【程序语言与编译】正规式与有限自动机的等价转换

适合读者：软考中级备考同学

阅读时间：4分钟

内容：正规式与FA等价性、正规式转NFA（Thompson构造法）、NFA转正规式（状态消去法）、例题

1. 为什么需要等价转换？

正规式（RE）和有限自动机（FA，包括NFA和DFA）都能描述正则语言，且二者等价：

每个正规式对应一个NFA（进而可转为DFA）
每个NFA/DFA对应的语言都可以用一个正规式表示

软考中常考查两种方向：

给定正规式，画出NFA状态图
给定DFA（或NFA），写出等价的正规式

掌握转换方法，可以灵活地在两种表示之间切换，便于词法分析器的设计。

2. 正规式 → NFA（Thompson构造法）

Thompson构造法通过递归地为每个子正规式构造局部NFA，再组合成整体NFA。基本规则如下：

2.1 基本规则

空串 ε\varepsilonε ：
→ (i) → (f) 一条 ε\varepsilonε 边。
单个字符 aaa ：
→ (i) -a-> (f)

2.2 组合规则

设 rrr 和 sss 的子NFA分别为 N(r)N(r)N(r)、N(s)N(s)N(s)，它们的初态和终态分别为 ir,fri_r, f_rir,fr 和 is,fsi_s, f_sis,fs。

连接 rsrsrs ：将 frf_rfr 与 isi_sis 用 ε\varepsilonε 边连接，整体初态为 iri_rir，终态为 fsf_sfs。
选择 r∣sr|sr∣s ：新增一个初态 iii 和终态 fff，从 iii 分别用 ε\varepsilonε 边连到 iri_rir 和 isi_sis，再从 frf_rfr 和 fsf_sfs 用 ε\varepsilonε 边连到 fff。
闭包 r∗r^*r∗ ：新增初态 iii 和终态 fff，添加四条 ε\varepsilonε 边：i→fi \to fi→f，i→iri \to i_ri→ir，fr→ff_r \to ffr→f，fr→irf_r \to i_rfr→ir（允许循环）。

2.3 示例

将正规式 (a∣b)∗a(a|b)^*a(a∣b)∗a 转换为NFA。

构造 a∣ba|ba∣b：
- aaa 的NFA：i0→a→f0
- bbb 的NFA：i1→b→f1
- 选择构造：新初态I，新终态F，Iε→i0，Iε→i1，f0ε→F，f1ε→F。
对 (a∣b)(a|b)(a∣b) 做闭包 ∗*∗：新增初态I'和终态F'，添加ε边：I'→F'，I'→I，F→F'，F→I。
连接 aaa：上一步的终态F'用ε连接到新a的NFA的初态，a的NFA的终态作为整体终态。

（图形省略，考试中通常只要求理解构造思路，不要求画出复杂图。）

3. NFA → 正规式（状态消去法）

思想：逐步消去NFA中的中间状态，同时用正规式标记转移边上的标签。最终只剩初态和终态，两者之间的边上的正规式即为所求。

3.1 步骤

添加一个新的初态 XXX（用 ε\varepsilonε 边连接原初态）和一个新的终态 YYY（用 ε\varepsilonε 边连接原终态），保证只有一个初态和一个终态。
反复选择一个内部状态（不是 XXX 也不是 YYY）消去：
- 对于被消去状态 qqq，考虑所有进入 qqq 的边（标记为 RiR_iRi，来自状态 pip_ipi）和所有从 qqq 离开的边（标记为 SjS_jSj，去往状态 rjr_jrj），以及 qqq 的自环边（标记为 TTT）。
  消去 qqq 后，为每对 pi→rjp_i \to r_jpi→rj 添加一条新边，标记为 Ri⋅T∗⋅SjR_i \cdot T^* \cdot S_jRi⋅T∗⋅Sj。如果 pip_ipi 和 rjr_jrj 之间已有边，则用选择 | 合并。
- 删除 qqq 及其所有关联边。
重复直到只剩 XXX 和 YYY。
如果存在从 XXX 到 YYY 的边，标记为 RRR，则正规式为 RRR；如果有多条平行边，用 | 合并。

