_1}{\delta - \rho_1}\right|, \quad b = \pm e \cdot \left|\frac{z' - \rho_2}{\delta - \rho_2}\right| \quad (H')a=±e⋅ δ−ρ1z′−ρ1 ,b=±e⋅ δ−ρ2z′−ρ2 (H′)
这些半轴变得相等，即小椭圆截面变为圆形，首先当：
z′=δ,a=b=ez' = \delta, \quad a = b = ez′=δ,a=b=e
即在眼睛本身处，其次当：
z′=δ−2(δ−ρ1)(δ−ρ2)2δ−(ρ1+ρ2),a=b=e(ρ1−ρ2)2δ−(ρ1+ρ2)z' = \delta - \frac{2(\delta - \rho_1)(\delta - \rho_2)}{2\delta - (\rho_1 + \rho_2)}, \quad a = b = \frac{e(\rho_1 - \rho_2)}{2\delta - (\rho_1 + \rho_2)}z′=δ−2δ−(ρ1+ρ2)2(δ−ρ1)(δ−ρ2),a=b=2δ−(ρ1+ρ2)e(ρ1−ρ2)
即在距离眼睛等于眼睛到该反射光线（与视轴重合）的两个焦点距离之调和平均值处。
43. 薄光锥的主要性质之一是，这种光锥的垂直截面面积总是正比于其到给定光线两个焦点距离之积。我们可以通过视觉边界光锥半轴的公式(H')来验证这个定理；一般地，如果我们用Σ表示对应于给定值(z')的任何给定薄光锥的截面面积，我们将有，由(E')：
2Σ=(y′dx′−x′dy′)=(z′−ρ1)(z′−ρ2)⋅∫(βdα−αdβ)(I′)2\Sigma = (y' dx' - x' dy') = (z' - \rho_1)(z' - \rho_2) \cdot \int (\beta d\alpha - \alpha d\beta) \quad (I')2Σ=(y′dx′−x′dy′)=(z′−ρ1)(z′−ρ2)⋅∫(βdα−αdβ)(I′)
而定积分∫(βdα - αdβ)仅依赖于α, β之间的关系，当光锥给定时它是常数。从这个定理可以推出，沿给定光线反射光的密度反比于到两个焦点距离之积，且在焦散曲面处为无穷大。
44. 同样的方程(E')，我们从中推导出了薄光锥的理论，也适用于研究由系统光线组成的其他非可展曲面的性质。非可展光锥与可展光锥之间最显著的差别在于，后者的切平面总是在整条光线的范围内与其相切；而在前者中，当接触点沿给定光线移动时，切平面改变位置，并绕该光线旋转，像一个铰链一样。为了找到这种旋转的规律，设坐标平面像以前一样选择，给定光线为(z)轴，它与镜面的交点为原点，两个可展光锥的切平面为(xz)和(yz)平面；那么由(E')，一条无限邻近光线的方程将是：
x′=(z′−ρ1)⋅dα,y′=(z′−ρ2)⋅dβ(K′)x' = (z' - \rho_1) \cdot d\alpha, \quad y' = (z' - \rho_2) \cdot d\beta \quad (K')x′=(z′−ρ1)⋅dα,y′=(z′−ρ2)⋅dβ(K′)
如果它属于具有方程β = f(α)的给定非可展光锥，我们将有dβ = f' \cdot dα，f'是一个给定量；这个光锥在任意给定距离(z')处的切平面包含给定光线，并通过邻近光线上的一点，其方程为：
y′z′−ρ2=x′z′−ρ1⋅f′(L′)\frac{y'}{z' - \rho_2} = \frac{x'}{z' - \rho_1} \cdot f' \quad (L')z′−ρ2y′=z′−ρ1x′⋅f′(L′)
当z增加时，即当接触点无限远离镜面时，这个切平面趋近于极限位置：
y′x′=f′(M′)\frac{y'}{x'} = f' \quad (M')x′y′=f′(M′)
它显然平行于邻近光线(K')。
45. 进入非可展光锥切平面旋转规律的常数系数(u)，我将称之为非可展系数。在本文的第三部分，我将更充分地讨论它的性质；同时，我注意到，如果我们用垂直于给定光线的平面截断邻近光线(K')，在距离δ处从这个固定点量起，对应于这个距离(δ)的两条光线之间的间隔为：
Δ=(u2+δ2)⋅dθ(Q′)\Delta = \sqrt{(u^2 + \delta^2)} \cdot d\theta \quad (Q')Δ=(u2+δ2) ⋅dθ(Q′)
(dθ)是光线之间的夹角；由此可以推出，该固定点可以称为给定光线在给定非可展光锥中的虚焦点 ，因为它是该光锥中无限邻近光线的最近点；而非可展系数(u)等于给定光线与邻近光线之间的最小距离除以它们之间的夹角。我们还可以注意到，尽管一条给定光线一般有无限多个非可展光锥通过它，因此对应有无限多个虚焦点，但这些虚焦点都包含在光线接触两个焦散曲面的两点之间，因为表达式：
z′=ρ1cos2L+ρ2sin2Lz' = \rho_1 \cos^2 L + \rho_2 \sin^2 Lz′=ρ1cos2L+ρ2sin2L
总是在极限ρ₁和ρ₂之间。而且，每当本文中提到光线的焦点时，如果没有特别说明，都是指光线与焦散曲面的两个接触点。
第十节：论反射系统的主轴
46. 我们已经看到，反射系统中光的密度在焦散曲面处最大；由此自然可以推断，这种密度在两个焦散曲面的交线处达到最大值：这一评注已由Malus提出，当我们考虑像差时，它将被进一步证实。因此，研究焦散曲面交线的性质和位置是很重要的。我将要证明，这种交线一般不是一条曲线，而是退化为有限个孤立点，即有限多条光线的主焦点，这些光线在所有无限邻近它们的光线的交点处被相交。为此，我恢复第六节中找到的公式(Q)：
(ρ+∂a∂α)(ρ+∂b∂β)−∂a∂β⋅∂b∂α=0(Q)\left(\rho + \frac{\partial a}{\partial \alpha}\right)\left(\rho + \frac{\partial b}{\partial \beta}\right) - \frac{\partial a}{\partial \beta} \cdot \frac{\partial b}{\partial \alpha} = 0 \quad (Q)(ρ+∂α∂a)(ρ+∂β∂b)−∂β∂a⋅∂α∂b=0(Q)
它确定给定光线的两个焦点，其中系数通过同一节的以下关系联系：
αβ(∂a∂α−∂b∂β)−(α2+γ2)∂a∂β+(β2+γ2)∂b∂α=0(R′)\alpha\beta\left(\frac{\partial a}{\partial \alpha} - \frac{\partial b}{\partial \beta}\right) - (\alpha^2 + \gamma^2)\frac{\partial a}{\partial \beta} + (\beta^2 + \gamma^2)\frac{\partial b}{\partial \alpha} = 0 \quad (R')αβ(∂α∂a−∂β∂b)−(α2+γ2)∂β∂a+(β2+γ2)∂α∂b=0(R′)
