命题逻辑 --- 知识点详解
一、命题
1.1 命题与真值
命题（Proposition） ：能够判断真假的陈述句。命题的判断结果称为真值（Truth Value）。
- 真值只有两个：真（T / 1） 和 假（F / 0）。
- 一个命题的真值是唯一的、确定的（要么为真，要么为假，不能既真又假）。
命题的基本特征：
- 必须是陈述句（感叹句、疑问句、祈使句均不是命题）。
- 必须能判断真假（不能判断真假的陈述句不是命题）。
- 真值是客观确定的，不因人而异（虽然我们可能不知道它是真还是假）。
经典例子：
| 句子 | 是否命题 | 说明 |
|---|---|---|
| 北京是中国的首都 | 是（真） | 陈述句，可判断 |
| 3 大于 5 | 是（假） | 陈述句，可判断 |
| 请把门关上 | 否 | 祈使句 |
| 今天天气好吗？ | 否 | 疑问句 |
| 这句话是假的 | 否（悖论） | 无法确定唯一真值 |
1.2 原子命题与复合命题
原子命题（简单命题）：不能再分解为更简单命题的命题。它是命题的最小单位。
- 通常用小写字母 p,q,r,s,...p, q, r, s, \ldotsp,q,r,s,... 表示。
- 例：ppp: "雪是白的"；qqq: "2 是素数"。
复合命题 ：由原子命题通过逻辑联结词组合而成的命题。
- 例：¬p\neg p¬p: "雪不是白的"；p∧qp \land qp∧q: "雪是白的且 2 是素数"。
- 复合命题的真值由其原子命题的真值和联结词唯一确定。
二、逻辑联结词
逻辑联结词是构成复合命题的基本工具。共有五种基本联结词。
2.1 否定联结词（Negation）
符号 ：¬\neg¬（也写作 ∼\sim∼ 或 p‾\overline{\phantom{p}}p）
定义 ：设 ppp 是命题，则 ¬p\neg p¬p 读作"非 ppp"。
真值表：
| ppp | ¬p\neg p¬p |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
说明 ：¬\neg¬ 是一元联结词（只作用于一个命题），是一元运算 。(¬p)(\neg p)(¬p) 的真值与 ppp 的真值相反。
2.2 合取联结词（Conjunction）
符号 ：∧\land∧
定义 ：p∧qp \land qp∧q 读作"ppp 且 qqq"或"ppp 合取 qqq"。
真值表：
| ppp | qqq | p∧qp \land qp∧q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
说明 ：p∧qp \land qp∧q 为真当且仅当 ppp 和 qqq 同时为真。
自然语言对应："和"、"并且"、"既...又..."、"虽然...但是..."、"不仅...而且..."。
2.3 析取联结词（Disjunction）
符号 ：∨\lor∨
定义 ：p∨qp \lor qp∨q 读作"ppp 或 qqq"或"ppp 析取 qqq"。
真值表：
| ppp | qqq | p∨qp \lor qp∨q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
说明 ：p∨qp \lor qp∨q 为假当且仅当 ppp 和 qqq 同时为假 。这里的"或"是可兼或（相容或） ，即允许 ppp 和 qqq 同时为真。
注意 ：自然语言中有时存在不可兼或（排斥或） ，对应的是异或（⊕\oplus⊕），其定义为：p⊕qp \oplus qp⊕q 为真当且仅当 ppp 和 qqq 的真值不同。但标准命题逻辑中 ∨\lor∨ 专指可兼或。
排斥或（异或）真值表：
| ppp | qqq | p⊕qp \oplus qp⊕q |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
2.4 蕴含联结词（Implication / Conditional）
符号 ：→\to→（也写作 ⇒\Rightarrow⇒）
定义 ：p→qp \to qp→q 读作"如果 ppp，则 qqq"或"ppp 蕴含 qqq"。
- ppp 称为前件（条件） ，qqq 称为后件（结论）。
真值表：
| ppp | qqq | p→qp \to qp→q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
核心规则 ：p→qp \to qp→q 为假当且仅当 前件为真而后件为假。前件为假时，整个蕴含式为真（称为空真 或善意推定）。
自然语言中的常见表述形式：
| 表述 | 形式化 |
|---|---|
| 如果 ppp，则 qqq | p→qp \to qp→q |
| 只要 ppp，就 qqq | p→qp \to qp→q |
| ppp 仅当 qqq | p→qp \to qp→q |
| qqq 是 ppp 的必要条件 | p→qp \to qp→q |
| ppp 是 qqq 的充分条件 | p→qp \to qp→q |
| 除非 qqq，否则 ¬p\neg p¬p | p→qp \to qp→q（即 ¬q→¬p\neg q \to \neg p¬q→¬p） |
