GESP7级C++考试语法知识（二、指数函数（1、pow() 函数）

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🌟数学魔法函数学院 第五课

《细胞分裂大作战------指数增长》

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本课任务

今天，我们将进入一个全新的王国：

🏰 指数函数王国

这里没有风车。

没有炮台。

没有 sin。

没有 cos。

这里最厉害的魔法只有一个：

✨ 复制魔法

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学完本课后，你将掌握：

✅ 什么是指数增长

✅ 什么是指数函数

✅ C++中的 pow() 函数

✅ 如何解决翻倍问题

✅ 如何建立指数模型

✅ 学会看到"翻倍"、"倍增"就想到指数

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第一章：神奇细胞实验室

1、一天。

阿Q来到皇家实验室。

里面有一个神奇细胞：

🦠

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2、科学家说：

这个细胞每过1小时，

都会复制出一个自己。

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3、刚开始：

1个细胞

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（1）1小时后：

2个细胞

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（2）2小时后：

4个细胞

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（3）3小时后：

8个细胞

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（4）4小时后：

16个细胞

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4、阿Q开始记录：

时间（小时）	细胞数量
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16

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5、突然阿Q发现：

每次都是：

×2

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第二章：发现规律

1、继续往后推：

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（1）第5小时：

16 × 2
=
32

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（2）第6小时：

32 × 2
=
64

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（3）第7小时：

64 × 2
=
128

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2、阿Q发现：

1
2
4
8
16
32
64
128

越来越快！

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3、这时候国王说：

这种增长方式，

就叫指数增长！

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第三章：什么是指数？

1、观察：

1

可以写成：

2⁰

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因为：

2⁰ = 1

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2、继续：

2
=
2¹

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4
=
2²

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8
=
2³

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16
=
2⁴

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3、整理：

小时	数量
0	2⁰
1	2¹
2	2²
3	2³
4	2⁴

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4、规律出来了：

第n小时：

2^n

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第四章：指数到底是什么意思？

1、很多同学会背：

2³ = 8

却不知道什么意思。

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其实非常简单。

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2、指数表示：

连续乘多少次。

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例如：

2²

意思：

2 × 2

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结果：

4

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2³

意思：

2 × 2 × 2

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结果：

8

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2⁵

意思：

2×2×2×2×2

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结果：

32

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第五章：指数魔法树

1、想象有一棵复制树：

第一层

      1

第二层

    1   1

第三层

  1 1 1 1

第四层

1 1 1 1 1 1 1 1

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2、数量：

1
2
4
8
16
32

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3、每一层：

×2

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这就是指数增长。

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第六章：C++中的指数函数

1、问题来了。

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如果想计算：

2¹⁰

怎么办？

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当然可以写：

2*2*2*2*2*2*2*2*2*2

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但是太麻烦了！

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2、C++提供了指数函数：

pow()

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3、语法：

pow(a,b)

表示：

a^b

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4、例如：

pow(2,3)

表示：

2³

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结果：

8

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第七章：第一个pow程序

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
    cout << pow(2,3);

    return 0;
}

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输出：

8

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第八章：细胞分裂模拟器

1、输入：

n

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2、表示：

经过n小时

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3、输出：

细胞数量

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4、根据规律：

2^n

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5、代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
    int n;

    cin >> n;

    cout << pow(2,n);

    return 0;
}

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（1）输入：

5

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（2）输出：

32

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第九章：金币翻倍挑战

1、阿Q发现一个神奇宝箱。

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第一天：

1金币

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每天翻倍。

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第二天：

2

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第三天：

4

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第四天：

8

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第五天：

16

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2、第十天呢？

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答案：

2⁹
=
512

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3、为什么不是2¹⁰？

因为：

第一天已经有1个金币。

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这个问题特别容易出错。

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第十章：指数增长有多可怕？

1、国王说：

我给你两个奖励。

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方案A：

100万元

直接给你。

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方案B：

第一天1元

以后每天翻倍

连续30天

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2、很多同学选A。

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3、实际上：

第30天：

2²⁹
=
536870912

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约：

5亿多元

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远远超过100万！

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这就是指数增长的威力！

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第十一章：竞赛中的指数问题

以后会遇到：

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1、汉诺塔

移动次数：

2^n-1

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2、满二叉树

第n层节点：

2^{n-1}

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3、BFS扩散

感染人数翻倍

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4、细胞分裂

数量增长

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全部都是指数。

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第十二章：pow()注意事项

1、有的同学写：

int x = pow(2,10);