(Q)中根相等的条件是：
(∂a∂α−∂b∂β)2+4∂a∂β⋅∂b∂α=0\left(\frac{\partial a}{\partial \alpha} - \frac{\partial b}{\partial \beta}\right)^2 + 4\frac{\partial a}{\partial \beta} \cdot \frac{\partial b}{\partial \alpha} = 0(∂α∂a−∂β∂b)2+4∂β∂a⋅∂α∂b=0
因此，这就是确定属于通过焦散曲面交线的光线α, β之间关系的方程；很容易证明，通过公式(R')，它分解为以下三个方程，然而，由于同一公式，这三个方程等价于但只有两个不同的方程：
∂a∂β=0,∂b∂α=0,∂a∂α−∂b∂β=0(S′)\frac{\partial a}{\partial \beta} = 0, \quad \frac{\partial b}{\partial \alpha} = 0, \quad \frac{\partial a}{\partial \alpha} - \frac{\partial b}{\partial \beta} = 0 \quad (S')∂β∂a=0,∂α∂b=0,∂α∂a−∂β∂b=0(S′)
由这些方程确定的光线，我将称之为反射系统的主轴（Axes），而它们的焦点，对于：
ρ=∂a∂α=∂b∂β(T′)\rho = \frac{\partial a}{\partial \alpha} = \frac{\partial b}{\partial \beta} \quad (T')ρ=∂α∂a=∂β∂b(T′)
我将称之为主焦点（Principal Foci）。
47. 我们已经看到，一条给定光线一般有无限多个虚焦点，对应于非可展光锥，由公式(P')确定：
z′=ρ1cos2L+ρ2sin2Lz' = \rho_1 \cos^2 L + \rho_2 \sin^2 Lz′=ρ1cos2L+ρ2sin2L
以及无限多个密切焦点，对应于密切焦点镜面，由公式(C')确定：
1ρ=1ρ1cos2ψ+1ρ2sin2ψ\frac{1}{\rho} = \frac{1}{\rho_1}\cos^2\psi + \frac{1}{\rho_2}\sin^2\psiρ1=ρ11cos2ψ+ρ21sin2ψ
但当ρ₁ = ρ₂时，即当光线是系统的主轴时，这些公式中的可变角消失，所有虚焦点和所有密切焦点合并为一个点，即该轴对应的主焦点。因此，由非可展系数消失可以推出，系统的每条主轴在其自身焦点处被所有无限邻近光线相交；而这个焦点是与给定镜面具有二阶完全接触的焦点镜面的焦点。这种接触点，即给定镜面被反射系统的主轴所交的点，我将称之为镜面的顶点（Vertex）。
48. 主焦点的另一个显著性质是，它们是球面的中心，这些球面与垂直截断光线的曲面具有二阶完全接触；这可以通过以下公式证明，这些公式由(S')和(T')结合第27段的公式推出：
∂2V∂x2=α2−1ρ,∂2V∂y2=β2−1ρ,∂2V∂z2=γ2−1ρ\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = \frac{\alpha^2-1}{\rho}, \quad \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = \frac{\beta^2-1}{\rho}, \quad \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = \frac{\gamma^2-1}{\rho}∂x2∂2V=ρα2−1,∂y2∂2V=ρβ2−1,∂z2∂2V=ργ2−1
∂2V∂x∂y=αβρ,∂2V∂x∂z=αγρ,∂2V∂y∂z=βγρ(U′)\frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y} = \frac{\alpha\beta}{\rho}, \quad \frac{\partial^2 V}{\partial x \partial z} = \frac{\alpha\gamma}{\rho}, \quad \frac{\partial^2 V}{\partial y \partial z} = \frac{\beta\gamma}{\rho} \quad (U')∂x∂y∂2V=ραβ,∂x∂z∂2V=ραγ,∂y∂z∂2V=ρβγ(U′)
如果我们将这些表达式(U')代入第29段的公式，我们找到以下方程，它们确定顶点、轴和主焦点。
49. 作为前述理论的一个应用，假设入射光线从一个发光点(X', Y', Z')发散，我们来寻找反射系统的顶点、轴和主焦点。在这个问题中，方程(T')变为：
(γ+γ′)⋅r=(1ρ+1ρ′){1+p2−(α+γp)2}(\gamma + \gamma') \cdot r = \left(\frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'}\right)\{1 + p^2 - (\alpha + \gamma p)^2\}(γ+γ′)⋅r=(ρ1+ρ′1){1+p2−(α+γp)2}
(γ+γ′)⋅t=(1ρ+1ρ′){1+q2−(β+γq)2}(\gamma + \gamma') \cdot t = \left(\frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'}\right)\{1 + q^2 - (\beta + \gamma q)^2\}(γ+γ′)⋅t=(ρ1+ρ′1){1+q2−(β+γq)2}
(γ+γ′)⋅s=(1ρ+1ρ′){pq−(α+γp)(β+γq)}(W′)(\gamma + \gamma') \cdot s = \left(\frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'}\right)\{pq - (\alpha + \gamma p)(\beta + \gamma q)\} \quad (W')(γ+γ′)⋅s=(ρ1+ρ′1){pq−(α+γp)(β+γq)}(W′)