常见混淆点 ："p 仅当 q" 的意思是"如果 p 则 q"，即 p→qp \to qp→q，而非 q→pq \to pq→p。
2.5 等价联结词（Biconditional）
符号 ：↔\leftrightarrow↔（也写作 ⇔\Leftrightarrow⇔）
定义 ：p↔qp \leftrightarrow qp↔q 读作"ppp 当且仅当 qqq"或"ppp 等价 qqq"。
真值表：
| ppp | qqq | p↔qp \leftrightarrow qp↔q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
说明 ：p↔qp \leftrightarrow qp↔q 为真当且仅当 ppp 和 qqq 的真值相同。
本质关系 ：
p↔q⇔(p→q)∧(q→p)p \leftrightarrow q \Leftrightarrow (p \to q) \land (q \to p)p↔q⇔(p→q)∧(q→p)
2.6 五种联结词的优先级
从高到低依次为：
¬ > ∧ > ∨ > → > ↔\neg \; > \; \land \; > \; \lor \; > \; \to \; > \; \leftrightarrow¬>∧>∨>→>↔
在无括号时按此优先级结合。但为了清晰起见，通常建议使用括号明确运算顺序。
三、命题公式
3.1 命题公式的概念
命题公式（合式公式，Well-Formed Formula，WFF） 的递归定义：
- 基础 ：单个命题变元 p,q,r,...p, q, r, \ldotsp,q,r,... 和命题常元 T,FT, FT,F 是命题公式。
- 递归 ：若 AAA 是命题公式，则 (¬A)(\neg A)(¬A) 是命题公式；若 AAA 和 BBB 是命题公式，则 (A∧B)(A \land B)(A∧B)、(A∨B)(A \lor B)(A∨B)、(A→B)(A \to B)(A→B)、(A↔B)(A \leftrightarrow B)(A↔B) 都是命题公式。
- 有限次：只有有限次应用以上规则得到的符号串才是命题公式。
不是命题公式的例子 ：∧p\land p∧p、p→∨qp \to \lor qp→∨q、(pq)(p q)(pq) 等。
注：命题公式本身不是命题，因为它含有命题变元，真值不确定。只有对公式中所有命题变元赋值后，命题公式才成为命题并有确定的真值。
3.2 命题符号化
命题符号化是将自然语言语句转化为命题公式的过程，是命题逻辑应用的核心技能。
步骤：
- 识别原子命题：找出语句中不可再分的陈述，用命题变元表示。
- 确定联结词：根据自然语言中的关键词选择合适的联结词。
- 组合成公式：按照语句的逻辑结构用联结词组合原子命题。
关键符号化模式汇总：
| 自然语言模式 | 符号化 |
|---|---|
| ppp 并且 qqq | p∧qp \land qp∧q |
| ppp 或者 qqq | p∨qp \lor qp∨q |
| 如果 ppp，那么 qqq | p→qp \to qp→q |
| ppp 当且仅当 qqq | p↔qp \leftrightarrow qp↔q |
| 并非 ppp | ¬p\neg p¬p |
| ppp 是 qqq 的充分条件 | p→qp \to qp→q |
| ppp 是 qqq 的必要条件 | q→pq \to pq→p |
| ppp 是 qqq 的充要条件 | p↔qp \leftrightarrow qp↔q |
| 虽然 ppp，但是 qqq | p∧qp \land qp∧q |
| ppp 除非 qqq | ¬q→p\neg q \to p¬q→p（即 p∨qp \lor qp∨q） |
| 只有 qqq 才 ppp | p→qp \to qp→q |
典型例题：
- "如果天不下雨，我就去公园"：设 ppp: "天下雨"，qqq: "我去公园"，符号化为 ¬p→q\neg p \to q¬p→q。
- "除非你道歉，否则我不原谅你"：设 ppp: "你道歉"，qqq: "我原谅你"，符号化为 ¬p→¬q\neg p \to \neg q¬p→¬q（即 q→pq \to pq→p）。
3.3 命题公式真值表
真值表是列出命题公式在所有可能的命题变元赋值组合下的真值的表格。
构造方法：
- 列出公式中所有命题变元的所有真值组合（nnn 个变元有 2n2^n2n 种组合）。
- 按联结词优先级，从内到外逐步计算各子公式的真值。
- 最后一列为整个公式的真值。
示例 ：构造 (p→q)↔(¬q→¬p)(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)(p→q)↔(¬q→¬p) 的真值表：
| ppp | qqq | ¬p\neg p¬p | ¬q\neg q¬q | p→qp \to qp→q | ¬q→¬p\neg q \to \neg p¬q→¬p | (p→q)↔(¬q→¬p)(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)(p→q)↔(¬q→¬p) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F | T |
