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上一篇文章我们已经学习了哈密顿算子直接作用在标量场的效果：从标量场变成矢量场-梯度。但其实哈密顿算子的作用远远不止于此，通过不同的运算、作用在不同的对象时，会得到截然不同的结果，例如散度、旋度等等。
一、散度
关于散度的细节理解可以参考我之前关于高斯定理的文章：高等数学：曲面积分、高斯公式、通量与散度-CSDN博客
从这篇文章你会理解到：所谓的散度就是高斯公式等式的右半部分，所以并非哈密顿算子定义了散度，而是先从高斯公式定义了散度，才有用哈密顿算子去记忆的方式。
二、旋度
旋度与散度有点类似，不过他是哈密顿算子叉乘作用在矢量场的结果。其定义来源于斯托克斯公式（本质是三维空间上的格林公式），而非哈密顿算子。
旋度的细节部分，我之前也有一篇笔记供大家参考：高等数学：斯托克斯公式、旋度、场的理解-CSDN博客
三、二阶导数与拉普拉斯算子
在有了哈密顿算子的不同应用后，人们开始思考，能不能对结果本身再使用哈密顿算子呢？于是就引出了二阶偏导数与拉普拉斯算子。
下面我们将对三个"度"排列组合，穷举出所有的二阶导数。由于散度是一个标量，而标量是没有旋度的，所以共计只有5种情况讨论。
（1）梯度的散度：标量场的拉普拉斯算子的定义
梯度我们知道是一个矢量场，于是用散度求解后变成了一个标量场。
（2）梯度的旋度：梯无旋
（3）散度的梯度
散度的梯度一般用的不多，也不方便找到具体的物理参数与之对应，它一般只会出现在旋度的旋度这个矢量拉普拉斯定义式之中。
（4）旋度的散度：旋无散
（5）旋度的旋度：矢量场拉普拉斯算子的定义
（6）总结
关于二阶导数有以下几点需要加强记忆：
（1）对于标量场可以直接使用拉普拉斯算子，即直接用两次哈密顿算子是可行的。
（2）对于矢量场而言，拉普拉斯算子的定义来自于旋度的旋度，即对这样的式子▽×（▽×A）使用BCA、CAB法则得到等式中的一项。
（3）"梯无旋、旋无散"。
（4）散度的梯度一般很少用，只会出现在旋度的旋度，即矢量拉普拉斯的定义式中。
目前阶段我们记住这些结论即可，后续会将他们具体运用到电磁场中进行分析。