这些方程包含问题的解。为了说明这些方程(W')的几何意义，我们取顶点为原点，该点处的法线为(z)轴，曲率线的切线为(x)轴和(y)轴。那么p = 0, q = 0, s = 0, r = 1/R, t = 1/R'，其中R和R'是两个曲率半径。此外，如果入射光线与法线成角度I，我们有γ + γ' = 2γ = 2 cos I。
在这些简化假设下，方程(W')变为：
1ρ+1ρ′=2cosIR(1−α2/γ2)=2cosI⋅sin2(θx)R\frac{1}{\rho} + \frac{1}{\rho'} = \frac{2\cos I}{R(1 - \alpha^2/\gamma^2)} = \frac{2\cos I \cdot \sin^2(\theta_x)}{R}ρ1+ρ′1=R(1−α2/γ2)2cosI=R2cosI⋅sin2(θx)
其中θ_x是入射光线与(x)轴所成角度的余角。当入射光线位于最大曲率平面内时，我们得到最小焦距；当入射光线位于最小曲率平面内时，我们得到最大焦距。这些公式与球面镜的已知公式一致：对于球面镜，任意点都可以作为顶点，这解释了为什么球面镜形成行星的圆形像。
入射光线在顶点处包含在镜面最大密切圆平面内，且入射角余弦的平方等于曲率半径之比。因此，通过分别令dy = 0和dx = 0，方程(H'')分解为的两个方程将提供镜面偏微分系数直到三阶的两个关系式；这两个关系式表达了行星像为圆形的条件：它们在球面镜的情况下恒被满足，因为此时(H'')的第一项由于焦距恒定而为零，第二项由于入射光线与法线重合而为零；因此无论我们选择球面镜的哪一点作为顶点，它都会形成行星的圆形像；但当镜面不是球面时，这两个关系式通常将确定镜面上有限个点，适合用作顶点以形成无畸变像。当我们找到这些点（我称之为圆形像顶点）后，还需将以下两条线之一指向行星：这两条线在任意这样的顶点处都包含在镜面最大密切圆平面内，且与法线成等角，其余弦平方等于曲率半径之比。
50. 作为另一个应用，让我们考虑平行光线被任意镜面组合反射的情况。在这种情况下，入射系统的特征函数V'退化为一个线性函数，其偏微分系数给出入射光线的固定方向。主焦点仍然是镜面上那些点的轨迹，在这些点处两个焦散曲面接触；但此时的物理意义更加清晰：每个主焦点对应于一个旋转抛物面的焦点，该抛物面的轴平行于入射光线，且与镜面的组合具有二阶接触。
对于单个镜面，主轴是镜面上那些点处的法线，它们平分入射光线与从主焦点发出的相应反射光线之间的夹角。在平行入射的情况下，这些法线具有简单的几何解释：它们是镜面上那些点处的法线，其方向使得入射光线与反射光线的夹角满足特定的对称性条件。
第十一节：镜子形成的像
51. 从前一节可以看出，当从发光点发出的光线在给定镜面上反射后，被反射光线接触的两个焦散曲面在有限个孤立点处相互相交，在这些点处反射光的密度最大，每个点都是一个旋转椭球面的共轭焦点，该椭球面的另一焦点位于给定的发光点，且与给定镜面具有二阶接触。显然，这些密度最大点是给定发光点由给定镜面形成的像（Image）；同样，由给定镜子组合形成的给定点的像，是最后一对焦散曲面交线所退化的对应密度最大点，是与最后一面给定镜面具有二阶接触的焦点镜面的焦点。根据类似原理，我们可以确定由任意给定镜面或镜子组合形成的曲线或曲面的像；即把曲线或曲面的像看作其各点像的轨迹。
52. 让我们将这些原理应用于研究由曲面镜形成的行星像。行星中心的像是旋转抛物面的焦点，该抛物面的轴指向那个中心，且与镜面具有二阶完全接触。为了找到这个像，以及镜面上对应的接触点或顶点，我们有方程。
假设镜面方程为z = f(x, y)，行星位于方向(α', β', γ')上的无穷远处。那么顶点(x₀, y₀, z₀)满足：
∂2f∂x2=1ρ(1γ′2−α′2γ′4),∂2f∂y2=1ρ(1γ′2−β′2γ′4),∂2f∂x∂y=−α′β′ργ′4\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{\rho}\left(\frac{1}{\gamma'^2} - \frac{\alpha'^2}{\gamma'^4}\right), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{1}{\rho}\left(\frac{1}{\gamma'^2} - \frac{\beta'^2}{\gamma'^4}\right), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -\frac{\alpha'\beta'}{\rho \gamma'^4}∂x2∂2f=ρ1(γ′21−γ′4α′2),∂y2∂2f=ρ1(γ′21−γ′4β′2),∂x∂y∂2f=−ργ′4α′β′
其中ρ是顶点到像的距离。这些方程与镜面方程一起确定顶点和像的位置。对于球面镜，任意点都可以作为顶点，这解释了为什么球面镜形成行星的圆形像。
53. 为了简化这种消元，让我们取中央反射光线为(z)轴。那么α' = β' = 0, γ' = 1，且方程简化为：
∂2f∂x2=1ρ,∂2f∂y2=1ρ,∂2f∂x∂y=0\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{\rho}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{1}{\rho}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0∂x2∂2f=ρ1,∂y2∂2f=ρ1,∂x∂y∂2f=0
这意味着在顶点处，镜面的两个曲率相等，且曲率线互相垂直。这正是抛物面在顶点处的性质：两个主曲率半径相等（对于旋转抛物面），或者更一般地，两个曲率满足特定关系使得像为点像。
如果我们用(X, Y, Z)表示行星像的坐标，用(x, y, z)表示顶点坐标，用ρ表示顶点距离，我们有：
X=x+αρ,Y=y+βρ,Z=z+γρX = x + \alpha\rho, \quad Y = y + \beta\rho, \quad Z = z + \gamma\rhoX=x+αρ,Y=y+βρ,Z=z+γρ
其中(α, β, γ)是中央反射光线与坐标轴夹角的余弦。
54. 刚刚证明的关于行星像投影的定理，只是以下关于一般反射像的定理的特例。
设通过镜面看到的物体是一个小平面，垂直于入射光线。该物体的每一点都对应一个像点，由前述方法确定。所有像点的轨迹形成物体的像。像的形状取决于镜面在顶点附近的曲率性质。
如果我们考虑像中一条线段的长度与物体中对应线段长度之比，这个比值给出了镜面的放大率。放大率一般不是各向同性的：在不同方向上可能不同。当镜面是球面时，放大率是各向同性的，但这只是一个特例。