| F | T | T | F | T | T | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
该公式在所有赋值下均为 T，是重言式。
3.4 命题公式的类型
根据真值表中命题公式的取值情况，命题公式分为三类：
（1）重言式（永真式，Tautology）
在任何赋值下真值恒为真。
- 例：p∨¬pp \lor \neg pp∨¬p（排中律）、(p→q)↔(¬p∨q)(p \to q) \leftrightarrow (\neg p \lor q)(p→q)↔(¬p∨q)
- 重言式的否定是矛盾式。
（2）矛盾式（永假式，Contradiction）
在任何赋值下真值恒为假。
- 例：p∧¬pp \land \neg pp∧¬p（矛盾律）
- 矛盾式的否定是重言式。
（3）可满足式（Contingency）
至少存在一种赋值使其为真（但不是在所有赋值下都为真）。
- 例：p→qp \to qp→q（当 ppp 为 F 或 qqq 为 T 时为真，但 p=T,q=Fp = T, q = Fp=T,q=F 时为假）
- 注意：重言式也是可满足的，所以"可满足式"有时取广义定义。严格地说，偶然式指既非重言式也非矛盾式的公式。
三者关系：重言式一定是可满足式；矛盾式一定不是可满足式；偶然式是可满足式但非重言式。
3.5 重言式的性质
-
代入规则 ：对重言式中的某个命题变元，用任意命题公式处处代入，所得结果仍是重言式。（注意：必须处处代入，即同一个变元的所有出现都替换为同一个公式。）
-
置换规则 ：将重言式中的某个子公式替换为与其等价的公式，结果仍是重言式。
-
重言式的合取仍是重言式。
-
重言式的析取是可满足式（不一定是重言式，但一定可满足）。
-
若 A→BA \to BA→B 是重言式且 AAA 是重言式，则 BBB 也是重言式。
四、命题逻辑的等价关系
4.1 等价
定义 ：设 AAA 和 BBB 是两个命题公式，若 A↔BA \leftrightarrow BA↔B 是重言式（即 AAA 和 BBB 在任何赋值下真值相同），则称 AAA 与 BBB 等价 （或逻辑等值），记作：
A⇔B或A≡BA \Leftrightarrow B \quad \text{或} \quad A \equiv BA⇔B或A≡B
说明：
- ⇔\Leftrightarrow⇔（或 ≡\equiv≡）不是逻辑联结词，而是公式之间的元语言关系。
- 等价关系是自反的、对称的、传递的，即等价关系是等价关系（满足等价关系三性质）。
4.2 基本等价式
以下等价式是命题逻辑中最重要的运算律，需熟练掌握：
（1）双重否定律
¬(¬p)⇔p\neg(\neg p) \Leftrightarrow p¬(¬p)⇔p
（2）幂等律（Idempotent Law）
p∧p⇔pp \land p \Leftrightarrow pp∧p⇔p
p∨p⇔pp \lor p \Leftrightarrow pp∨p⇔p
（3）交换律（Commutative Law）
p∧q⇔q∧pp \land q \Leftrightarrow q \land pp∧q⇔q∧p
p∨q⇔q∨pp \lor q \Leftrightarrow q \lor pp∨q⇔q∨p
（4）结合律（Associative Law）
(p∧q)∧r⇔p∧(q∧r)(p \land q) \land r \Leftrightarrow p \land (q \land r)(p∧q)∧r⇔p∧(q∧r)
(p∨q)∨r⇔p∨(q∨r)(p \lor q) \lor r \Leftrightarrow p \lor (q \lor r)(p∨q)∨r⇔p∨(q∨r)
（5）分配律（Distributive Law）
p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r)（合取对析取的分配）p \land (q \lor r) \Leftrightarrow (p \land q) \lor (p \land r) \quad \text{（合取对析取的分配）}p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r)（合取对析取的分配）
p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)（析取对合取的分配）p \lor (q \land r) \Leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r) \quad \text{（析取对合取的分配）}p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)（析取对合取的分配）
（6）德·摩根律（De Morgan's Law）
¬(p∧q)⇔¬p∨¬q\neg(p \land q) \Leftrightarrow \neg p \lor \neg q¬(p∧q)⇔¬p∨¬q
¬(p∨q)⇔¬p∧¬q\neg(p \lor q) \Leftrightarrow \neg p \land \neg q¬(p∨q)⇔¬p∧¬q
（7）吸收律（Absorption Law）
