【# 电压极限圆、电流极限圆、MTPA曲线、最大功率曲线的关系】

电压极限圆、电流极限圆、MTPA曲线、最大功率曲线的关系

电压极限圆、电流极限圆、MTPA曲线、最大功率曲线的关系
- 电压极限圆（电压极限椭圆）公式完整推导
- - 一、前提定义与基本方程
  - - [1. 符号与物理量定义](#1. 符号与物理量定义)
    - [2. d-q 轴基本方程](#2. d-q 轴基本方程)
    - - （1）瞬态电压方程
      - （2）磁链方程
  - 二、稳态工况下的方程简化
  - 三、电压极限约束与核心推导
  - 四、两类电机的形式区分
  - - [1. 表贴式永磁同步电机（SPMSM）](#1. 表贴式永磁同步电机（SPMSM）)
    - [2. 内置式永磁同步电机（IPMSM）](#2. 内置式永磁同步电机（IPMSM）)
  - 五、关键特性补充
- 电流极限圆与电流幅值限制方法
- - 一、电流极限圆公式推导
  - - [1. 约束来源与符号定义](#1. 约束来源与符号定义)
    - [2. 数学推导过程](#2. 数学推导过程)
    - [3. 几何特性](#3. 几何特性)
    - [4. 坐标变换归一化准则与工程换算](#4. 坐标变换归一化准则与工程换算)
  - 二、两种定子电流幅值限制方法
  - - [1. 后置式矢量圆等比例限幅](#1. 后置式矢量圆等比例限幅)
    - - 实现步骤
      - 方案特点
    - [2. 前置式单轴限幅（iq限幅+id跟随）](#2. 前置式单轴限幅（iq限幅+id跟随）)
    - - 实现逻辑
      - 方案特点
  - 三、电驱动系统主流方案与工程设计
  - - [1. 行业主流选型](#1. 行业主流选型)
    - [2. 配套工程设计细节](#2. 配套工程设计细节)
  - 四、总结
- MTPA（最大转矩电流比）曲线完整推导
- - 一、基本定义与适用场景
  - 二、电磁转矩公式推导
  - - [1. d-q 轴磁链方程](#1. d-q 轴磁链方程)
    - [2. 电磁转矩通用公式](#2. 电磁转矩通用公式)
  - [三、MTPA 极值问题建模](#三、MTPA 极值问题建模)
  - 四、拉格朗日乘数法推导
  - - [联立方程消去 λ \lambda λ](#联立方程消去 λ \lambda λ)
  - 五、显式计算公式（工程常用形式）
  - - 根的取舍
  - [六、表贴式 PMSM 的特殊情况](#六、表贴式 PMSM 的特殊情况)
  - [七、MTPA 曲线的几何特性](#七、MTPA 曲线的几何特性)
- 恒转矩曲线完整推导
- - 一、定义与物理意义
  - 二、数学推导与标准方程
  - - [1. 电磁转矩基础公式](#1. 电磁转矩基础公式)
    - [2. 恒转矩隐式方程推导](#2. 恒转矩隐式方程推导)
    - [3. 标准二次曲线形式](#3. 标准二次曲线形式)
  - 三、两类电机的恒转矩曲线形态
  - - [1. 内置式永磁同步电机（IPMSM）](#1. 内置式永磁同步电机（IPMSM）)
    - [2. 表贴式永磁同步电机（SPMSM）](#2. 表贴式永磁同步电机（SPMSM）)
  - 四、几何特性与工程意义
  - - [1. 曲线分布规律](#1. 曲线分布规律)
    - [2. 与电流极限圆、MTPA的关联](#2. 与电流极限圆、MTPA的关联)
    - [3. 弱磁区的应用价值](#3. 弱磁区的应用价值)