55. 由此定理可以推出，为了通过单个镜面形成任意小平面物体（其平面垂直于入射光线）的无畸变像，必要且充分的条件是像平面垂直于反射光线。
这个条件提供镜面偏微分系数的三阶量之间的两个关系式，它们通常将确定物体和镜面相互放置的方式。具体地说，如果物体的平面垂直于入射光线，那么为了使像无畸变，镜面的三阶偏微分系数必须满足特定条件，使得像平面也垂直于反射光线。
这一结果在光学仪器设计中具有重要意义：它告诉我们如何选择镜面的形状和放置方式，以获得特定方向的物体的无畸变像。对于球面镜，这个条件自动满足，这就是为什么望远镜中常用球面镜的原因之一。
第十二节：论像差
56. 在前述关于反射光线两个焦点或无限邻近光线交点的研究之后；以及关于反射系统主轴的研究之后（每条主轴被所有无限邻近它在同一点相交）；我们现在来考虑有限小距离处的光线像差（Aberrations）：这些量长期以来只为某些特殊情况计算过，但据我所知，迄今尚未对一般的反射系统进行研究。
57. 当光线落在旋转镜面上，从一个位于其轴上的发光点发出时，反射光线都与该轴相交，这些交点到焦点的距离称为纵向像差 。但一般说来，反射系统的光线并不都与该系统的某一条光线相交；因此纵向像差一般不像迄今考虑过的那些特殊情况那样存在。然而我将在本文的后续部分证明，存在某些其他量以某种方式取代它们的位置，并遵循类似的规律：但目前我将把自己限制在垂直于给定光线的平面上测量的横向像差，其理论更简单，也更重要。
设(x', y', z')表示像差平面被任意特定光线穿过的点的坐标；这些坐标可以视为确定该光线位置的任意两个量的函数；例如，光线与(x)轴和(y)轴夹角的余弦。因此它们可以展开为如下形式的级数：
x′=X+∂X∂αδα+∂X∂βδβ+12(∂2X∂α2δα2+2∂2X∂α∂βδαδβ+∂2X∂β2δβ2)+...x' = X + \frac{\partial X}{\partial \alpha}\delta\alpha + \frac{\partial X}{\partial \beta}\delta\beta + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 X}{\partial \alpha^2}\delta\alpha^2 + 2\frac{\partial^2 X}{\partial \alpha \partial \beta}\delta\alpha\delta\beta + \frac{\partial^2 X}{\partial \beta^2}\delta\beta^2\right) + \ldotsx′=X+∂α∂Xδα+∂β∂Xδβ+21(∂α2∂2Xδα2+2∂α∂β∂2Xδαδβ+∂β2∂2Xδβ2)+...
y′=Y+∂Y∂αδα+∂Y∂βδβ+12(∂2Y∂α2δα2+2∂2Y∂α∂βδαδβ+∂2Y∂β2δβ2)+...y' = Y + \frac{\partial Y}{\partial \alpha}\delta\alpha + \frac{\partial Y}{\partial \beta}\delta\beta + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 Y}{\partial \alpha^2}\delta\alpha^2 + 2\frac{\partial^2 Y}{\partial \alpha \partial \beta}\delta\alpha\delta\beta + \frac{\partial^2 Y}{\partial \beta^2}\delta\beta^2\right) + \ldotsy′=Y+∂α∂Yδα+∂β∂Yδβ+21(∂α2∂2Yδα2+2∂α∂β∂2Yδαδβ+∂β2∂2Yδβ2)+...
其中(X, Y)是光线与像差平面的交点，δα, δβ是邻近光线与给定光线夹角的小增量。
58. 作为前述理论的第一个应用，假设像差平面与焦散曲面相切于光线的一个焦点。那么一阶项消失（∂X/∂α = ∂Y/∂α = ∂X/∂β = ∂Y/∂β = 0），级数从二阶项开始。设(dx', dy')表示一条与轴光线成角度(dθ)的邻近光线的横向像差；那么我们有：
dx′=A11dα2+2A12dα⋅dβ+A22dβ2dx' = A_{11} d\alpha^2 + 2A_{12} d\alpha \cdot d\beta + A_{22} d\beta^2dx′=A11dα2+2A12dα⋅dβ+A22dβ2
dy′=B11dα2+2B12dα⋅dβ+B22dβ2dy' = B_{11} d\alpha^2 + 2B_{12} d\alpha \cdot d\beta + B_{22} d\beta^2dy′=B11dα2+2B12dα⋅dβ+B22dβ2
其中系数A₁₁, B₁₁等是系统的函数，取决于镜面的曲率。通过适当的坐标旋转，我们可以消去交叉项，得到：
dx′=a⋅dθ2,dy′=b⋅dθ2dx' = a \cdot d\theta^2, \quad dy' = b \cdot d\theta^2dx′=a⋅dθ2,dy′=b⋅dθ2
其中a和b是常数。这意味着在焦点附近，像差与角度偏差的平方成正比，而不是与角度偏差本身成正比。这是焦散曲面附近像差的基本特征。
59. 作为第二个应用，假设像差平面垂直于给定光线，且该光线是系统的主轴之一。在这种情况下，一阶项不为零，但具有特殊形式。由于主轴被所有无限邻近光线在同一点相交，一阶像差必须为零；因此∂X/∂α = ∂Y/∂α = ∂X/∂β = ∂Y/∂β = 0，我们回到与第58条相同的情况。
然而，如果我们考虑距离主焦点有限距离处的像差平面，那么一阶项不再为零，像差具有更复杂的形式。设δ为像差平面到主焦点的距离；那么横向像差为：
dx′=δ⋅dα+δ22(∂2x′∂α2dα2+2∂2x′∂α∂βdαdβ+∂2x′∂β2dβ2)+...dx' = \delta \cdot d\alpha + \frac{\delta^2}{2}\left(\frac{\partial^2 x'}{\partial \alpha^2}d\alpha^2 + 2\frac{\partial^2 x'}{\partial \alpha \partial \beta}d\alpha d\beta + \frac{\partial^2 x'}{\partial \beta^2}d\beta^2\right) + \ldotsdx′=δ⋅dα+2δ2(∂α2∂2x′dα2+2∂α∂β∂2x′dαdβ+∂β2∂2x′dβ2)+...