p∧(p∨q)⇔pp \land (p \lor q) \Leftrightarrow pp∧(p∨q)⇔p
p∨(p∧q)⇔pp \lor (p \land q) \Leftrightarrow pp∨(p∧q)⇔p
（8）零律 / 同一律 / 补余律
p∧T⇔p（同一律）p \land T \Leftrightarrow p \quad \text{（同一律）}p∧T⇔p（同一律）
p∨F⇔p（同一律）p \lor F \Leftrightarrow p \quad \text{（同一律）}p∨F⇔p（同一律）
p∧F⇔F（零律）p \land F \Leftrightarrow F \quad \text{（零律）}p∧F⇔F（零律）
p∨T⇔T（零律）p \lor T \Leftrightarrow T \quad \text{（零律）}p∨T⇔T（零律）
（9）排中律与矛盾律
p∨¬p⇔T（排中律）p \lor \neg p \Leftrightarrow T \quad \text{（排中律）}p∨¬p⇔T（排中律）
p∧¬p⇔F（矛盾律）p \land \neg p \Leftrightarrow F \quad \text{（矛盾律）}p∧¬p⇔F（矛盾律）
（10）等值式转化
p→q⇔¬p∨q（蕴含的等价表达）p \to q \Leftrightarrow \neg p \lor q \quad \text{（蕴含的等价表达）}p→q⇔¬p∨q（蕴含的等价表达）
p↔q⇔(p→q)∧(q→p)⇔(p∧q)∨(¬p∧¬q)p \leftrightarrow q \Leftrightarrow (p \to q) \land (q \to p) \Leftrightarrow (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)p↔q⇔(p→q)∧(q→p)⇔(p∧q)∨(¬p∧¬q)
¬(p→q)⇔p∧¬q（蕴含的否定）\neg(p \to q) \Leftrightarrow p \land \neg q \quad \text{（蕴含的否定）}¬(p→q)⇔p∧¬q（蕴含的否定）
¬(p↔q)⇔(p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔p⊕q\neg(p \leftrightarrow q) \Leftrightarrow (p \land \neg q) \lor (\neg p \land q) \Leftrightarrow p \oplus q¬(p↔q)⇔(p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔p⊕q
（11）输出律（Exportation Law）
(p∧q)→r⇔p→(q→r)(p \land q) \to r \Leftrightarrow p \to (q \to r)(p∧q)→r⇔p→(q→r)
（12）逆否律
p→q⇔¬q→¬pp \to q \Leftrightarrow \neg q \to \neg pp→q⇔¬q→¬p
4.3 置换规则
置换规则 ：设 Φ(A)\Phi(A)Φ(A) 是含子公式 AAA 的命题公式，若 A⇔BA \Leftrightarrow BA⇔B，则将 Φ(A)\Phi(A)Φ(A) 中某些 （不一定是全部）AAA 的出现替换为 BBB 后，得到的公式 Φ(B)\Phi(B)Φ(B) 与原公式等价：
Φ(A)⇔Φ(B)\Phi(A) \Leftrightarrow \Phi(B)Φ(A)⇔Φ(B)
置换规则与代入规则的区别：
- 代入规则 ：对命题变元 进行，必须处处代入（同一变元的所有出现都替换）。代入保持重言性。
- 置换规则 ：对子公式 进行，可以部分替换（不必替换所有出现）。置换保持等价性。
置换规则是公式化简和等价变换的基本工具。
五、命题公式的标准化
5.1 析取范式与合取范式
基本概念：
- 文字（Literal） ：命题变元或其否定。ppp 和 ¬p\neg p¬p 都是文字。
- 简单析取（Simple Disjunction） ：由一个或多个文字通过 ∨\lor∨ 联结而成的公式。
- 例：ppp、¬p∨q∨¬r\neg p \lor q \lor \neg r¬p∨q∨¬r
- 简单合取（Simple Conjunction） ：由一个或多个文字通过 ∧\land∧ 联结而成的公式。
- 例：ppp、¬p∧q∧¬r\neg p \land q \land \neg r¬p∧q∧¬r
- 析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF） ：由一个或多个简单合取 通过 ∨\lor∨ 联结而成的公式。
- 形式：(⋯ )∨(⋯ )∨⋯(\cdots) \lor (\cdots) \lor \cdots(⋯)∨(⋯)∨⋯，其中每个 (⋯ )(\cdots)(⋯) 是简单合取。
- 例：(p∧q)∨(¬p∧r)∨s(p \land q) \lor (\neg p \land r) \lor s(p∧q)∨(¬p∧r)∨s
- 合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF） ：由一个或多个简单析取 通过 ∧\land∧ 联结而成的公式。
