编辑距离（Edit Distance）——从字符串相似度到动态规划经典模型

引言

在自然语言处理（NLP）、搜索引擎纠错、DNA序列比对、拼写检查系统等领域，经常需要衡量两个字符串之间的相似程度。

例如：

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kitten
sitting

显然两个单词非常接近，但究竟有多接近？

如何用数学方法描述这种"接近程度"？

为了解决这一问题，俄罗斯科学家 Vladimir Levenshtein 于 1965 年提出了著名的 Levenshtein Distance（编辑距离）。

编辑距离定义为：

将一个字符串转换为另一个字符串所需要执行的最少编辑操作次数。

允许的操作包括：

插入（Insert）
删除（Delete）
替换（Replace）

问题描述

给定两个字符串：

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word1
word2

求将 word1 转换为 word2 所需的最少操作次数。

例如：

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horse → ros

转换过程：

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horse
↓ replace(h,r)
rorse
↓ delete(r)
rose
↓ delete(e)
ros

答案：

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编辑距离的本质

假设：

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word1 = horse
word2 = ros

我们关注的是：

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horse前i个字符
与
ros前j个字符

之间的最优转换方案。

因此可以发现：

一个大问题可以分解为若干个更小的子问题。

这正是动态规划的典型特征。

动态规划状态定义

设：

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dp[i][j]

表示：

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word1前i个字符
转换成
word2前j个字符

所需的最少操作次数

例如：

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dp[3][2]

表示：

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"hor"
→
"ro"

的最小编辑距离。

状态转移推导

这是整道题最核心的部分。

情况一：字符相同

假设：

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word1[i-1] == word2[j-1]

例如：

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abc
abc

最后一个字符已经匹配：

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c == c

无需额外操作。

因此：

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dp[i][j] = dp[i-1][j-1]

情况二：字符不同

假设：

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word1[i-1] != word2[j-1]

例如：

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horse
ros

最后一个字符不同。

此时有三种选择。

1. 删除

删除 word1 的最后一个字符：

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horse
↓
hors

问题变成：

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dp[i-1][j]

再加一次删除操作：

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dp[i-1][j] + 1

2. 插入

向 word1 末尾插入一个字符：

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hors
↓
horse

对应：

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dp[i][j-1]

再执行一次插入：

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dp[i][j-1] + 1

3. 替换

直接修改最后一个字符：

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horse
↓
rorse

对应：

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dp[i-1][j-1]

加一次替换：

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dp[i-1][j-1] + 1

综合状态转移方程

因此得到：

dp $i$ $j$ =\min\left(dp $i-1$ $j$ +1,\ dp $i$ $j-1$ +1,\ dp $i-1$ $j-1$ +cost\right)

其中：

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cost =
0  (字符相同)
1  (字符不同)

或者写成：

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if(word1[i-1] == word2[j-1])
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
else
    dp[i][j] =
        min({
            dp[i-1][j],      // 删除
            dp[i][j-1],      // 插入
            dp[i-1][j-1]     // 替换
        }) + 1;

初始化分析

动态规划中最容易忽略的部分就是边界条件。

第一列

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dp[i][0]

表示：

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word1前i个字符
→
空串

唯一办法：

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全部删除

因此：

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dp[i][0] = i;

第一行

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dp[0][j]

表示：

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空串
→
word2前j个字符

只能不断插入：

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dp[0][j] = j;

DP表格演示

以：

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word1 = horse
word2 = ros

为例：

	""	r	o	s
""	0	1	2	3
h	1	1	2	3
o	2	2	1	2
r	3	2	2	2
s	4	3	3	2
e	5	4	4	3

最终：

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dp[5][3]

即：

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代码实现

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class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {

        int m = word1.size();
        int n = word2.size();

        vector<vector<int>> dp(
            m + 1,
            vector<int>(n + 1, 0)
        );

        // 初始化
        for(int i = 0; i <= m; i++)
            dp[i][0] = i;

        for(int j = 0; j <= n; j++)
            dp[0][j] = j;

        // 状态转移
        for(int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if(word1[i-1] == word2[j-1])
                {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
                }
                else
                {
                    dp[i][j] =
                        min({
                            dp[i-1][j],      // 删除
                            dp[i][j-1],      // 插入
                            dp[i-1][j-1]     // 替换
                        }) + 1;
                }
            }
        }

        return dp[m][n];
    }
};

空间优化

观察状态转移：

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dp[i][j]

仅依赖于：

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dp[i-1][j]
dp[i][j-1]
dp[i-1][j-1]

即：

当前行
上一行

因此可以压缩成：

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O(n)

空间复杂度。

优化后：

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时间复杂度：O(mn)

空间复杂度：O(n)

编辑距离的现实应用

编辑距离远不止是一道算法题。

它广泛应用于工业系统。

搜索引擎纠错

用户输入：

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googel

系统自动纠正：

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google

因为：

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EditDistance(googel, google)=2

拼写检查器

例如：

Microsoft Word
VSCode
IntelliJ IDEA

都会计算候选词的编辑距离。

DNA序列比对

生物信息学中：

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ACTGCA
ACTACA

可以通过编辑距离衡量基因序列相似度。

OCR文字识别

识别结果：

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ChatGP7

真实结果：

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ChatGPT

编辑距离：

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系统可以自动修正。

动态规划思想总结

编辑距离是动态规划中的经典代表问题，其核心思想可以概括为：

将字符串问题转化为二维状态空间。
定义 dp[i][j] 表示两个前缀字符串的最优解。
根据最后一个字符是否相同进行分类讨论。
将复杂转换过程归结为：
- 插入
- 删除
- 替换

最终建立最优子结构关系。

从算法体系角度看，编辑距离与：

最长公共子序列（LCS）
最长公共子串
不同的子序列
正则表达式匹配

共同构成了**字符串动态规划（String DP）**的重要基础，其思想在自然语言处理、生物信息学以及搜索推荐系统中均具有广泛应用价值。