LeetCode 70. 爬楼梯（Climbing Stairs）

难度：Easy ·

题目地址：https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/

标签：动态规划、滚动数组、斐波那契数列、数学 ·

进阶要求：能否使用仅 O(1) 空间复杂度实现解法

📝 题目描述

假设你正在爬楼梯。需要爬 n 阶才能到达楼顶。每次你只能爬 1 阶 或者 2 阶。请问有多少种不同的爬楼方法？

约束：1 <= n <= 45

示例

示例	输入	输出	解释
1	`n = 2`	`2`	① 1 阶 + 1 阶 ② 直接 2 阶
2	`n = 3`	`3`	① 1+1+1 ② 1+2 ③ 2+1
3	`n = 4`	`5`	---

💡 解题总览

本题本质为斐波那契数列变形，提供三种梯度解法：

解法一：暴力递归（入门直观，存在大量重复计算）
解法二：DP 数组动态规划（空间可优化，易懂）
解法三：滚动数组空间优化（最优解，O(1) 空间）

🔧 解法一：暴力递归（入门版）

🧠 解题思路

递推关系：要走到第 n 阶，最后一步只有两种选择：

走 1 阶 ：前面需要走完 n-1 阶
走 2 阶 ：前面需要走完 n-2 阶

公式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)

递归终止条件：

n = 1：只有 1 种走法
n = 2：只有 2 种走法

💻 完整代码（JavaScript）

javascript 复制代码

var climbStairs = function(n) {
    // 递归边界
    if (n === 1) return 1;
    if (n === 2) return 2;
    // 递推公式
    return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
};

⏱ 复杂度分析

时间复杂度：O(2ⁿ) ------ 大量重复递归计算，数值稍大就超时
空间复杂度：O(n) ------ 递归调用栈深度为 n

✅ 优缺点总结

优点	缺点
逻辑最简单，一眼看懂递推关系，适合理解基础思路	效率极低，n > 35 后运行极慢，无法通过大数据测试用例

🔧 解法二：DP 数组动态规划（标准 DP）

🧠 解题思路

用数组 dp 存储每一层台阶的方案数，避免递归重复计算
dp[i] 代表爬到第 i 阶楼梯的总走法
状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
初始化边界：dp[1] = 1，dp[2] = 2

💻 完整代码（JavaScript）

javascript 复制代码

var climbStairs = function(n) {
    if (n <= 2) return n;
    const dp = new Array(n + 1);
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
};

⏱ 复杂度分析

时间复杂度：O(n) ------ 仅一次循环遍历
空间复杂度：O(n) ------ 开辟了长度为 n 的 dp 数组

✅ 优缺点总结

优点	缺点
无重复计算，效率稳定；DP 思想标准模板，便于拓展同类 DP 题	额外占用数组存储空间，没有达到进阶 O(1) 空间要求

🏆 解法三：滚动数组（位序迭代最优解）

🧠 解题思路

观察 DP 数组，计算 dp[i] 只需要 dp[i-1] 和 dp[i-2] 两个前值，不需要保存完整数组：

p ：保存 dp[i-2]（前两阶方案数）
q ：保存 dp[i-1]（前一阶方案数）
r ：保存当前阶 dp[i] 的结果

每次循环滚动更新三个变量，全程不使用数组，空间压缩到常数级。

💻 完整代码（JavaScript）

javascript 复制代码

var climbStairs = function(n) {
    // p = f(i-2), q = f(i-1), r = f(i)
    let p = 0, q = 0, r = 1;
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        p = q;
        q = r;
        r = p + q;
    }
    return r;
};

⏱ 复杂度分析

时间复杂度：O(n) ------ 单层循环遍历
空间复杂度：O(1) ------ 仅固定 3 个变量，满足题目进阶要求

✨ 特点优势

时空双优，是本题最优官方推荐解法
代码极简，内存占用极小，大数据量性能稳定
滚动数组思想是动态规划空间优化的通用模板，可复用在各类 DP 题目中

📊 三种解法全面对比

解法	时间复杂度	空间复杂度	适用场景
暴力递归	O(2ⁿ)	O(n)	仅理解思路，无法提交大数据
DP 数组	O(n)	O(n)	学习 DP 基础，逻辑直观
滚动数组	O(n)	O(1)	最优解，工程提交首选

⚠️ 核心易错点 & 核心知识点总结

🧩 核心知识点

斐波那契数列变形：爬楼梯是最经典的斐波那契应用题
动态规划滚动数组优化：DP 仅依赖前两项时，可抛弃数组只用变量迭代
递推思维：求解第 n 项结果，拆解为子问题 n-1、n-2 合并求解

🔥 高频易错点

易错点	说明
递归无记忆化	直接暴力递归会大量重复计算，直接超时
数组下标错位	dp 数组初始化时容易混淆台阶下标，出现结果偏差
滚动变量更新顺序	必须先更新 `p → q → r`，颠倒顺序会覆盖原值，计算错误
边界条件漏判	`n=1`、`n=2` 不做特判会出现初始变量计算异常