- 形式：(⋯ )∧(⋯ )∧⋯(\cdots) \land (\cdots) \land \cdots(⋯)∧(⋯)∧⋯，其中每个 (⋯ )(\cdots)(⋯) 是简单析取。
- 例：(p∨q)∧(¬p∨r)∧s(p \lor q) \land (\neg p \lor r) \land s(p∨q)∧(¬p∨r)∧s
求析取范式 / 合取范式的方法：
- 利用等价式消去公式中的 →\to→ 和 ↔\leftrightarrow↔。
- 利用德·摩根律将否定深入到变元前。
- 利用分配律展开。
示例 ：求 (p→q)→r(p \to q) \to r(p→q)→r 的析取范式和合取范式。
- 消去 →\to→：(p→q)→r⇔¬(¬p∨q)∨r(p \to q) \to r \Leftrightarrow \neg(\neg p \lor q) \lor r(p→q)→r⇔¬(¬p∨q)∨r
- 否定深入：⇔(p∧¬q)∨r\Leftrightarrow (p \land \neg q) \lor r⇔(p∧¬q)∨r
- 这已经是析取范式 ：(p∧¬q)∨r(p \land \neg q) \lor r(p∧¬q)∨r
- 求合取范式，利用分配律：(p∨r)∧(¬q∨r)(p \lor r) \land (\neg q \lor r)(p∨r)∧(¬q∨r) --- 这是合取范式
5.2 主析取范式与主合取范式
（1）极小项（Minterm）
定义 ：对于 nnn 个命题变元 p1,p2,...,pnp_1, p_2, \ldots, p_np1,p2,...,pn，一个极小项 是形如 l1∧l2∧⋯∧lnl_1 \land l_2 \land \cdots \land l_nl1∧l2∧⋯∧ln 的简单合取，其中每个 lil_ili 要么是 pip_ipi，要么是 ¬pi\neg p_i¬pi。
- nnn 个变元共有 2n2^n2n 个不同的极小项。
- 每个极小项恰好在一种赋值下为真（即包含该变元为正时赋值为 T、含该变元之否定时赋值为 F 的那种赋值）。
- 不同极小项在任何赋值下不会同时为真（互斥）。
- 所有极小项的析取为重言式（穷举）。
两个变元 p,qp, qp,q 的极小项（22=42^2 = 422=4 个）：
| 极小项 | 使该极小项为真的赋值 | 编号 |
|---|---|---|
| p∧qp \land qp∧q | p=T,q=Tp=T, q=Tp=T,q=T | m3m_3m3（即 m(11)2m_{(11)_2}m(11)2） |
| p∧¬qp \land \neg qp∧¬q | p=T,q=Fp=T, q=Fp=T,q=F | m2m_2m2（即 m(10)2m_{(10)_2}m(10)2） |
| ¬p∧q\neg p \land q¬p∧q | p=F,q=Tp=F, q=Tp=F,q=T | m1m_1m1（即 m(01)2m_{(01)_2}m(01)2） |
| ¬p∧¬q\neg p \land \neg q¬p∧¬q | p=F,q=Fp=F, q=Fp=F,q=F | m0m_0m0（即 m(00)2m_{(00)_2}m(00)2） |
编号规则 ：将 ppp 对应的 bit 写在高位，¬p\neg p¬p 对应 0、ppp 对应 1，由此得到二进制数即为极小项的下标。
（2）极大项（Maxterm）
定义 ：对于 nnn 个命题变元，一个极大项 是形如 l1∨l2∨⋯∨lnl_1 \lor l_2 \lor \cdots \lor l_nl1∨l2∨⋯∨ln 的简单析取，其中每个 lil_ili 要么是 pip_ipi，要么是 ¬pi\neg p_i¬pi。
- nnn 个变元共有 2n2^n2n 个不同的极大项。
- 每个极大项恰好在一种赋值下为假。
- 不同极大项在任何赋值下不会同时为假（互斥）。
- 所有极大项的合取为矛盾式（穷举）。
两个变元 p,qp, qp,q 的极大项（22=42^2 = 422=4 个）：
| 极大项 | 使该极大项为假的赋值 | 编号 |
|---|---|---|
| p∨qp \lor qp∨q | p=F,q=Fp=F, q=Fp=F,q=F | M0M_0M0（即 M(00)2M_{(00)_2}M(00)2） |
| p∨¬qp \lor \neg qp∨¬q | p=F,q=Tp=F, q=Tp=F,q=T | M1M_1M1（即 M(01)2M_{(01)_2}M(01)2） |
| ¬p∨q\neg p \lor q¬p∨q | p=T,q=Fp=T, q=Fp=T,q=F | M2M_2M2（即 M(10)2M_{(10)_2}M(10)2） |
| ¬p∨¬q\neg p \lor \neg q¬p∨¬q | p=T,q=Tp=T, q=Tp=T,q=T | M3M_3M3（即 M(11)2M_{(11)_2}M(11)2） |
编号规则 ：¬p\neg p¬p 对应 1、ppp 对应 0（与极小项相反），得到的二进制数即为极大项的下标。
（3）主析取范式（Principal Disjunctive Normal Form，PDNF）
定义 ：若析取范式中的每个简单合取都是极小项 ，则该析取范式称为主析取范式 （也称标准析取范式）。