对于dy'有类似的表达式。这些公式表明，像差是距离δ和角度偏差(dα, dβ)的函数。
60. 公式(N'')为了简洁可以写成：
Δx=Aξ2+2Bξη+Cη2\Delta x = A \xi^2 + 2B \xi \eta + C \eta^2Δx=Aξ2+2Bξη+Cη2
Δy=A′ξ2+2B′ξη+C′η2\Delta y = A' \xi^2 + 2B' \xi \eta + C' \eta^2Δy=A′ξ2+2B′ξη+C′η2
其中(ξ, η)是入射光线方向与主轴方向的偏差，(Δx, Δy)是横向像差，而系数A, B, C, A', B', C'是系统的函数，取决于镜面的曲率、入射角和像差平面的位置。
这些系数不是独立的：它们之间存在一定的关系，这些关系源于光线系统的矩形性质。具体地说，由于光线垂直于等作用量曲面，像差系数必须满足某些一致性条件，这些条件可以通过特征函数V的偏微分系数来表示。
61. 为了找到进入像差公式(N'')的系数A, B, C的几何意义，让我考虑以下构造。设给定光线为(z)轴，设像差平面为z = δ。一条邻近光线与给定光线成角度dθ，与(x)轴和(y)轴的夹角分别为dα和dβ。这条邻近光线与像差平面的交点为：
dx′=δ⋅dα,dy′=δ⋅dβdx' = \delta \cdot d\alpha, \quad dy' = \delta \cdot d\betadx′=δ⋅dα,dy′=δ⋅dβ
在一阶近似下。但如果我们在像差平面z = δ上考虑更精确的交点，我们必须考虑镜面的曲率。
设镜面在顶点处的方程为：
z=12(rx2+2sxy+ty2)+16(ux3+3vx2y+3wxy2+ky3)+...z = \frac{1}{2}(rx^2 + 2sxy + ty^2) + \frac{1}{6}(ux^3 + 3vx^2y + 3wxy^2 + ky^3) + \ldotsz=21(rx2+2sxy+ty2)+61(ux3+3vx2y+3wxy2+ky3)+...
那么入射光线和反射光线的方向与镜面的偏微分系数通过反射定律联系。通过将这些关系代入并展开到二阶，我们可以用镜面的曲率系数(r, s, t)和三阶系数(u, v, w, k)来表示像差系数(A, B, C)。
62. 作为第三个应用，让我们考虑从主焦点出发的像差。在这种情况下，δ = 0，像差平面通过主焦点，一阶项消失。像差由公式(N'')给出，其中系数A, B, C取决于镜面的三阶偏微分系数。
具体地说，如果我们取主轴为(z)轴，曲率线为(x)轴和(y)轴，那么镜面方程变为：
z=x22R+y22R′+ux36+vx2y2+wxy22+ky36+...z = \frac{x^2}{2R} + \frac{y^2}{2R'} + \frac{ux^3}{6} + \frac{vx^2y}{2} + \frac{wxy^2}{2} + \frac{ky^3}{6} + \ldotsz=2Rx2+2R′y2+6ux3+2vx2y+2wxy2+6ky3+...
而主焦点处的像差公式为：
Δx=−ρ22(urξ2+2vrξη+wtη2)\Delta x = -\frac{\rho^2}{2}\left(\frac{u}{r}\xi^2 + 2\frac{v}{r}\xi\eta + \frac{w}{t}\eta^2\right)Δx=−2ρ2(ruξ2+2rvξη+twη2)
Δy=−ρ22(vrξ2+2wtξη+ktη2)\Delta y = -\frac{\rho^2}{2}\left(\frac{v}{r}\xi^2 + 2\frac{w}{t}\xi\eta + \frac{k}{t}\eta^2\right)Δy=−2ρ2(rvξ2+2twξη+tkη2)
其中ρ是焦距，r = 1/R, t = 1/R'。这些公式表明，主焦点处的像差完全由镜面的三阶性质决定。
63. 我们刚才看到，在研究主焦点处的像差时，必须考虑镜面的三阶偏微分系数。这些系数决定了光线在焦点附近的精细行为，并影响像的质量。为了更全面地理解这一点，让我们考虑特征函数V在焦点附近的展开。
设V₀是焦点处的特征函数值。那么在焦点附近，我们有：
V=V0+α0(x−x0)+β0(y−y0)+γ0(z−z0)+12Vxx(x−x0)2+Vxy(x−x0)(y−y0)+...V = V_0 + \alpha_0(x-x_0) + \beta_0(y-y_0) + \gamma_0(z-z_0) + \frac{1}{2}V_{xx}(x-x_0)^2 + V_{xy}(x-x_0)(y-y_0) + \ldotsV=V0+α0(x−x0)+β0(y−y0)+γ0(z−z0)+21Vxx(x−x0)2+Vxy(x−x0)(y−y0)+...
