62. 不同路径

题目描述

一个机器人位于一个 mmm x nnn 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 "StartStartStart" ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "FinishFinishFinish" ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入 ：m = 3, n = 7

输出：28

示例 2 ：

输入 ：m = 3, n = 2

输出 ：3

解释 ：

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3 ：

输入 ：m = 7, n = 3

输出：28

示例 4 ：

输入 ：m = 3, n = 3

输出：6

算法原理

创建大小为 mmm x nnn 的 dpdpdp 数组，确定状态表示：将坐标 (i,j)(i, j)(i,j) 作为终点考虑，dpijdpijdpij 表示到达 (i,j)(i, j)(i,j) 位置的不同路径数量

推导状态转移方程：由于机器人只能向下或者向右移动，所以要移动到 (i,j)(i, j)(i,j)，肯定要先移动到 (i−1,j)(i-1, j)(i−1,j) 或者 (i,j−1)(i, j-1)(i,j−1) 坐标处，然后再移动一步到 (i,j)(i, j)(i,j)，相当于在到达 (i−1,j)(i-1, j)(i−1,j) 或 (i,j−1)(i, j-1)(i,j−1) 坐标处的路径后增加了一步，但是不同的路径数没有发生改变。所以到达 (i,j)(i, j)(i,j) 位置的不同路径数量就是到达 (i−1,j)(i-1, j)(i−1,j) 位置的不同路径数量和到达 (i,j−1)(i, j-1)(i,j−1) 位置的不同路径数量之和，也就是 dpij=dpi−1j+dpij−1dpij = dpi-1j + dpij-1dpij=dpi−1j+dpij−1

初始化：对于 dpdpdp 数组的第 000 行和第 000 列，在用状态转移方程计算时，是会越界的，所以要先初始化第一行和第一列。根据状态转移方程，对于第 111 行的所有位置，不同路径总数是 dpi−1j+dpij−1dpi-1j + dpij-1dpi−1j+dpij−1，而第 111 行的这些位置只能从 (1,1)(1, 1)(1,1) 向右移动的方式到达，所以不同路径总数都是 111。同理，对于第 111 列的所有位置，只能从 (1,1)(1, 1)(1,1) 向下移动的方式到达，所以不同路径总数也都是 111。但是可以优化掉初始化的步骤，只要让 dpdpdp 数组多使用一行，多使用一列即可。一旦多使用了空间，就要考虑怎么初始化多出来的空间让计算不出错？实际上只要初始化 dp01=1dp01 = 1dp01=1 就可以让第 111 行，第 111 列的值全为 111 了

填表顺序：dpijdpijdpij 依赖于 dpi−1jdpi-1jdpi−1j 和 dpij−1dpij-1dpij−1，所以填表顺序是从左向右，从上往下

返回值：dpmndpmndpmn 保存的就是到达终点的不同路径总数

代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        dp[0][1] = 1;

        for (int i = 1;i <= m;++i)
        {
            for (int j = 1;j <= n;++j)
            {
                dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j];
            }
        }

        return dp[m][n];
    }
};