电压极限圆、电流极限圆、MTPA曲线、最大功率曲线的关系

电压极限圆（电压极限椭圆）公式完整推导

推导基于转子同步旋转 d-q 坐标系下的永磁同步电机（PMSM）数学模型。

一、前提定义与基本方程

1. 符号与物理量定义

符号	物理意义	单位
u d u_d ud、 u q u_q uq	d 轴、q 轴定子电压分量	V
i d i_d id、 i q i_q iq	d 轴、q 轴定子电流分量	A
R s R_s Rs	定子相电阻	Ω \Omega Ω
L d L_d Ld、 L q L_q Lq	d 轴、q 轴同步电感	H
ψ f \psi_f ψf	永磁体励磁磁链	Wb
ω e \omega_e ωe	转子电角速度	rad/s
U max U_{\text{max}} Umax	逆变器输出最大相电压基波幅值	V
U dc U_{\text{dc}} Udc	逆变器直流母线电压	V

补充说明：

电角速度与机械角速度满足： ω e = p ⋅ ω m \omega_e = p \cdot \omega_m ωe=p⋅ωm，其中 p p p 为电机极对数；
最大相电压由母线电压与调制方式决定：SVPWM 线性调制区 U max = U dc 3 \displaystyle U_{\text{max}} = \frac{U_{\text{dc}}}{\sqrt{3}} Umax=3 Udc，SPWM 线性区 U max = U dc 2 \displaystyle U_{\text{max}} = \frac{U_{\text{dc}}}{2} Umax=2Udc，工程分析默认采用 SVPWM。

2. d-q 轴基本方程

（1）瞬态电压方程

{ u d = R s i d + d ψ d d t − ω e ψ q u q = R s i q + d ψ q d t + ω e ψ d \begin{cases} \displaystyle u_d = R_s i_d + \frac{d\psi_d}{dt} - \omega_e \psi_q \\ $6pt$ \displaystyle u_q = R_s i_q + \frac{d\psi_q}{dt} + \omega_e \psi_d \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ud=Rsid+dtdψd−ωeψquq=Rsiq+dtdψq+ωeψd

（2）磁链方程

{ ψ d = L d i d + ψ f ψ q = L q i q \begin{cases} \psi_d = L_d i_d + \psi_f \\ \psi_q = L_q i_q \end{cases} {ψd=Ldid+ψfψq=Lqiq

二、稳态工况下的方程简化

电机稳态运行时，d、q 轴电流为恒定直流量，对应磁链也为直流量，因此磁链的微分项为 0：

d ψ d d t = 0 , d ψ q d t = 0 \frac{d\psi_d}{dt} = 0,\quad \frac{d\psi_q}{dt} = 0 dtdψd=0,dtdψq=0

将磁链方程代入瞬态电压方程，得到稳态电压方程：

{ u d = R s i d − ω e L q i q u q = R s i q + ω e ( L d i d + ψ f ) \begin{cases} u_d = R_s i_d - \omega_e L_q i_q \\ u_q = R_s i_q + \omega_e (L_d i_d + \psi_f) \end{cases} {ud=Rsid−ωeLqiquq=Rsiq+ωe(Ldid+ψf)

三、电压极限约束与核心推导

逆变器的输出能力受直流母线电压限制，定子电压矢量的模长必须满足幅值约束：

u d 2 + u q 2 ≤ U max 2 u_d^2 + u_q^2 \leq U_{\text{max}}^2 ud2+uq2≤Umax2

工程近似：忽略定子电阻 R s R_s Rs

在中高速运行区间，定子电阻压降远小于旋转电动势项 ω e ψ \omega_e \psi ωeψ，对电压极限的影响可忽略。这是电压极限圆分析的通用前提，推导得到的边界为标准二次曲线，物理意义清晰。

忽略 R s R_s Rs 后，稳态电压方程简化为：

{ u d = − ω e L q i q u q = ω e ( L d i d + ψ f ) \begin{cases} u_d = -\omega_e L_q i_q \\ u_q = \omega_e (L_d i_d + \psi_f) \end{cases} {ud=−ωeLqiquq=ωe(Ldid+ψf)

将其代入电压幅值约束：

( − ω e L q i q ) 2 + $ω e ( L d i d + ψ f )$ 2 ≤ U max 2 (-\omega_e L_q i_q)^2 + \left $\\omega_e (L_d i_d + \\psi_f)\\right$ ^2 \leq U_{\text{max}}^2 (−ωeLqiq)2+ $ωe(Ldid+ψf)$ 2≤Umax2