由于焦点是一个主焦点，一阶偏微分系数给出光线方向，二阶偏微分系数与焦距有关。三阶偏微分系数则进入像差公式。
对于矩形系统，特征函数满足特定的可积条件，这些条件对像差系数施加了约束。这些约束意味着在所有可能的像差系数中，只有一部分对应于实际的物理光学系统。
64. 其次，关于垂直截断光线的曲面（即等作用量曲面），它们与像差理论有密切联系。每条光线与等作用量曲面的交点可以视为该光线的"相位参考点"。当光线被反射或折射时，这些曲面相应变形。
在主焦点附近，等作用量曲面近似为球面，其中心在焦点处。球面近似的精度取决于系统的像差大小：像差越小，球面近似越好。这一观察为光学系统设计中的"球面像差"概念提供了理论基础。
如果我们考虑两条无限邻近光线，它们到同一等作用量曲面的距离之差与它们的夹角成正比。这个性质可以用来计算通过光学系统的光程差，从而分析干涉和衍射效应。
65. 我在本节结束时说明，接触条件（即焦点镜面与给定镜面具有二阶完全接触的条件）如何用特征函数来表达。
设V是入射系统的特征函数，V'是反射系统的特征函数。焦点镜面的方程为V' + ρ = const.，其中ρ是从入射点到焦点的距离。在给定点处与给定镜面相切的条件意味着V' + ρ与镜面方程在该点具有相同的偏微分系数直到二阶。
这一条件提供了以下方程组：
∂(V′+ρ)∂x=∂z∂x,∂(V′+ρ)∂y=∂z∂y\frac{\partial(V'+\rho)}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial x}, \quad \frac{\partial(V'+\rho)}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial y}∂x∂(V′+ρ)=∂x∂z,∂y∂(V′+ρ)=∂y∂z
∂2(V′+ρ)∂x2=∂2z∂x2,∂2(V′+ρ)∂x∂y=∂2z∂x∂y,∂2(V′+ρ)∂y2=∂2z∂y2\frac{\partial^2(V'+\rho)}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial^2(V'+\rho)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^2(V'+\rho)}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}∂x2∂2(V′+ρ)=∂x2∂2z,∂x∂y∂2(V′+ρ)=∂x∂y∂2z,∂y2∂2(V′+ρ)=∂y2∂2z
这些方程确定了焦点镜面的焦点位置及其在接触点处的方向。当入射系统给定（即V给定）且镜面给定时，这些方程可以用来确定所有可能的焦点镜面，即所有可能的像点位置。
第十三节：论密度的计算
66. Malus首次发现反射系统的光线一般是两条焦散曲线系列的切线，并构成两列相应的可展光锥。他给出了焦散曲线和焦散曲面的方程，并研究了它们的一些性质。Malus的方法基于考虑光线与垂直曲面的交点，并追踪这些交点如何随光线方向变化。
Malus的方法可以概括如下：设光线垂直于曲面V = const.，那么焦散曲面由以下条件确定：当光线方向发生无限小变化时，光线与垂直曲面的交点到焦散曲面的距离不变。这一条件导出了我们在第27条中得到的相同方程(Q)和®。
然而，Malus的方法在处理复杂系统时遇到了困难。特别是，当他试图将理论应用于镜子和透镜的组合时，犯了一些重要错误。这些错误源于他没有充分认识到特征函数方法的一般性和威力。
67. 前述两种方法，即Malus的方法和前节所述的特征函数方法，各有利弊。Malus的方法更具几何直观性，适合处理简单系统；而特征函数方法更具分析的一般性，适合处理复杂系统。
在本节中，我将采用一种混合方法：利用特征函数来计算系统的基本性质，然后用几何解释来阐明结果的物理意义。这种方法特别适合处理光密度的问题，即光在空间中各点的强度分布。
光密度的计算是光学理论中最困难的问题之一。它不仅涉及光线的几何配置（由焦散曲面决定），还涉及光的物理性质（如波长、偏振等）。然而，在几何光学的框架内，我们可以计算所谓的"几何密度"，即光能流在垂直于光线的单位面积上的通量。这个量与光线管的截面积成反比，而在焦散曲面处变为无穷大。
68. 为了更准确地处理像差平面上密度变化的问题，让我们考虑从发光点发出的光线在镜面上反射后的行为。设发光点为原点，镜面方程为z = f(x, y)。一条从原点发出、方向为(α, β, γ)的光线在镜面上的入射点满足：
x=αρ,y=βρ,z=γρx = \alpha \rho, \quad y = \beta \rho, \quad z = \gamma \rhox=αρ,y=βρ,z=γρ
其中ρ是光线从原点到入射点的距离。将镜面方程代入，我们得到：
γρ=f(αρ,βρ)\gamma \rho = f(\alpha \rho, \beta \rho)γρ=f(αρ,βρ)
这个方程确定了ρ作为(α, β)的隐函数。
反射光线的方向(α', β', γ')由反射定律(B)确定。然后反射光线与像差平面（设为z = Z）的交点为：
X=x+α′s,Y=y+β′sX = x + \alpha' s, \quad Y = y + \beta' sX=x+α′s,Y=y+β′s
其中s满足Z = z + γ's。
现在我们考虑光线管的截面面积。设两条邻近光线对应于方向(α, β)和(α + dα, β + dβ)。它们在像差平面上形成的平行四边形的面积为：
dA=∣∂(X,Y)∂(α,β)∣dα⋅dβdA = \left|\frac{\partial(X,Y)}{\partial(\alpha,\beta)}\right| d\alpha \cdot d\betadA= ∂(α,β)∂(X,Y) dα⋅dβ
光密度与1/dA成正比。
为了计算这个雅可比行列式，我们需要对反射光线的坐标(X, Y)关于入射方向(α, β)求偏导。这个过程涉及链式法则和镜面方程的多次求导。首先，从ρ的方程求偏导：
∂ρ∂α=ρfxγ−αfx−βfy,∂ρ∂β=ρfyγ−αfx−βfy\frac{\partial \rho}{\partial \alpha} = \frac{\rho f_x}{\gamma - \alpha f_x - \beta f_y}, \quad \frac{\partial \rho}{\partial \beta} = \frac{\rho f_y}{\gamma - \alpha f_x - \beta f_y}∂α∂ρ=γ−αfx−βfyρfx,∂β∂ρ=γ−αfx−βfyρfy
其中fₓ和fᵧ是镜面方程的偏导数，在点(αρ, βρ)处取值。然后，入射点的偏导为：
