证明 2 \sqrt2 2 不是有理数
假设它是有理数。
那么它可以写成两个整数之比：
2 = a b \sqrt2=\frac ab 2 =ba
其中：
- a , b a,b a,b 是整数
- b ≠ 0 b\neq0 b=0
- 并且分数已经约分到最简，即：
gcd ( a , b ) = 1 \color{red}\gcd(a,b)=1 gcd(a,b)=1
- 两边平方：
2 = a 2 b 2 2=\frac{a^2}{b^2} 2=b2a2
- 移项：
a 2 = 2 b 2 a^2=2b^2 a2=2b2
-
a是偶数:一个整数平方是偶数，那么这个整数本身也是偶数。
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b是偶数:将上边结论带回得到
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矛盾出现： gcd ( a , b ) ≠ 1 \color{red}\gcd(a,b) \neq 1 gcd(a,b)=1
p i pi pi 是无理数的证明
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p i pi pi 是无理数的证明，比 2 \sqrt2 2 难很多很多。 s q r t 2 sqrt2 sqrt2 的证明只需要整数奇偶性；而 p i pi pi的无理性证明已经涉及微积分&特殊函数.
π \pi π 是"分析学对象",它来自极限 -
历史上第一个严格证明是 Johann Heinrich Lambert 在 1761 年给出的。
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结论
π ∉ Q \pi \notin \mathbb Q π∈/Q
证明思路（Niven 证明）
- 经典版本由 Ivan Niven 给出。核心思想：
构造一个"既是整数，又严格在 0 和 1 之间"的量。
证明
- 假设 π \pi π 是有理数
π = a b \pi=\frac ab π=ba
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其中 a,b为整数。
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利用 π \pi π性质构造矛盾
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然后选一个很大的整数 (n)，构造函数：
f ( x ) = x n ( a − b x ) n n ! f(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!} f(x)=n!xn(a−bx)n
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这个函数有几个特点：
- 在区间 0 , π 0,\\pi 0,π 上非负
- 在端点 0 和 π \pi π 处为 0
- 导数有很特殊的整数性质
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接着考虑积分：
I = ∫ 0 π f ( x ) sin x , d x I=\int_0^\pi f(x)\sin x,dx I=∫0πf(x)sinx,dx
- 通过反复分部积分，可以证明 I I I是一个整数。
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但另一方面，
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因为：
- f ( x ) ≥ 0 f(x)\ge0 f(x)≥0
- sin x > 0 , 在 ( 0 , π ) 内 \sin x>0,在 (0,\pi) 内 sinx>0,在(0,π)内
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所以：
I > 0 I>0 I>0
- 同时n足够大时：
0 < I < 1 0<I<1 0<I<1
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矛盾。
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因此： π \pi π不是有理数。
超越数
- Ferdinand von Lindemann 证明 π \pi π不仅无理，而且是超越数（transcendental number）。它甚至不是任何整数系数多项式的根。
测度
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"实变函数和泛函分析"的课程中已经告诉我们有理数的测度为0。.
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现在考虑另外一个问题， "两个无理数相乘得到有理数"的那些点，在整体里占多大（测度多大）？
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答案是：在二维平面里，它们的 Lebesgue 测度是 0。也是极其稀少。
设集合：
S = ( x , y ) ∈ ( R ∖ Q ) 2 : x y ∈ Q S={(x,y)\in (\mathbb R\setminus\mathbb Q)^2 : xy\in\mathbb Q} S=(x,y)∈(R∖Q)2:xy∈Q
- 如果：
x y = q xy=q xy=q
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其中 q ∈ Q q\in\mathbb Q q∈Q,
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那么：
y = q x y=\frac qx y=xq
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对于每个固定有理数 (q)，
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满足条件的点都落在曲线：
y = q x y=\frac qx y=xq
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上。
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而 一条曲线在二维平面中的面积是 0 \color{red}一条曲线在二维平面中的面积是 0 一条曲线在二维平面中的面积是0 这是测度论基本事实。
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现在有理数集合 Q \mathbb Q Q 是可数的。所以：
S S S
是"可数条曲线"的并：
KaTeX parse error: Expected '}', got '\right' at position 56: ...y=\frac {q}{x} \̲r̲i̲g̲h̲t̲}
- 可数个零测集的并仍然是零测集。因此：
μ ( S ) = 0 \mu(S)=0 μ(S)=0
- 或许无理数本身可以粗略看成另一个维度
无理数集合的"非正则"性质
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通过以上定理可以发现，无理数集合是"不规则"的。在数学中可以称作是非Regular (正则/规范)的。
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无理数集合 I=R∖Q的性质"差很多"。
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不是群 （既不是加法群，也不是乘法群）
不对加法封闭
不对乘法封闭
没有单位元
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不是环，环至少要求加法形成阿贝尔群
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更不是域，域比环要求更强。
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只是"从实数里扣掉有理数剩下的部分"。
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数学里的 "补集"通常不会继承代数结构。
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无理数是不是相当于另一个维度的数据
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相比叫而言无理数大概率是是有理数非线性运算得到的。
CG
- 超越数到底超越了啥？刘维尔超越数定理
- 代数数的概念是18世纪伟大数学家 莱昂哈德·欧拉（德语：Leonhard Euler，1707年4月15日---1783年9月18日）提出的。
- 欧拉是首次将极限明确用来定义数学常数 e e e 的人
- 代数数：
- 一篇文章 最反直觉的数学事实之一：几乎所有的实数都是"超越数"，能被证明的却没几个，但是感觉这个并不反直觉。就像二维世界上弯曲的路比直的路多一样。
- 主要是我们能定义的超越数比较少。
- 还有评论：任何代数数a和超越数b,a+b都是超越数，所以超越数显然不会比代数数少。
- 欧拉的物理学成就:绞盘方程或皮带摩擦方程 ，也称为欧拉-艾特尔魏因公式，描述了使缠绕在圆柱体上并在其另一侧张紧的柔性绳索（例如绳索、钢丝绳或皮带）发生滑动所需的张力。 弯曲表面上张紧的柔性绳索会产生法向力和相应的摩擦力，导致使绳索滑动所需的载荷大于保持其张紧所需的载荷。