前缀和与差分

一、引入：

对于给定的长度为 n 的数组 {a1,a2,...,an}你需要 m 次维护：

区间修改：将 a,b 这个区间中的全部元素增加 c ；

在全部修改完成后，直接输出最终的数组。

对于多次操作，如果是每次循环遍历操作，时间复杂度是O(n^2)级别； 这里就可以使用前缀和与差分。

二、原理：

1. 什么是前缀和：

给定原数组 a[1⋯n]，构造前缀和数组 s，其中 s[0]=0，s[i]=a[1]+a[2]+⋯+a[i]。
作用：**快速求区间 [l,r] 的和**，公式：**sum(l,r)=s[r]−s[l−1]。**

2. 什么是差分：

给定原数组 a[1⋯n]，构造差分数组 d，d[1]=a[1]，d[i]=a[i]−a[i−1] (i>1)。
作用：快速给区间 [l,r] 统一加 / 减数值 v，操作：**d[l]+=v, d[r+1]−=v**；最后对差分数组**求一遍前缀和还原**原数组。

3. 复杂度分析：

前缀和与差分一般是放在一起用的。

三、代码模版：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int arr[1005]={0};
    int dif[1005]={0};
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>arr[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)dif[i]=arr[i]-arr[i-1];
    while(m--){
    	int a,b,c;
    	cin>>a>>b>>c;
    	dif[a]+=c;
    	dif[b+1]-=c;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)arr[i]=arr[i-1]+dif[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)cout<<arr[i]<<" ";
	cout<<'\n';
    return 0;
}