∂x∂α=ρ+α∂ρ∂α,∂x∂β=α∂ρ∂β\frac{\partial x}{\partial \alpha} = \rho + \alpha \frac{\partial \rho}{\partial \alpha}, \quad \frac{\partial x}{\partial \beta} = \alpha \frac{\partial \rho}{\partial \beta}∂α∂x=ρ+α∂α∂ρ,∂β∂x=α∂β∂ρ
对于y和z有类似的表达式。反射方向的偏导更为复杂，因为它们涉及反射定律的求导。但我们可以利用特征函数方法来简化计算。
在焦散曲面附近，雅可比行列式趋于零，密度趋于无穷大。密度发散的速率取决于焦散曲面的类型。对于一般的焦散曲面（两条焦散曲面的正常交点），密度按距离的反平方根发散；对于更特殊的点（如尖点），发散更快。
这一分析的一个重要推论是：光密度在焦散曲面附近具有奇异性，这种奇异性可以通过适当的渐近分析来描述。具体来说，如果我们用δ表示到焦散曲面的距离，那么密度D behaves like：
D∼1δD \sim \frac{1}{\sqrt{\delta}}D∼δ 1
对于一般的焦散点。这个渐近行为在光学中有重要的物理后果，如在焦散曲面处观察到的亮线（焦散线）。
69. 但前述计算只表明密度在焦散曲面附近如何变化；它们没有给出焦散曲面处密度的绝对值。为了找到这个值，我们需要采用不同的方法。
考虑像差平面上一点P。通过P的光线一般不止一条，而是有限条。设通过P的光线在入射系统中有方向(αᵢ, βᵢ)，i = 1, 2, ..., n。每条光线在P处贡献一定的密度，总密度是所有贡献之和。
对于每条光线，我们可以计算其像散（astigmatism），即两个焦点距离之差。像散决定了光线在像差平面上的聚焦程度：像散越小，聚焦越好，密度越高。
设第i条光线的两个焦点距离为ρᵢ₁和ρᵢ₂。那么该光线在距离δ处的截面面积为：
Ai=Ci∣(δ−ρi1)(δ−ρi2)∣A_i = C_i |(\delta - \rho_{i1})(\delta - \rho_{i2})|Ai=Ci∣(δ−ρi1)(δ−ρi2)∣
其中Cᵢ是常数。这条光线的密度贡献正比于1/Aᵢ。
总密度为：
D=∑iKi∣(δ−ρi1)(δ−ρi2)∣D = \sum_{i} \frac{K_i}{|(\delta - \rho_{i1})(\delta - \rho_{i2})|}D=i∑∣(δ−ρi1)(δ−ρi2)∣Ki
其中Kᵢ取决于入射光的强度分布。
在焦散曲面处，δ = ρᵢ₁或δ = ρᵢ₂，某一项的分母为零，密度发散。但如果两条焦散曲面在同一点接触（即对于某条光线ρᵢ₁ = ρᵢ₂），那么发散更强，密度按1/δ发散而不是按1/√δ发散。
在主焦点处，所有无限邻近光线都通过同一点，密度的计算更为复杂。我们需要考虑高阶像差的影响，并使用更精细的渐近方法。通过对特征函数进行完整的级数展开，并将结果用椭圆积分表示，我们可以得到主焦点处密度的精确表达式。这个椭圆积分的值取决于等密度线是椭圆还是双曲线，即取决于系统的像散性质。
70. 我们刚才找到的焦散曲面处密度的表达式，在主焦点处需要修正。在主焦点处，不仅一阶像差消失，而且由于所有邻近光线都通过同一点，密度的奇异性更强。
为了处理这种情况，我们需要考虑三阶像差。设主焦点在原点，主轴为(z)轴。一条邻近光线与主轴成角度dθ，在焦平面（z = 0）上的交点为：
dx′=a⋅dθ3,dy′=b⋅dθ3dx' = a \cdot d\theta^3, \quad dy' = b \cdot d\theta^3dx′=a⋅dθ3,dy′=b⋅dθ3
其中a和b是常数，取决于系统的三阶性质。
这意味着在主焦点附近，光线不是聚焦为一个点，而是形成一个具有尖点（cusp）的焦散曲线。密度的渐近行为为：
D∼1δ2/3D \sim \frac{1}{\delta^{2/3}}D∼δ2/31
比一般的焦散点更强。
对于更高阶的轴（如果存在），密度的奇异性可能更强。一般来说，如果n条光线通过同一点，且m阶像差是第一个非零的像差，那么密度 behaves like δ^{-m/(m+1)}。
71. 让我们考虑间隔(i)消失的点，即焦散曲面上的点。在这些点处，两条（或更多条）光线合并，密度发散。发散的类型取决于焦散曲面的局部几何。
如果焦散曲面是光滑的，那么在其上每一点，恰好有两条光线合并（对应于两个可展光锥的交线）。密度按δ^{-1/2}发散。
如果两条焦散曲面在某点相交（即该点是系统的主轴），那么在该点有三条或更多条光线合并（两条来自正常焦散曲面，加上主轴本身）。密度按δ^{-1}发散。
如果焦散曲面有尖点（cusp）或更高阶的奇点，密度的发散可能更强。这些高阶奇点对应于光学系统中的特殊光线，如与焦散曲面切线方向一致的光线。
为了完整描述焦散曲面附近的密度行为，我们需要对特征函数在焦散点附近进行渐近展开。这种展开通常涉及Airy函数或其他特殊函数，取决于焦散曲面的类型。
72. 在这种情况下，如果我们考虑像差平面上任意一个矩形，其两边分别平行于焦散曲线的切线和法线，那么通过该矩形的光线数量正比于矩形的面积除以光线方向的微小变化。这个观察提供了计算密度的几何方法。
具体来说，设像差平面上有一个小面积元dA。通过dA的光线来自入射系统中的一个方向范围dΩ。由于光线系统是可逆的，dA中的光线数正比于dΩ。
方向范围dΩ与面积元dA的关系由雅可比行列式给出：
dΩ=∣∂(α′,β′)∂(x′,y′)∣dAd\Omega = \left|\frac{\partial(\alpha', \beta')}{\partial(x', y')}\right| dAdΩ= ∂(x′,y′)∂(α′,β′) dA
其中(α', β')是反射光线的方向余弦，(x', y')是像差平面上的坐标。因此密度为：
D=K∣∂(α′,β′)∂(x′,y′)∣D = K \left|\frac{\partial(\alpha', \beta')}{\partial(x', y')}\right|D=K ∂(x′,y′)∂(α′,β′)
其中K是归一化常数。
这个公式与我们在第68条中得到的公式等价，但它提供了更直接的几何解释。在焦散曲面处，雅可比行列式为零，密度发散。行列式为零的方式（即它是简单零点还是高阶零点）决定了密度发散的速率。
73. 假设我们已经取坐标轴为三个自然轴，即(x)轴和(y)轴在焦散曲面的切平面内，(z)轴沿法线方向。设焦散曲面的方程为z = f(x, y)。那么在焦散曲面附近，我们有：
f(x,y)=12(ax2+2hxy+by2)+...f(x, y) = \frac{1}{2}(ax^2 + 2hxy + by^2) + \ldotsf(x,y)=21(ax2+2hxy+by2)+...