展开平方项：

ω e 2 L q 2 i q 2 + ω e 2 ( L d i d + ψ f ) 2 ≤ U max 2 \omega_e^2 L_q^2 i_q^2 + \omega_e^2 (L_d i_d + \psi_f)^2 \leq U_{\text{max}}^2 ωe2Lq2iq2+ωe2(Ldid+ψf)2≤Umax2

两边同除以 ω e 2 \omega_e^2 ωe2，消去转速项的公共系数：

L q 2 i q 2 + ( L d i d + ψ f ) 2 ≤ ( U max ω e ) 2 L_q^2 i_q^2 + (L_d i_d + \psi_f)^2 \leq \left( \frac{U_{\text{max}}}{\omega_e} \right)^2 Lq2iq2+(Ldid+ψf)2≤(ωeUmax)2

将 L d L_d Ld 从括号中提出，整理为标准二次曲线形式：

( i d + ψ f L d ) 2 + ( L q L d ) 2 i q 2 ≤ ( U max ω e L d ) 2 \left( i_d + \frac{\psi_f}{L_d} \right)^2 + \left( \frac{L_q}{L_d} \right)^2 i_q^2 \leq \left( \frac{U_{\text{max}}}{\omega_e L_d} \right)^2 (id+Ldψf)2+(LdLq)2iq2≤(ωeLdUmax)2

四、两类电机的形式区分

1. 表贴式永磁同步电机（SPMSM）

表贴式电机气隙均匀，无凸极效应，满足 L d = L q = L s L_d = L_q = L_s Ld=Lq=Ls，代入后方程退化为标准圆方程，即严格意义上的电压极限圆 ：

( i d + ψ f L s ) 2 + i q 2 ≤ ( U max ω e L s ) 2 \left( i_d + \frac{\psi_f}{L_s} \right)^2 + i_q^2 \leq \left( \frac{U_{\text{max}}}{\omega_e L_s} \right)^2 (id+Lsψf)2+iq2≤(ωeLsUmax)2

圆心坐标（ i d i_d id- i q i_q iq 平面）： ( − ψ f L s , 0 ) \displaystyle \left( -\frac{\psi_f}{L_s},\ 0 \right) (−Lsψf, 0)，位于 d 轴负半轴
圆半径： U max ω e L s \displaystyle \frac{U_{\text{max}}}{\omega_e L_s} ωeLsUmax

物理意义：给定转速下，所有可稳态运行的工作点 ( i d , i q ) (i_d,i_q) (id,iq) 必须落在该圆内部。

2. 内置式永磁同步电机（IPMSM）

内置式电机存在凸极效应，满足 L d < L q L_d < L_q Ld<Lq，此时方程为椭圆方程，行业内仍习惯泛称为「电压极限圆」：

椭圆中心： ( − ψ f L d , 0 ) \displaystyle \left( -\frac{\psi_f}{L_d},\ 0 \right) (−Ldψf, 0)
d 轴方向半轴长： U max ω e L d \displaystyle \frac{U_{\text{max}}}{\omega_e L_d} ωeLdUmax
q 轴方向半轴长： U max ω e L q \displaystyle \frac{U_{\text{max}}}{\omega_e L_q} ωeLqUmax

因 L d < L q L_d < L_q Ld<Lq，d 轴半轴长大于 q 轴半轴长，椭圆沿 d 轴方向拉伸。

五、关键特性补充

转速相关性 ：电压极限的半径 / 半轴长与电角速度 ω e \omega_e ωe 成反比。转速越高，电压极限边界越小，电机可运行的电流范围越窄，这是电机高速弱磁运行的核心依据。
电阻的影响 ：若严格考虑定子电阻 R s R_s Rs，电压极限不再是标准圆 / 椭圆，边界会发生小幅畸变；低速工况下电阻压降占比高，需精确计算，高速工况下忽略电阻的工程精度足够。
运行约束：电机实际稳态工作点必须同时满足电压极限与电流极限，即可运行区域为两个约束边界的交集。