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2、结果：

1024

没问题。

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3、但是：

pow(2,50)

数字会非常大。

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4、使用pow()函数：

要使用：

long long

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来存储结果。

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本课总结

今天我们认识了指数王国最重要的魔法：

✨ 指数函数

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1、数学上：

指数表示：

连续乘多少次。

例如：

2^5= 2 * 2 * 2 * 2 * 2  //5个2相乘

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2、程序中：

pow(a,b)

表示：

a^b

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3、重要思想：

看到"每次乘同一个数"，就要想到指数增长。

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竞赛提高篇：

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一、pow(a,b) 的返回值是什么类型？

1、有的同学以为：

pow(2,10)

返回的是：

int

实际上不是！

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2、C++中的 pow() 定义在：

#include <cmath>

其主要返回类型是：

double

例如：

cout << typeid(pow(2,10)).name();

得到的是：

double

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3、例如：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
    auto x = pow(2,10);

    cout << x << endl;

    return 0;
}

输出：

1024

虽然看起来像整数，

但实际上：

double x = 1024.0;

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二、为什么竞赛中不建议大量使用 pow()？

1、因为：

pow()

是浮点运算。

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2、例如：

cout << pow(2,50);

理论值：

1125899906842624

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实际上存储的是：

double

存在误差。

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3、所以竞赛里经常看到：

long long ans = 1;

for(int i=1;i<=n;i++)
    ans *= 2;

而不是：

pow(2,n);

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三、pow() 能算多大的数？

1、这要看 double 的范围。

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2、double 大约能表示：

10 ^ -308  ~  10 ^ 308

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3、也就是说：

pow(10,300)

还能表示。

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4、例如：

cout << pow(10,300);

没问题。

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5、但是：

cout << pow(10,400);

就会输出：

inf

表示：

Infinity

无穷大。

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因为超出 double 范围了。

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四、竞赛里更关心的范围

1、虽然 double 能到：

10^308

但整数精度远远没那么大。

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2、double 只有：

约15~16位有效数字

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3、例如：

pow(2,100)

数值能表示。

但很多低位已经不准确了。

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五、long long 能存多大？

1、很多竞赛题用的是：

long long

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2、范围：

-2^63 ~ 2^63-1

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3、约等于：

-9.22×10^18 到 9.22×10^18

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4、所以：

2^60

≈

1.15×10^18

还能放进去。

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2^63

就爆掉了。

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六、常见竞赛结论

情况1

指数很小

例如：

pow(2,10)
pow(3,8)

可以直接用。

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情况2

结果要作为整数参与判断

例如：

if(pow(2,n)==1024)

不推荐。

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应该写：

long long ans=1;

for(int i=1;i<=n;i++)
    ans*=2;

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情况3

计算平方

不要写：

pow(x,2)

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直接：

x*x

更快。

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七、GESP和NOIP竞赛中的经验

1、要看指数大小

（1）可以放心使用

pow(2,10)

pow(3,5)

pow(5,6)

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（2）需要小心

pow(2,50)

pow(3,30)

pow(10,18)

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2、不建议用于精确整数计算

pow(2,n)

然后直接转：

long long

特别是：

n > 50

容易出问题。

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3、给小学生的建议

（1）记住两个重点：

✅ 返回值是 double

✅ 特别大的指数可能出现精度误差

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（2）所以在信息学竞赛里：

• 求平方 → x*x

• 求整数次幂 → 循环乘法或快速幂

• pow() 更适合数学计算和演示指数概念

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4、在算法提高阶段，我们专门学习一门神器：

⚔️《快速幂》⚔️

它能在 O(log n) 时间内计算：

2^{1000000000}

这样的超级大指数，这才是竞赛中的标准做法。

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下一课：

⚔️《超级银行家------复利增长》⚔️

我们将学习：

• 利滚利

• 复利公式

• 指数函数真正的威力

并且第一次接触现实世界中的指数模型。🚀

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