性质：
- 任何非矛盾式的命题公式都有且仅有一个主析取范式。
- 矛盾式的主析取范式为空（不包含任何极小项）。
- 重言式的主析取范式包含所有 2n2^n2n 个极小项。
求法：
- 方法一（真值表法）：列出真值表，找出使公式为真的所有赋值，将每种赋值对应的极小项析取起来。
- 方法二（等价变换法） ：
- 先化为析取范式。
- 对每个简单合取项，若缺少变元 ppp，则利用 p⇔(p∧T)⇔(p∧(q∨¬q))p \Leftrightarrow (p \land T) \Leftrightarrow (p \land (q \lor \neg q))p⇔(p∧T)⇔(p∧(q∨¬q)) 展开补全，再用分配律展开。
- 去掉重复的极小项，按编号排序。
（4）主合取范式（Principal Conjunctive Normal Form，PCNF）
定义 ：若合取范式中的每个简单析取都是极大项 ，则该合取范式称为主合取范式 （也称标准合取范式）。
性质：
- 任何非重言式的命题公式都有且仅有一个主合取范式。
- 重言式的主合取范式为空。
- 矛盾式的主合取范式包含所有 2n2^n2n 个极大项。
求法：
- 方法一（真值表法）：找出使公式为假的所有赋值，将每种赋值对应的极大项合取起来。
- 方法二（等价变换法）：化为合取范式后，对每个简单析取项补全变元。
（5）极小项与极大项的互补关系
编号为 mim_imi 的极小项和编号为 MiM_iMi 的极大项互补：
mi⇔¬Mi,Mi⇔¬mim_i \Leftrightarrow \neg M_i, \quad M_i \Leftrightarrow \neg m_imi⇔¬Mi,Mi⇔¬mi
若公式 AAA 的主析取范式包含极小项 mi1,mi2,...,mikm_{i_1}, m_{i_2}, \ldots, m_{i_k}mi1,mi2,...,mik，则 ¬A\neg A¬A 的主析取范式包含其余所有极小项。同理，AAA 的主合取范式恰好由不在其主析取范式中的极小项对应的极大项构成。
5.3 主范式的应用
应用一：判断公式的类型
- 主析取范式包含所有 2n2^n2n 个极小项 ⇒\Rightarrow⇒ 重言式。
- 主析取范式为空（无极小项）⇒\Rightarrow⇒ 矛盾式。
- 主析取范式包含部分极小项 ⇒\Rightarrow⇒ 偶然式。
应用二：判断两个公式是否等价
两个公式的主析取范式（或主合取范式）相同，当且仅当两个公式等价。
应用三：求公式的成真赋值与成假赋值
主析取范式中每个极小项对应的赋值就是使公式为真的赋值；其余赋值使公式为假。
应用四：求解逻辑问题
通过列真值表或主范式，可以分析逻辑推理中的所有可能情况。
六、命题逻辑的蕴含关系
6.1 蕴含
定义 ：若 A→BA \to BA→B 是重言式（即在所有赋值下，AAA 为真时 BBB 一定为真），则称 AAA 蕴含 BBB，记作：
A⇒BA \Rightarrow BA⇒B
蕴含关系的性质：
- A⇒BA \Rightarrow BA⇒B 当且仅当 A→BA \to BA→B 是重言式。
- A⇒BA \Rightarrow BA⇒B 当且仅当 AAA 为真的所有赋值下 BBB 也为真。
- A⇔BA \Leftrightarrow BA⇔B 当且仅当 A⇒BA \Rightarrow BA⇒B 且 B⇒AB \Rightarrow AB⇒A。
- A⇒BA \Rightarrow BA⇒B 且 AAA 是重言式 ⇒\Rightarrow⇒ BBB 是重言式。
- 蕴含关系是自反的 和传递的 ，但一般不对称。
6.2 证明蕴含关系的方法
方法一：真值表法
列出 A→BA \to BA→B 的真值表，若最后一列全为 T，则 A⇒BA \Rightarrow BA⇒B。
方法二：前件分析法
在 AAA 为真的每一行（赋值）中检查 BBB 是否也为真。若 AAA 为真的所有行中 BBB 均为真，则 A⇒BA \Rightarrow BA⇒B。
方法三：反证法（归谬法）
假设 AAA 为真且 BBB 为假，看是否导致矛盾。若 AAA 为真且 BBB 为假不可能同时成立，则 A⇒BA \Rightarrow BA⇒B。
方法四：等价变换法
将 A→BA \to BA→B 化简，看是否能化为重言式。
6.3 基本蕴含式
以下蕴含式是推理中最常用的基本蕴含式：
| 编号 | 蕴含式 | 名称 |
|---|---|---|
| 1 | p∧q⇒pp \land q \Rightarrow pp∧q⇒p | 化简律（Simplification） |
| 2 | p∧q⇒qp \land q \Rightarrow qp∧q⇒q | 化简律 |
| 3 | p⇒p∨qp \Rightarrow p \lor qp⇒p∨q | 附加律（Addition） |
| 4 | q⇒p∨qq \Rightarrow p \lor qq⇒p∨q | 附加律 |
| 5 | ¬p⇒p→q\neg p \Rightarrow p \to q¬p⇒p→q | --- |
| 6 | ¬(p→q)⇒p\neg(p \to q) \Rightarrow p¬(p→q)⇒p | --- |
| 7 | ¬(p→q)⇒¬q\neg(p \to q) \Rightarrow \neg q¬(p→q)⇒¬q | --- |
