无线通信中的路径损耗模型深度解析

如果说 RSSI 是"可观测现象"，那么路径损耗模型就是"把现象组织成理论"的第一层工具。

路径损耗模型为什么这样写、适用于什么尺度、参数怎么估计、为什么一旦用错就会导致测距与定位整体失真。

1. 什么叫路径损耗

路径损耗（Path Loss）描述的是：

电磁波从发射端传播到接收端后，平均功率随传播距离和环境变化而降低的规律。

它关注的是"平均大尺度衰减"，而不是每个瞬时抖动。

定义上，若发射功率为 PtP_tPt，接收功率为 PrP_rPr，则路径损耗可写为：

PL=PtPr PL=\frac{P_t}{P_r} PL=PrPt

在 dB 域中：

PL(dB)=Pt(dBm)−Pr(dBm) PL(\text{dB}) = P_t(\text{dBm}) - P_r(\text{dBm}) PL(dB)=Pt(dBm)−Pr(dBm)

这个定义看起来简单，但后面所有模型的差异，都是在回答一个问题：

在什么环境、什么尺度下，PrP_rPr 应该怎样随 ddd 变化？

2. 最基础的模型：自由空间路径损耗

2.1 从 Friis 公式出发

自由空间中，经典 Friis 公式给出：

Pr=PtGtGr(λ4πd)2 P_r=P_t G_t G_r \left(\frac{\lambda}{4\pi d}\right)^2 Pr=PtGtGr(4πdλ)2

忽略天线增益后，路径损耗为：

PLFS=(4πdλ)2 PL_{\text{FS}}=\left(\frac{4\pi d}{\lambda}\right)^2 PLFS=(λ4πd)2

转成 dB 形式：

PLFS(dB)=20log⁡10(4πdλ) PL_{\text{FS}}(\text{dB})=20\log_{10}\left(\frac{4\pi d}{\lambda}\right) PLFS(dB)=20log10(λ4πd)

因为 λ=c/f\lambda=c/fλ=c/f，所以：

PLFS(dB)=20log⁡10(d)+20log⁡10(f)+20log⁡10(4πc) PL_{\text{FS}}(\text{dB})=20\log_{10}(d)+20\log_{10}(f)+20\log_{10}\left(\frac{4\pi}{c}\right) PLFS(dB)=20log10(d)+20log10(f)+20log10(c4π)

2.2 这个模型为什么重要

它给出了所有路径损耗模型的"物理起点"：

距离每翻倍，损耗增加约 6 dB；
频率每翻倍，损耗也增加约 6 dB；
路径损耗首先是几何扩散的结果。

2.3 但它为什么不够

因为真实无线环境里还存在：

墙体阻挡；
地面反射；
走廊波导效应；
多径散射；
人体吸收与设备姿态变化。

自由空间模型只能作为"基线"，不能直接拿来拟合复杂室内环境。

3. 对数距离路径损耗模型是怎么来的

3.1 经验发现

大量测量表明，在很多环境中，平均接收功率随距离并不严格服从自由空间的 d−2d^{-2}d−2，而更接近：

Pr(d)∝d−n P_r(d)\propto d^{-n} Pr(d)∝d−n

其中 nnn 是环境相关的路径损耗指数。

3.2 对数化后变成线性结构

对上式两边取 10log⁡1010\log_{10}10log10：

10log⁡10Pr(d)=C−10nlog⁡10(d) 10\log_{10}P_r(d)=C-10n\log_{10}(d) 10log10Pr(d)=C−10nlog10(d)

若选参考距离 d0d_0d0，则可写成路径损耗形式：

PL(d)=PL(d0)+10nlog⁡10(dd0) PL(d)=PL(d_0)+10n\log_{10}\left(\frac{d}{d_0}\right) PL(d)=PL(d0)+10nlog10(d0d)

这就是最常见的 Log-Distance Path Loss Model。

3.3 路径损耗指数 nnn 的物理意义

nnn 描述的是平均功率衰减速度：

n=2n=2n=2：自由空间；
n>2n>2n>2：存在反射、遮挡、吸收，平均衰减更快；
特殊走廊或波导场景中，局部可能出现接近或低于 2 的有效指数。

因此 nnn 不是常数，而是环境参数。

4. 参考距离 d0d_0d0 为什么必须引入

很多人直接写：

PL(d)=A+10nlog⁡10(d) PL(d)=A+10n\log_{10}(d) PL(d)=A+10nlog10(d)

这在工程上能用，但理论上不够规范。

更严谨的写法是引入参考距离 d0d_0d0：

PL(d)=PL(d0)+10nlog⁡10(dd0) PL(d)=PL(d_0)+10n\log_{10}\left(\frac{d}{d_0}\right) PL(d)=PL(d0)+10nlog10(d0d)

