1137. 第 N 个泰波那契数

题目描述

泰波那契序列 Tn 定义如下：

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2

给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

示例 1 ：

输入 ：n = 4

输出 ：4

解释 ：

T_3 = 0 + 1 + 1 = 2

T_4 = 1 + 1 + 2 = 4

示例 2 ：

输入 ：n = 25

输出：1389537

算法原理

这是一道使用动态规划解决的题目，所以按照 5 步来进行处理

1. 创建一个 dp 数组，确定状态表示：状态表示指 dp 数组第 i 个元素代表着什么，在这道题目里，第 i 个元素 dpidpidpi 代表了第 i 个泰波那契数 TiT_iTi
2. 确定状态转移方程：指第 i 个泰波那契数 TiT_iTi 的计算方式，题目中给出的是 Ti+3=Ti+Ti+1+Ti+2T_{i+3} = T_i + T_{i+1} + T_{i+2}Ti+3=Ti+Ti+1+Ti+2，只要让 i 减去 3，就可以得到 Ti=Ti−1+Ti−2+Ti−3T_{i} = T_{i-1} + T_{i-2} + T_{i-3}Ti=Ti−1+Ti−2+Ti−3，也就是说 dpi=dpi−1+dpi−2+dpi−3dpi = dpi - 1 + dpi - 2 + dpi - 3dpi=dpi−1+dpi−2+dpi−3
3. 初始化：用来保证计算时数组不越界，如果 i = 0，dp0=dp−1+dp−2+dp−3dp0 = dp-1 + dp-2 + dp-3dp0=dp−1+dp−2+dp−3，这是会越界的，dp1,dp2dp1, dp2dp1,dp2 在计算时也是一样，所以要先初始化这三个值。题目中已经给出，dp0=T0=0，dp1=T1=1，dp2=T2=2dp0 = T_0 = 0，dp1 = T_1 = 1，dp2 = T_2= 2dp0=T0=0，dp1=T1=1，dp2=T2=2
4. 填表顺序：由于新算出来的值依赖于之前的三个值，所以填表是从左向右的
5. 返回值：题目要得到第 n 个泰波那契数的值，所以返回 dpndpndpn

代码

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        int dp[38] = { 0 };
        dp[0] = 0, dp[1] = 1, dp[2] = 1;

        for (int i = 3;i <= n;++i)
        {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3];
        }

        return dp[n];
    }
};

空间优化

以计算第 5 个泰波那契数 T5=7T_5 = 7T5=7 为例：

当计算出 T3=2T_3 = 2T3=2，计算 T4=4T_4 = 4T4=4 时，可以发现只需要用到 T1,T2,T3T_1, T_2,T_3T1,T2,T3。 T0=0T_0 = 0T0=0 已经不需要使用了。因此每当计算出一个泰波那契数的时候，之前算出来过的一个数就可以丢弃了

在这样的条件下，不需要使用一个数组来保存得到的所有泰波那契数，只要用三个变量 a, b, c 保存计算 TiT_iTi 时需要的数 Ti−1,Ti−2,Ti−3T_{i-1}, T_{i-2}, T_{i-3}Ti−1,Ti−2,Ti−3 即可

优化后的代码

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        else if (n == 1 || n == 2) return 1;

        int a = 0, b = 1, c = 1, d = 0;
        for (int i = 3;i <= n;++i)
        {
            d = a + b + c;
            a = b;
            b = c;
            c = d;
        }
        return d;
    }
};