| 8 | p, q⇒p∧qp, \; q \Rightarrow p \land qp,q⇒p∧q | 合取引入 |
| 9 | ¬p, p∨q⇒q\neg p, \; p \lor q \Rightarrow q¬p,p∨q⇒q | 析取三段论（Disjunctive Syllogism） |
| 10 | p, p→q⇒qp, \; p \to q \Rightarrow qp,p→q⇒q | 假言推理 / 分离规则（Modus Ponens） |
| 11 | ¬q, p→q⇒¬p\neg q, \; p \to q \Rightarrow \neg p¬q,p→q⇒¬p | 拒取式 / 否定后件式（Modus Tollens） |
| 12 | p→q, q→r⇒p→rp \to q, \; q \to r \Rightarrow p \to rp→q,q→r⇒p→r | 假言三段论 / 链式推理（Hypothetical Syllogism） |
| 13 | p∨q, ¬p∨r⇒q∨rp \lor q, \; \neg p \lor r \Rightarrow q \lor rp∨q,¬p∨r⇒q∨r | 构造性二难推理（Resolution） |
| 14 | p→q, r→s, p∨r⇒q∨sp \to q, \; r \to s, \; p \lor r \Rightarrow q \lor sp→q,r→s,p∨r⇒q∨s | 构造性二难推理（Constructive Dilemma） |
| 15 | p→q, r→s, ¬q∨¬s⇒¬p∨¬rp \to q, \; r \to s, \; \neg q \lor \neg s \Rightarrow \neg p \lor \neg rp→q,r→s,¬q∨¬s⇒¬p∨¬r | 破坏性二难推理（Destructive Dilemma） |
七、命题逻辑的推理理论
7.1 论证的有效性
论证（Argument） 由前提（Premises） 和结论（Conclusion） 组成，通常写作：
H1,H2,...,Hn⊢C或H1,H2,...,Hn∴CH_1, H_2, \ldots, H_n \vdash C \quad \text{或} \quad H_1, H_2, \ldots, H_n \therefore CH1,H2,...,Hn⊢C或H1,H2,...,Hn∴C
其中 H1,H2,...,HnH_1, H_2, \ldots, H_nH1,H2,...,Hn 是前提，CCC 是结论。
有效论证的定义：
论证 H1,H2,...,Hn⊢CH_1, H_2, \ldots, H_n \vdash CH1,H2,...,Hn⊢C 是有效的（Valid），当且仅当：如果所有前提同时为真，则结论一定为真。即：
H1∧H2∧⋯∧Hn⇒CH_1 \land H_2 \land \cdots \land H_n \Rightarrow CH1∧H2∧⋯∧Hn⇒C
关键理解：
- 论证的"有效性"是指推理形式的正确性，不涉及前提本身是否为真。
- 如果前提全为真，结论为假，则论证无效。
- 如果前提不可能全为真（前提的合取为矛盾式），则论证自动有效（空真）。
- 有效论证不要求结论为真，只要求"前提为真时结论必真"。
7.2 有效论证的判断方法
方法一：真值表法
- 列出所有前提的合取 H1∧H2∧⋯∧HnH_1 \land H_2 \land \cdots \land H_nH1∧H2∧⋯∧Hn 和结论 CCC 的真值表。
- 检查 H1∧H2∧⋯∧HnH_1 \land H_2 \land \cdots \land H_nH1∧H2∧⋯∧Hn 为真的每一行中 CCC 是否也为真。
- 若所有前提为真的行中结论也为真，则论证有效。
- 或者直接检查 (H1∧H2∧⋯∧Hn)→C(H_1 \land H_2 \land \cdots \land H_n) \to C(H1∧H2∧⋯∧Hn)→C 是否为重言式。
方法二：主范式法
求前提合取 →C\to C→C 的主析取范式，若为重言式（包含所有极小项），则论证有效。
方法三：演绎法（形式推理法）
利用基本蕴含式和推理规则，从前提出发逐步推导出结论。详见下面的自然推理系统。
7.3 自然推理系统
自然推理系统（Natural Deduction System） 是一套形式化的推理规则，模拟人类的自然推理过程。它从一组前提出发，通过规则推导出结论。
自然推理系统的基本特点：
- 不需要公理，只需要推理规则。
- 允许使用假设（条件证明法）。
- 推导过程中可以引入临时假设，用完后可以"撤销"。
7.4 自然推理系统中构造有效论证的方法
基本推理规则
规则 P（前提引入规则 / Premise）：在推理的任何步骤都可以引入前提。
规则 T（逻辑推论规则 / Tautology） ：在推理中，如果前面的某些步骤所得公式 S1,S2,...,SkS_1, S_2, \ldots, S_kS1,S2,...,Sk 的合取逻辑蕴含公式 SSS（即 S1∧S2∧⋯∧Sk⇒SS_1 \land S_2 \land \cdots \land S_k \Rightarrow SS1∧S2∧⋯∧Sk⇒S），则在后续步骤中可以得出 SSS。