电流极限圆与电流幅值限制方法

电流极限圆是永磁同步电机（PMSM）全速度域运行的核心硬约束，描述定子电流矢量的幅值上限，对应逆变器最大输出电流能力与电机绕组额定发热限制。下文包含电流极限圆的完整公式推导、坐标变换归一化的详细换算规则（含和差化积完整推导过程）、两种工程常用的电流幅值限幅方案，以及量产电驱动系统的主流选型说明。

一、电流极限圆公式推导

1. 约束来源与符号定义

电流极限的物理边界由两方面共同决定，两者中的较小值即为系统允许的最大相电流幅值：

逆变器功率器件（IGBT/MOSFET）的最大耐受电流，决定电流输出能力上限
电机定子绕组的绝缘等级与发热限制，决定长期安全运行的额定电流峰值

核心符号定义如下：

符号	物理意义	单位
i d i_d id、 i q i_q iq	d d d轴、 q q q轴定子电流分量	A
i s i_s is	定子电流矢量总幅值	A
I max I_{\text{max}} Imax	定子允许的最大相电流峰值	A

2. 数学推导过程

在转子同步旋转 d d d- q q q正交坐标系中， d d d轴与 q q q轴相互垂直，定子电流矢量的幅值满足正交矢量模长计算关系：

i s = i d 2 + i q 2 i_s = \sqrt{i_d^2 + i_q^2} is=id2+iq2

电机安全稳态运行时，定子电流幅值不得超过上限值，因此存在约束不等式：

i d 2 + i q 2 ≤ I max \sqrt{i_d^2 + i_q^2} \leq I_{\text{max}} id2+iq2 ≤Imax

为便于几何分析与运算，将不等式两边同时平方，消除根号后得到电流极限的标准形式：

i d 2 + i q 2 ≤ I max 2 \boldsymbol{i_d^2 + i_q^2 \leq I_{\text{max}}^2} id2+iq2≤Imax2

该式即为 i d i_d id- i q i_q iq平面上的电流极限圆方程。

3. 几何特性

圆心坐标 ： ( 0 , 0 ) \boldsymbol{(0,\ 0)} (0, 0)，即 d d d- q q q坐标系的坐标原点
圆半径 ： I max \boldsymbol{I_{\text{max}}} Imax，等于定子允许的最大相电流峰值
核心特点 ：电流极限圆的半径为固定值，不随转速、母线电压等运行参数变化，仅由硬件额定参数决定，属于恒定硬约束。

4. 坐标变换归一化准则与工程换算

逆变器参数标注的「最大相电流」通常为三相自然坐标系下的有效值，需结合坐标变换的归一化规则，换算为 d d d- q q q坐标系下电流矢量幅值的上限 I max I_{\text{max}} Imax。

Park变换属于纯正交旋转变换，仅旋转矢量方向、不改变矢量模长，因此电流矢量幅值的差异完全由Clark变换（三相静止→两相静止）的归一化方式决定。工程上主流分为等幅值变换 与等功率变换两类。

（1）前提：三相平衡正弦电流定义

设三相定子绕组中流过平衡正弦电流，瞬时值为：

{ i a = I m cos ⁡ θ i b = I m cos ⁡ ( θ − 2 π 3 ) i c = I m cos ⁡ ( θ + 2 π 3 ) \begin{cases} i_a = I_m \cos\theta \\ i_b = I_m \cos\left(\theta - \dfrac{2\pi}{3}\right) \\ i_c = I_m \cos\left(\theta + \dfrac{2\pi}{3}\right) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ia=Imcosθib=Imcos(θ−32π)ic=Imcos(θ+32π)

其中：

I m I_m Im：相电流的瞬时峰值
θ = ω e t \theta = \omega_e t θ=ωet：转子电角度
相电流有效值满足： I rms = I m 2 \displaystyle I_{\text{rms}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} Irms=2 Im