原因有三点：

路径损耗模型只在某个尺度范围内近似成立；
PL(d0)PL(d_0)PL(d0) 可以与实际测量标定直接对应；
这样模型结构更容易推广到不同频段和不同环境。

通常在室内 RSSI 定位里，会取 d0=1 md_0=1\text{ m}d0=1 m，于是：

PL(d)=PL(1)+10nlog⁡10(d) PL(d)=PL(1)+10n\log_{10}(d) PL(d)=PL(1)+10nlog10(d)

5. 对数正态阴影模型：为什么要加随机项

5.1 同一距离下的功率为什么不是常数

即使距离固定，信号路径上也可能存在不同障碍组合：

墙；
柜子；
人体；
玻璃和金属表面；
环境中的移动物体。

这些因素会让平均路径损耗围绕主趋势上下波动。

5.2 模型表达

于是路径损耗模型常写为：

PL(d)=PL(d0)+10nlog⁡10(dd0)+Xσ PL(d)=PL(d_0)+10n\log_{10}\left(\frac{d}{d_0}\right)+X_\sigma PL(d)=PL(d0)+10nlog10(d0d)+Xσ

其中：

Xσ∼N(0,σ2) X_\sigma\sim\mathcal N(0,\sigma^2) Xσ∼N(0,σ2)

在 dB 域中它服从高斯分布，所以叫 log-normal shadowing model。

5.3 为什么这一步很关键

因为它承认了一个事实：

路径损耗模型不是确定性方程，而是"确定趋势 + 随机扰动"的统计模型。

这使得后面可以做：

置信区间估计；
最大似然参数估计；
概率定位；
不确定度传播分析。

6. 从路径损耗到 RSSI 模型

接收信号强度常写成：

RSSI(d)=Pt+Gt+Gr−PL(d) RSSI(d)=P_t + G_t + G_r - PL(d) RSSI(d)=Pt+Gt+Gr−PL(d)

若把常量合并，并采用参考距离模型，可写成：

RSSI(d)=A−10nlog⁡10(d)+ϵ RSSI(d)=A-10n\log_{10}(d)+\epsilon RSSI(d)=A−10nlog10(d)+ϵ

其中：

AAA 是 d=1d=1d=1 m 处的参考 RSSI；
ϵ\epsilonϵ 吸收阴影、多径、设备偏移等误差。

这条式子正是 BLE/Wi-Fi/ZigBee 等大量 RSSI 测距工作的基础。

7. 参数怎么估：不是拍脑袋

7.1 线性回归形式

令：

xi=log⁡10(di),yi=RSSIi x_i=\log_{10}(d_i),\qquad y_i=RSSI_i xi=log10(di),yi=RSSIi

则模型变成：

yi=A−10nxi+ϵi y_i = A - 10n x_i + \epsilon_i yi=A−10nxi+ϵi

也就是：

yi=β0+β1xi+ϵi y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+\epsilon_i yi=β0+β1xi+ϵi

其中：

β0=A\beta_0=Aβ0=A；
β1=−10n\beta_1=-10nβ1=−10n。

7.2 最小二乘估计推导

目标是最小化残差平方和：

J(β0,β1)=∑i=1N(yi−β0−β1xi)2 J(\beta_0,\beta_1)=\sum_{i=1}^{N}(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)^2 J(β0,β1)=i=1∑N(yi−β0−β1xi)2

对 β0,β1\beta_0,\beta_1β0,β1 求偏导并令其为 0，可得正规方程。解为：

β^1=∑i=1N(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1N(xi−xˉ)2 \hat{\beta}1=\frac{\sum{i=1}^{N}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar x)^2} β^1=∑i=1N(xi−xˉ)2∑i=1N(xi−xˉ)(yi−yˉ)

β^0=yˉ−β^1xˉ \hat{\beta}_0=\bar y-\hat{\beta}_1\bar x β^0=yˉ−β^1xˉ

因此：

n^=−β^110,A^=β^0 \hat n=-\frac{\hat{\beta}_1}{10},\qquad \hat A=\hat{\beta}_0 n^=−10β^1,A^=β^0

7.3 残差方差怎么估

设残差为：

ei=yi−β^0−β^1xi e_i=y_i-\hat{\beta}_0-\hat{\beta}_1x_i ei=yi−β^0−β^1xi

则可估计阴影项方差：

σ^2=1N−2∑i=1Nei2 \hat \sigma^2=\frac{1}{N-2}\sum_{i=1}^{N}e_i^2 σ^2=N−21i=1∑Nei2

于是模型不再只是"均值趋势"，还带有随机波动强度的估计。

8. 为什么不同场景会得到不同模型

8.1 同一频段，不同环境，参数不同

路径损耗模型的参数至少依赖：

频率；
天线高度；
发射功率与方向图；
场景结构；
视距/非视距条件；
材料穿透损耗。

所以在文献里常会看到：

办公室一个 nnn；
仓库另一个 nnn；
走廊又一个 nnn。

8.2 为什么这不是模型"错了"