规则 CP（条件证明规则 / Conditional Proof） ：若要证明 H1,H2,...,Hn⇒A→BH_1, H_2, \ldots, H_n \Rightarrow A \to BH1,H2,...,Hn⇒A→B，可以将 AAA 作为附加前提，证明 H1,H2,...,Hn,A⇒BH_1, H_2, \ldots, H_n, A \Rightarrow BH1,H2,...,Hn,A⇒B。证明完成后，AAA 这个临时前提被撤销。
规则 CP 的使用条件 ：当结论是蕴含式 A→BA \to BA→B 时，将 AAA（前件）作为附加前提引入，目标变为证明 BBB。
常用推理规则（在规则 T 中使用的蕴含式）
| 规则名 | 形式 | 说明 |
|---|---|---|
| 假言推理（MP） | P,P→Q⇒QP, P \to Q \Rightarrow QP,P→Q⇒Q | 肯定前件，推出后件 |
| 拒取式（MT） | ¬Q,P→Q⇒¬P\neg Q, P \to Q \Rightarrow \neg P¬Q,P→Q⇒¬P | 否定后件，推出前件的否定 |
| 假言三段论（HS） | P→Q,Q→R⇒P→RP \to Q, Q \to R \Rightarrow P \to RP→Q,Q→R⇒P→R | 链式推理 |
| 析取三段论（DS） | P∨Q,¬P⇒QP \lor Q, \neg P \Rightarrow QP∨Q,¬P⇒Q | 否定析取的一个，推出另一个 |
| 化简（Simp） | P∧Q⇒PP \land Q \Rightarrow PP∧Q⇒P（或 QQQ） | 合取中取一个 |
| 附加（Add） | P⇒P∨QP \Rightarrow P \lor QP⇒P∨Q | 用析取扩充 |
| 合取引入（Conj） | P,Q⇒P∧QP, Q \Rightarrow P \land QP,Q⇒P∧Q | 两个结论合取 |
| 构造性二难（CD） | P→Q,R→S,P∨R⇒Q∨SP \to Q, R \to S, P \lor R \Rightarrow Q \lor SP→Q,R→S,P∨R⇒Q∨S | --- |
推理过程的格式
推理过程是一个有序的公式序列，每个公式需要标注：
| 步骤 | 推导公式 | 所依据的规则 | 所依赖的前提/步骤 |
|---|
推理示例
题目 ：证明 ¬p∨q, r∨¬q, r→s, p⇒s\neg p \lor q, \; r \lor \neg q, \; r \to s, \; p \Rightarrow s¬p∨q,r∨¬q,r→s,p⇒s。
证明：
| 步骤 | 公式 | 规则 | 依据 |
|---|---|---|---|
| 1 | ppp | P（前提引入） | 前提 |
| 2 | ¬p∨q\neg p \lor q¬p∨q | P（前提引入） | 前提 |
| 3 | qqq | T（析取三段论） | 步骤 1, 2 |
| 4 | r∨¬qr \lor \neg qr∨¬q | P（前提引入） | 前提 |
| 5 | rrr | T（析取三段论） | 步骤 3, 4 |
| 6 | r→sr \to sr→s | P（前提引入） | 前提 |
| 7 | sss | T（假言推理） | 步骤 5, 6 |
证毕。
使用规则 CP 的推理示例
题目 ：证明 p→(q→r), ¬s∨p, q⇒s→rp \to (q \to r), \; \neg s \lor p, \; q \Rightarrow s \to rp→(q→r),¬s∨p,q⇒s→r。
证明：
| 步骤 | 公式 | 规则 | 依据 |
|---|---|---|---|
| 1 | ¬s∨p\neg s \lor p¬s∨p | P | 前提 |
| 2 | sss | P（附加前提，CP 的假设） | 用于 CP |
| 3 | ppp | T（析取三段论） | 步骤 1, 2 |
| 4 | p→(q→r)p \to (q \to r)p→(q→r) | P | 前提 |
| 5 | q→rq \to rq→r | T（假言推理） | 步骤 3, 4 |
| 6 | qqq | P | 前提 |
| 7 | rrr | T（假言推理） | 步骤 5, 6 |
| 8 | s→rs \to rs→r | CP | 步骤 2 ~ 7 |
证毕。
附录：核心概念速查表
| 概念 | 含义 |
|---|---|
| 命题 | 能判断真假的陈述句 |
| 原子命题 | 不可再分解的命题 |
| 复合命题 | 由联结词组合的命题 |
| 重言式 | 所有赋值下恒为真 |
| 矛盾式 | 所有赋值下恒为假 |
| 可满足式 | 至少一种赋值下为真 |
| 等价 A⇔BA \Leftrightarrow BA⇔B | A↔BA \leftrightarrow BA↔B 为重言式 |
| 蕴含 A⇒BA \Rightarrow BA⇒B | A→BA \to BA→B 为重言式 |
| 析取范式 (DNF) | 简单合取的析取 |
| 合取范式 (CNF) | 简单析取的合取 |
| 主析取范式 (PDNF) | 极小项的析取（唯一） |
| 主合取范式 (PCNF) | 极大项的合取（唯一） |
| 有效论证 | 前提全真时结论必真 |