最近在看图像处理相关的知识，按照自己的理解记录下图像处理中的不适定性问题吧。
01 什么是不适定性问题
a 不适定性问题的反面：适定性问题
要讲明白什么是不适定性问题，就先来说说它的反面------适定性问题。
一个问题被称为适定性问题，按照法国数学家Jacques Hadamard的定义，需要同时满足下面三个方面的条件：
- 解的存在性：对于给定的数据最少存在一个解。
- 解的唯一性：解是唯一的（不存在多个不同解）。
- 解对输入数据变化的稳定性：当输入数据发生微小变化时，解的结果也会对应地发生连续、稳定的变化。
如果换通俗一点的说法，就是对于一个问题的解存在且唯一，轻微的连续变化不会导致结果产生天差地别的变化。
打个比方：
我们拍摄照片的时候，外界光线通过镜头成像得到的照片就是一个适定性问题：成像即为解存在且唯一，外界轻微的光线影响和噪声不会导致成像发生巨大的变化。
我们采集指纹的时候也是一个适定性问题：采集到了大拇指指纹，说明解存在且唯一；手指受轻微伤、轻微扭曲等也只会轻微影响指纹的纹路。
b 不适定性问题
说完了适定性问题，我们就好讲解什么是不适定性问题了------就是不满足上述任何一个标准的问题都是不适定性问题。
例如，解不存在、解不唯一、微小变化会导致巨大偏差等，都属于此列。
例如，通过有限个采样点还原信号的时候，信号非严格带限的情况下，满足采样点信号是无穷多的。这就与上述的解的唯一性矛盾，因而这并不是一个适定性问题。
因此我们只能遵循一个规律：选择最慢最平滑的信号作为重建的结果，这就导致了还原信号时出现了信号的混叠。
当然理想情况下，即无噪声无限多采样点的情况下，这个问题是适定性问题，这里就不展开了。
还用上面的现实例子的逆过程为例。
在没有任何其他先验知识支撑的情况下 （例如没有已知指纹数据库），从一个指纹图片找到对应的人可以看做一个非适定性问题。
这是因为：
- 这个指纹的图片，可能不属于任何人（不一定有解）。
- 理论上，可能会存在多个指纹相似的人（解不一定唯一，虽然现实里概率很小）。
- 指纹的微小噪声、残缺，都有可能导致识别结果产生巨大误差（输入数据轻微变化会导致解出现巨大误差）。
而在指纹识别、刑侦调查等领域之所以能通过指纹找到人，是因为提前建立了指纹和人对应的数据库（先验知识支撑） ，整个问题变成了从有限集合里找到对应关系，成为了适定问题（这里只是对问题的适定性和不适定性做简单说明，实际的原理会更复杂一些）：
c 不适定问题的适定化
我们来谈谈最后一个问题：如何将不适定问题适定化。
事实上，从上面的例子中大家已经猜到了。
方法的本质只有一句话：通过给原始问题加上"额外规则"和"合理性约束"，将"无数种可能"缩小到"几种最合理的可能"，并且让微小的误差不会导致答案的剧烈变化。
例如，我们在采集指纹数据库（先验知识）时需要多采集几次、多采集几个手指（增加数据）、比对指纹时认为指纹只匹配数据库里的某个人（增加规则）等。
这么做的结果是，将一个原本猜不出来的问题，变成一个"虽然不能100%确定，但是能给出最合理最稳定答案"的问题。
当然这也有极端情况：
某个外星人留下了和数据库中的A一样的指纹，A躺枪。
问某个没有记录的人的出生月日，回答随便一天的正确概率是1/365（不考虑闰年），回答"我不知道"的正确概率是0。
因此，不适定问题的适定化方式也会影响到最终得到的结果。
02 图像处理中的不适定性问题
接下来我们说说图像处理中常见的几种不适定问题。
a Demosaic
在彩色相机中，通过Bayer Filter，每个像素点只记录一种颜色。而理论上，这些像素点没有记录的颜色信息可以有无限多种可能。