3.2 简化规则

若 XXX 有自环，可忽略（因为开始前不输入任何字符）。
最终结果通常用 R=R1∣R2∣...R = R_1 | R_2 | ...R=R1∣R2∣... 表示。

4. 经典例题

题目1 ：将正规式 (0∣1)∗1(0|1)^*1(0∣1)∗1 转换为NFA（描述思路即可）。

解：

先构造 0∣10|10∣1，再闭包，最后连接 111。最终得到一个具有 ε\varepsilonε 转移的NFA，能识别所有以1结尾的二进制串。

题目2：给定DFA如下（状态A初态，B终态，转移：A--0-->A，A--1-->B，B--0-->A，B--1-->B），求等价的正规式。

解（使用状态消去法）：

添加新初态 XXX（ε→A）和新终态 YYY（B→ε→Y）。
消去中间状态？直接观察：从A经过一个1到B，之后可以在B上任意多个1（循环），也可以从B通过0回到A，然后重复。
用方程法（或消去法）：
设 RAAR_{AA}RAA 表示从A到A的正规式，RABR_{AB}RAB 从A到B，等等。
- A→A: 读0可自环 → 000
- A→B: 读1 → 111
- B→A: 读0 → 000
- B→B: 读1 → 111
  列方程：
  A=A⋅0∣B⋅0∣εA = A \cdot 0 \mid B \cdot 0 \mid \varepsilonA=A⋅0∣B⋅0∣ε
  B=A⋅1∣B⋅1B = A \cdot 1 \mid B \cdot 1B=A⋅1∣B⋅1
  先解 B=A1∣B1B = A1 \mid B1B=A1∣B1 → B=A1⋅1∗B = A1 \cdot 1^*B=A1⋅1∗（由 B=B1∣A1B = B1 \mid A1B=B1∣A1 得 B=A1⋅1∗B = A1 \cdot 1^*B=A1⋅1∗）。
  代入 AAA：A=A0∣(A1⋅1∗)0∣ε=A(0∣11∗0)∣εA = A0 \mid (A1 \cdot 1^*)0 \mid \varepsilon = A(0 \mid 11^*0) \mid \varepsilonA=A0∣(A1⋅1∗)0∣ε=A(0∣11∗0)∣ε。
  所以 A=(0∣11∗0)∗A = (0 \mid 11^*0)^*A=(0∣11∗0)∗。
  最终正规式（从A到终态B）：A⋅(1⋅1∗)A \cdot (1 \cdot 1^*)A⋅(1⋅1∗)? 注意B是终态，原DFA的初态A，终态B，所以语言是 A→BA \to BA→B 的串。由 B=A1⋅1∗B = A1 \cdot 1^*B=A1⋅1∗，所以正规式为 A1⋅1∗=(0∣11∗0)∗1⋅1∗=(0∣11∗0)∗1+A1 \cdot 1^* = (0 \mid 11^*0)^* 1 \cdot 1^* = (0 \mid 11^*0)^* 1^+A1⋅1∗=(0∣11∗0)∗1⋅1∗=(0∣11∗0)∗1+。可以简化为 (0∣11∗0)∗1+(0|11^*0)^*1^+(0∣11∗0)∗1+。

答案：(0∣11∗0)∗1+(0|11^*0)^*1^+(0∣11∗0)∗1+（或等价形式）

5. 记忆口诀

正规式与自动机，等价互转需记清。
RE转FA Thompson，递归添加ε边。
FA转RE消状态，自环闭包解方程。

6. 给备考同学的一句话

正规式与有限自动机的等价转换是词法分析理论的核心。软考中通常只考查简单实例（状态数2-3个）或概念性选择题。需要掌握：

Thompson构造法的基本思想（为每个运算符构造局部NFA）。
状态消去法（或方程求解）求DFA的正规式。

如果考试遇到复杂转换，建议先用方程法列方程，再解正规式，避免手工消去出错。

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