如大家所熟悉的，傅里叶变换是一种广泛用于信号处理和图像处理的数学工具。它将一个信号分解成一组基本频率，这些频率以一定的振幅和相位出现。傅里叶变换的计算复杂度为 O(n^2) ，其中 n 是信号长度。这使得它在实际应用中往往不太实用。
快速傅里叶变换（FFT） 算法则是一种高效的计算傅里叶变换的方法。它的原理是利用分治策略将 DFT 的计算复杂度从 O(n^2) 降低到 O(nlogn) 。
下面是一个Python实现示例：
import cmath
def fft(x):
n = len(x)
if n == 1:
return x
else:
x_even = fft(x[::2])
x_odd = fft(x[1::2])
factor = [cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / n) * x_odd[k] for k in range(n//2)]
return [x_even[k] + factor[k] for k in range(n//2)] + [x_even[k] - factor这个函数接受一个长度为 n 的复数数组 x 作为输入，并返回 x 的 DFT 向量。它使用递归算法将 x 分解为两个长度为 n/2 的信号 x_even 和 x_odd ，并分别计算它们的 DFT 。
然后，它将 x_even 和 x_odd 的 DFT 组合起来得到 x 的 DFT 向量。
接下来我们将进一步探讨 FFT 算法的原理。
FFT 算法基于分治策略。假设我们有一个长度为 n 的信号 x ，我们可以将其分解为两个长度为 n/2 的信号 x1 和 x2 。然后，我们可以使用递归算法计算 x1 和 x2 的 DFT（离散傅里叶变换），并将它们组合成 x 的 DFT 。
具体来说，假设我们有一个长度为 n 的信号 x ，其中 x(i) 表示第 i 个采样点的值。我们可以将 x 分解为两个长度为 n/2 的信号 x1 和 x2 ，其中：
x1(i) = x(2i-1)
x2(i) = x(2i)
然后，我们可以计算 x1 和 x2 的 DFT ，分别得到长度为 n/2 的 DFT 向量 X1 和 X2 。最后，我们可以将 X1 和 X2 组合成 x 的 DFT 向量 X ，其中：
X(k) = X1(k) + w(k)X2(k)
X(k + n/2) = X1(k) - w(k)X2(k)
其中，w(k) 是旋转因子，定义为：
w(k) = exp(-2πik/n)
FFT 算法的关键在于如何计算旋转因子。一种常见的方法是使用旋转因子的递归定义，如下所示：
w(k) = w(k+n/2)^2
这意味着我们可以使用递归算法计算旋转因子。在每个递归层次中，我们将旋转因子平方，并在下一层次中重复使用它。这使得我们只需计算O(nlogn) 个旋转因子，而不是 O(n^2) 个。