因为路径损耗模型本来就是场景统计模型，不是绝对普适的封闭解析解。

它的意义在于：

给出平均衰减趋势；
提供参数化表达；
便于工程估计与优化。

9. 路径损耗模型的几种常见扩展

9.1 Partition Loss Model

当知道信号穿过了多少堵墙、几层楼时，可写成：

PL(d)=PL(d0)+10nlog⁡10(dd0)+∑kWk PL(d)=PL(d_0)+10n\log_{10}\left(\frac{d}{d_0}\right)+\sum_k W_k PL(d)=PL(d0)+10nlog10(d0d)+k∑Wk

其中 WkW_kWk 是第 kkk 类障碍物附加损耗。

这个模型适合建筑内显式考虑墙体材料的场景。

9.2 Multi-slope Model

有些场景下，近距离和远距离的衰减规律不同，可写成分段模型：

PL(d)={PL(d0)+10n1log⁡10(d/d0),d≤dbPL(db)+10n2log⁡10(d/db),d>db PL(d)= \begin{cases} PL(d_0)+10n_1\log_{10}(d/d_0), & d\le d_b\\ PL(d_b)+10n_2\log_{10}(d/d_b), & d>d_b \end{cases} PL(d)={PL(d0)+10n1log10(d/d0),PL(db)+10n2log10(d/db),d≤dbd>db

其中 dbd_bdb 是断点距离。

9.3 时间变化模型

在人流密集、设备移动、门窗频繁开关环境里，参数甚至可能随时间变化：

PL(d,t)=PL(d0,t)+10n(t)log⁡10(dd0)+Xσ(t) PL(d,t)=PL(d_0,t)+10n(t)\log_{10}\left(\frac{d}{d_0}\right)+X_{\sigma(t)} PL(d,t)=PL(d0,t)+10n(t)log10(d0d)+Xσ(t)

这也是为什么现代研究会引入自适应滤波和在线更新。

10. 模型误差是怎么传到距离误差上的

若根据模型反解距离：

d=10A−RSSI10n d=10^{\frac{A-RSSI}{10n}} d=1010nA−RSSI

设参数有小误差 ΔA,Δn,Δr\Delta A,\Delta n,\Delta rΔA,Δn,Δr，则距离会对这些误差敏感。

其中最常见的是 RSSI 误差 Δr\Delta rΔr 导致的相对距离误差：

Δdd≈ln⁡1010n∣Δr∣ \frac{\Delta d}{d}\approx \frac{\ln 10}{10n}|\Delta r| dΔd≈10nln10∣Δr∣

这个结果说明：

RSSI 的几 dB 波动足以引起明显距离偏差；
路径损耗模型越不准，几何定位越容易偏；
若后续再进行多边定位，误差还会继续传播。

11. 路径损耗模型在不同任务中的角色

11.1 在链路预算中

它用于回答：

"这个链路在这个距离和环境下，接收机还能不能收得到？"

11.2 在 RSSI 测距中

它用于把接收功率近似映射到距离。

11.3 在室内定位中

它既可以直接支持测距定位，也可以用于生成合成指纹或做先验约束。

11.4 在仿真与规划中

它是系统级覆盖预测与网络规划的基础模块之一。

12. 一张总览图

text 复制代码

无线传播
   |
   +--> 自由空间扩散 --> FSPL
   |
   +--> 环境平均效应 --> Log-Distance Model
   |
   +--> 障碍物慢变化 --> Log-Normal Shadowing
   |
   +--> 显式墙体/楼层 --> Partition Loss
   |
   +--> 分段传播机制 --> Multi-slope

这张图说明：

各种路径损耗模型不是彼此割裂的，而是从简单到复杂、从理想到现实的层层扩展。

13. 本文结论

路径损耗模型之所以重要，不是因为它"给了一个公式"，而是因为它把复杂的无线传播现象压缩成可估计、可解释、可工程应用的参数结构。

可以把本文结论概括为四点：

自由空间模型提供物理起点；
对数距离模型描述平均衰减趋势；
阴影项承认真实环境的统计随机性；
参数 A,n,σA,n,\sigmaA,n,σ 必须通过场景测量估计，而不是照搬。

对 RSSI 研究而言，路径损耗模型不是"附带知识"，而是所有测距、定位、校准和误差分析的理论底座。

参考文献

H. T. Friis, "A Note on a Simple Transmission Formula," Proceedings of the IRE, vol. 34, no. 5, pp. 254--256, 1946.
T. S. Rappaport, Wireless Communications: Principles and Practice, 2nd ed., Prentice Hall, 2002.
A. Goldsmith, Wireless Communications, Cambridge University Press, 2005.
D. Tse and P. Viswanath, Fundamentals of Wireless Communication, Cambridge University Press, 2005.
IoT Book, "Path Loss and Shadow Fading," online educational resource.
IoT Class, "Path Loss & Propagation," online educational resource.
Zahraa S. Kareem, Gregor A. Aramice, Abbas H. Miry, "Empirical Analysis of Path Loss and Distance Estimation in Wireless Networks," JESA, 2025.