甚至，传感器读取到的是一个纯黑图像，我们可以认为原始图像就是纯黑的，也可以认为原始图像是下面这样的：
从上面的角度来讲，这就属于一个不适定性问题------解不唯一。
要将这个问题适定 ，其中一种方法是需要在插值时，结合先验知识对算法进行规定。
例如，假设图像的颜色变化是连续的（即不会出现上图那种极端情况）；结合传感器噪声和量化误差优化算法、对Bayer Filter后的图像的高频/边缘进行优化等等。
b 图像去模糊
所谓的图像去模糊，就是将拍模糊的图像变清晰。
一般来说，图像模糊的本质表现是高频部分被衰减。
换句话说，就是图像通过了一个低通滤波器，只保留了低频的平滑部分，衰减了高频部分的边缘、细节和纹理。
随便找了个斑马图做了一下滤波：
我们可以看到，在滤波强度逐渐增大的过程中，图片的高频信息被不可逆地丢弃，图片也逐渐模糊。
事实上实际导致图片模糊的情况有很多，其频谱图也不一定如这里的滤波效果那么明显，但是本质上都是图片高频部分细节的损失 。
另外，之所以JPG被称为有损压缩算法，是因为JPG的压缩过程中，也做了一个低通滤波操作，丢弃了一些细节。
而图像去模糊则是这个过程的逆过程------通过猜 的方式，将缺少的高频信息补回来 。由于在没有先验条件的约束下，可能的高频信息有无限多种，因此这也是个不适定性问题。
而要将这个问题适定化也有一些办法。像所谓的AI变清晰，实际上也是通过补充大量先验知识（AI学习）等方式，来将"猜细节"转换成"从知识库中找到匹配原始细节的规律并填充"实现的。
同样的，在这个过程中，如果采用的适定化算法、方法有问题，则可能会导致出现伪影或幻觉。
c 超分辨率重建
由于超分辨率重建的过程需要通过"无中生有"的方式，去补充缺失的像素信息，因此这也是一种不适定性问题。
而使用不同的插帧方式填充缺少的像素的过程，本质上也是适定化的过程；而插帧方式的不同，也会带来不同的效果和噪声。
d 图像修复、补全
将缺少的图像补全和修复，也是一种不适定性问题。
例如被打上马赛克的图像的恢复。
本质上，打码的过程是用色块中的各个像素的平均值覆盖了原有的信息。
而想从色块平均值中还原出色块里每个像素的信息，自然也是一个无数解的不适定性问题。
类似于我和马云平均XX万------虽然这句话是调侃，但是我们也无法在只知道这个平均值的情况下，得到两个人的确切身价。
在之前的文章里提到的Depix算法，其流程中需要使用相同的字体在相同的背景下生成De Bruijn序列图片，并使用相同的马赛克方式来将上面的图片进行打码。
之后算法再根据马赛克的结果从上面的图片中匹配色块------这实际上也是一种通过先验的方式来适定化问题的方法。
放一张官方的原图：
但是实际效果嘛......极其有限，看我那篇文章就知道了。
e 适定性化的影响
最后简单说说在问题适定性化的过程中的影响。
一般来说，在图像处理中要将不适定性问题适定化，就需要想方法通过引入条件等方式来降低其非唯一性、不稳定性等不满足的地方。
而这些不适定性因素，也有可能会给最终结果带来不同的影响。
例如，由于问题的非唯一性可能会导致伪影（伪彩色、摩尔纹等）；而不稳定性则会导致微小的噪声被剧烈放大。
同时，在适定性化的过程中，必须加入大量的先验条件或其他因素，而这些条件一定程度上也会影响到最终的成像效果。
03 总结
简单总结一下。
- 适定问题：解存在、解唯一、解稳定 。不符合任意条件的就是不适定问题。
- 解决不适定问题的方式是适定化，即引入额外的先验知识或约束来获得稳定的解。
- 适定化的手段不同，可能会对实际的解产生影响，甚至带来伪影、噪声等现象。
顺口溜？这里就放过我吧......