Java数据结构（二）：时间和空间复杂度

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内容大纲：

本文探讨了算法效率的评估标准，重点分析了时间复杂度和空间复杂度。递归实现的斐波那契数列算法时间复杂度为O(2^N)，效率较低。时间复杂度使用大O渐进表示法，通过保留最高阶项来简化计算，如O(N^2)、O(N)等。空间复杂度计算变量个数，如递归阶乘的空间复杂度为O(N)。现代计算机存储容量大，通常更关注时间复杂度而非空间复杂度。文中通过多个代码实例演示了复杂度计算方法，并强调实际应用中应重点关注算法的最坏情况时间复杂度。

一：如何衡量⼀个算法的好坏

下⾯求斐波那契数列的算法好还是不好，为什么？该如何衡量⼀个算法的好坏呢？

java 复制代码

public static long Fib(int N){
if(N < 3){
return 1;
}
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

二：算法效率

算法效率分析分为两种：第⼀种是时间效率，第⼆种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，⽽空间效率被称作空间复杂度。时间复杂度主要衡量的是⼀个算法的运⾏速度，⽽空间复杂度主要衡量⼀个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很⼩。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机⾏业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很⾼的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注⼀个算法的空间复杂度。

三：时间复杂度

1.时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是⼀个数学函数，它定量描述了该算法的运⾏时间。⼀个算法执⾏所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很⿇烦，所以才有了时间复杂度这个分析⽅式。⼀个算法所花费的时间与其中语句的执⾏次数成正⽐例，算法中的基本操作的执⾏次数，为算法的时间复杂度。

2.⼤O的渐进表⽰法

java 复制代码

// 请计算⼀下func1基本操作执⾏了多少次？
 
void func1(int N){
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N ; i++) {
        for (int j = 0; j < N ; j++) {
        count++;
        }
    }

    for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
    count++;
    }

    int M = 10;
    while ((M--) > 0) {
    count++;
    }

    System.out.println(count);
}

func1 执⾏的基本操作次数：

F(N) = N^2 + 2*N + 10

• N=10 F(N)=130

• N=100 F(N)=10210

• N=1000 F(N)=1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不⼀定要计算精确的执⾏次数，⽽只需要⼤概执⾏次数，那么这⾥我们使⽤⼤O的渐进表⽰法。

⼤O符号（BigOnotation）：是⽤于描述函数渐进⾏为的数学符号。

3.推导⼤O阶⽅法

1、⽤常数1取代运⾏时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运⾏次数函数中，只保留最⾼阶项。

3、如果最⾼阶项存在且不是1，则去除与这个项⽬相乘的常数。得到的结果就是⼤O阶。

使⽤⼤O的渐进表⽰法以后，func1的时间复杂度为：

O(N^2)

• N=10 F(N)=100

• N=100 F(N)=10000

• N=1000 F(N)=1000000

通过上⾯我们会发现⼤O的渐进表⽰法去掉了那些对结果影响不⼤的项，简洁明了的表⽰出了执⾏次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输⼊规模的最⼤运⾏次数(上界)

最好情况：任意输⼊规模的最⼩运⾏次数(下界)

例如：在⼀个⻓度为N数组中搜索⼀个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

在实际中⼀般情况关注的是算法的最坏运⾏情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

4.常⻅时间复杂度计算举例

【实例1】

java 复制代码

void func2(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
count++;
}
int M = 10;
while ((M--) > 0) {
count++;
}
System.out.println(count);
}

实例1基本操作执⾏了2N+10次，通过推导⼤O阶⽅法知道，时间复杂度为O(N)

【实例2】

java 复制代码

void func3(int N, int M) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; k++) {
        count++;
    }
    for (int k = 0; k < N ; k++) {
        count++;
    }
    System.out.println(count);
}

实例2基本操作执⾏了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为O(N+M)

【实例3】

实例3基本操作执⾏了100次，通过推导⼤O阶⽅法，时间复杂度为O(1)

java 复制代码

void func4(int N) {
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; k++) {
        count++;
    }
    System.out.println(count);
}

【实例4】

java 复制代码

long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}

实例4通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

【实例5】

java 复制代码

int fibonacci(int N) {
return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

实例5通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。（建议画图递归栈帧的⼆叉树讲解）

四：空间复杂度

空间复杂度是对⼀个算法在运⾏过程中临时占⽤存储空间⼤⼩的量度 。空间复杂度不是程序占⽤了多少bytes的空间，因为这个也没太⼤意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使⽤⼤O渐进表⽰法

【实例1】

java 复制代码

void bubbleSort(int[] array) {

for (int end = array.length; end > 0; end--) {
boolean sorted = true;

for (int i = 1; i < end; i++) {
    if (array[i - 1] > array[i]) {
    Swap(array, i - 1, i);
    sorted = false;
    }
}

if (sorted == true) {
break;
}

}

}

实例1使⽤了常数个额外空间，所以空间复杂度为O(1)

【实例2】

java 复制代码

long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}

实例2递归调⽤了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使⽤了常数个空间。空间复杂度为O(N)

以上就是我们的全部内容了！！！！