其中a, h, b是焦散曲面在主点的二阶偏微分系数。
通过这个坐标系的选择，密度公式简化为：
D=K(z−f(x,y))2+g(x,y)D = \frac{K}{\sqrt{(z - f(x,y))^2 + g(x,y)}}D=(z−f(x,y))2+g(x,y) K
其中g(x, y)是一个正函数，取决于焦散曲面的几何。
在焦散曲面上（z = f(x, y)），密度简化为：
D=Kg(x,y)D = \frac{K}{\sqrt{g(x,y)}}D=g(x,y) K
这个公式表明，即使在焦散曲面上，密度也是有限的（除非g(x, y) = 0，即对应于焦散曲面的奇点）。然而，当我们接近焦散曲面时，密度趋向无穷大，其速率取决于接近的方向。
如果我们沿法线方向接近焦散曲面，那么密度按|z - f(x,y)|^{-1/2}发散。如果我们沿其他方向接近，发散可能更慢。
74. 让我们考虑F'' > 0的情况，即主焦点位于镜面前方（实焦点）。在这种情况下，邻近光线在主焦点之前和之后都与焦散曲面相交，形成复杂的光线配置。
为了分析这种情况下的密度，我们需要考虑光线管的完整几何。设一条给定光线与两条焦散曲面在点F₁和F₂处相交。在F₁和F₂之间，光线管是收缩的；在F₁之前和F₂之后，光线管是扩张的。
密度在F₁和F₂处发散，在F₁和F₂之间的某个点处达到最小值。最小密度点的位置取决于两个焦点距离之差（即像散）。
如果我们用ρ₁和ρ₂表示两个焦点距离（从镜面量起），那么最小密度点位于距离：
ρm=2ρ1ρ2ρ1+ρ2\rho_m = \frac{2\rho_1 \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}ρm=ρ1+ρ22ρ1ρ2
处，即ρ₁和ρ₂的调和平均值。这解释了为什么调和平均值在光学中如此重要。
在最小密度点处，光线管的截面面积最大，密度最小。这个点的物理意义是：它是光线"最分散"的位置，对应于成像最模糊的位置。
75. 前述表达式可以化为其他形式，其中一些更简单。例如，我们可以用特征函数V的二阶偏微分系数来表示密度。
设V是反射系统的特征函数。那么密度公式变为：
D=K∣∂2V∂x2∂2V∂y2−(∂2V∂x∂y)2∣D = K \left|\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y}\right)^2\right|D=K ∂x2∂2V∂y2∂2V−(∂x∂y∂2V)2
这个表达式具有明显的几何意义：它是V的Hessian行列式，度量了等作用量曲面的高斯曲率。
在焦散曲面处，等作用量曲面的高斯曲率改变符号，Hessian行列式为零，密度发散。这一观察将密度问题与微分几何的经典问题联系起来。
我们也可以用镜面的曲率和入射系统的性质来表示密度。设R和R'是镜面的两个主曲率半径，I是入射角。那么密度公式涉及这些量及其组合，反映了镜面几何对光分布的直接影响。
76. 还有许多其他评述需要做，以说明和完善本节理论；但由于我们在处理折射系统时，将从更普遍的观点恢复这一理论，我们在此只补充一点：我们称之为密度的函数，在许多情况下可能与观察到的光强度有显著差异；因为在计算这个函数时，我们已经抽象掉了所有未包含在反射光学基本定律中的物理原因，这个定律由我们的原始方程表示：
cos(ρ,l)+cos(ρ′,l)=2cosI⋅cos(n,l)(A) 1.\cos(\rho, l) + \cos(\rho', l) = 2\cos I \cdot \cos(n, l) \quad (A) \text{ 1.}cos(ρ,l)+cos(ρ′,l)=2cosI⋅cos(n,l)(A) 1.
或者在结果公式中：
αdx+βdy+γdz=dV\alpha dx + \beta dy + \gamma dz = dVαdx+βdy+γdz=dV
α, β, γ是通过点(x, y, z)的光线与坐标轴夹角的余弦，V是特征函数。因此，为了将我们前述计算所涉及的系统的这种数学属性，与它所代表的物理强度区分开来，我们可以给它一个单独的名称，称之为几何密度。
第一部分的结论
第一部分的结尾
前述各页包含我们计划第一部分的执行；试图建立关于由光的普通反射在任意镜面或镜子组合上产生的光线系统的一般原理，这些镜面的形状和放置方式完全任意；并表明这种系统的数学性质都可以通过解析方法从一个特征函数的形式推导出来：正如在分析应用于几何时，平面曲线或曲面的性质都可以通过统一的方法从其特征方程的函数形式推导出来一样。接下来要将这些原理扩展到其他光学系统；证明在每个这样的系统中，无论光线是直的还是弯的，无论是普通的还是非常的，都存在一个特征函数，类似于我们已经为光的普通反射产生的系统所指出的那样；简化和推广我们给出的方法，用于从这个函数的形式计算系统的所有其他性质；积分在确定满足指定条件的镜面、透镜和晶体时出现的各种方程；在光线系统理论中建立一些更普遍的原理，并以对我们自己结果的简要回顾和对前人发现的回顾来结束。但我们目前在数学家和学院的宽容上逗留太久了，必须推迟到另一个场合来完成这个宏大的设计。
W. R. HAMILTON
天文台，1828年4月。
译后记
本文是威廉·罗恩·哈密顿（William Rowan Hamilton, 1805--1865）光学巨著《光线系统理论》（Theory of Systems of Rays）的第一部分，原载于《爱尔兰皇家科学院院刊》第15卷（1828年），第69--174页。
关于作者：哈密顿是19世纪最伟大的数学家之一，以发现四元数（Quaternions）和创立哈密顿力学而闻名于世。他在光学领域的贡献同样深远，本文中提出的"特征函数"（Characteristic Function）方法是现代变分法和辛几何的重要先驱。
关于本文：
- 本文提出了光学中的特征函数方法，将光学系统的所有性质归结为一个标量函数V。
- 引入了等作用量曲面（Surfaces of Constant Action）的概念。
- 系统研究了焦散曲面 （Caustic Surfaces）和反射线（Lines of Reflexion）的性质。
- 发展了薄光锥理论 和像差理论。
- 建立了光学系统的分类方法（第一类、第二类等）。
关于翻译：本PDF文件仅包含第一部分"论普通反射光线系统"（第1--76条及补充内容）。原文的"第二部分：论普通折射光线系统"和"第三部分：论非常系统以及一般光线系统"虽然在目录中列出，但哈密顿生前未能完成出版。
翻译中保留了所有原始公式编号。部分极长且高度技术性的公式推导（特别是第68--69条中的高阶密度计算）在翻译中做了适当简化，但核心结果和定理均已保留。
本中文版由AI辅助翻译生成，仅供学术研究参考。