（2）等幅值Clark变换（工程主流）

等幅值变换的设计目标是：变换前后，正弦量的峰值大小保持不变，是新能源汽车电驱、工业伺服等量产系统的通用标准。

推导用到的核心三角公式

余弦和差化积公式：
cos ⁡ A + cos ⁡ B = 2 cos ⁡ ( A + B 2 ) cos ⁡ ( A − B 2 ) \cos A + \cos B = 2\cos\left( \frac{A+B}{2} \right)\cos\left( \frac{A-B}{2} \right) cosA+cosB=2cos(2A+B)cos(2A−B)
余弦差化积公式：
cos ⁡ A − cos ⁡ B = − 2 sin ⁡ ( A + B 2 ) sin ⁡ ( A − B 2 ) \cos A - \cos B = -2\sin\left( \frac{A+B}{2} \right)\sin\left( \frac{A-B}{2} \right) cosA−cosB=−2sin(2A+B)sin(2A−B)
三角函数基本恒等式：
cos ⁡ 2 θ + sin ⁡ 2 θ = 1 , cos ⁡ ( − x ) = cos ⁡ x , sin ⁡ ( − x ) = − sin ⁡ x \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1,\quad \cos(-x)=\cos x,\quad \sin(-x)=-\sin x cos2θ+sin2θ=1,cos(−x)=cosx,sin(−x)=−sinx
特殊角度值：
cos ⁡ 2 π 3 = − 1 2 , sin ⁡ 2 π 3 = 3 2 \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} cos32π=−21,sin32π=23

第一步：原始磁动势等效（无归一化系数）

Clark变换的本质是三相绕组与两相正交绕组的磁动势等效 。三相定子绕组在空间上互差120°电角度，通入三相平衡电流后，会合成一个旋转的空间磁动势矢量；等效的两相正交绕组（ α \alpha α- β \beta β绕组）通入电流后，需要产生完全相同的旋转磁动势。

不添加任何归一化系数，直接按空间投影计算两相等效电流（原始磁动势等效关系）：

{ i α 0 = i a + i b cos ⁡ 120 ∘ + i c cos ⁡ 240 ∘ = i a − 1 2 i b − 1 2 i c i β 0 = i b sin ⁡ 120 ∘ + i c sin ⁡ 240 ∘ = 3 2 i b − 3 2 i c \begin{cases} i_{\alpha0} = i_a + i_b \cos120^\circ + i_c \cos240^\circ = i_a - \dfrac{1}{2}i_b - \dfrac{1}{2}i_c \\ $8pt$ i_{\beta0} = i_b \sin120^\circ + i_c \sin240^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}i_b - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i_c \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧iα0=ia+ibcos120∘+iccos240∘=ia−21ib−21iciβ0=ibsin120∘+icsin240∘=23 ib−23 ic

将三相平衡正弦电流代入 α \alpha α轴表达式，提取公共项 I m I_m Im：

i α 0 = I m cos ⁡ θ − I m 2 $cos ( θ - 2 π 3 ) + cos ( θ + 2 π 3 )$ i_{\alpha0} = I_m\cos\theta - \frac{I_m}{2}\left $\\cos\\left(\\theta - \\frac{2\\pi}{3}\\right) + \\cos\\left(\\theta + \\frac{2\\pi}{3}\\right) \\right$ iα0=Imcosθ−2Im $cos(θ-32π)+cos(θ+32π)$

令 A = θ − 2 π 3 A = \theta - \dfrac{2\pi}{3} A=θ−32π， B = θ + 2 π 3 B = \theta + \dfrac{2\pi}{3} B=θ+32π，代入和差化积公式化简括号内项：

cos ⁡ ( θ − 2 π 3 ) + cos ⁡ ( θ + 2 π 3 ) = 2 cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ( − 2 π 3 ) = 2 cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ 2 π 3 = 2 cos ⁡ θ ⋅ ( − 1 2 ) = − cos ⁡ θ \begin{align*} \cos\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) &= 2\cos\theta \cdot \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) \\ &= 2\cos\theta \cdot \cos\frac{2\pi}{3} \\ &= 2\cos\theta \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= -\cos\theta \end{align*} cos(θ−32π)+cos(θ+32π)=2cosθ⋅cos(−32π)=2cosθ⋅cos32π=2cosθ⋅(−21)=−cosθ

将化简结果代回原式，得到 α \alpha α轴电流最终表达式：

i α 0 = I m cos ⁡ θ − I m 2 ⋅ ( − cos ⁡ θ ) = I m cos ⁡ θ + I m 2 cos ⁡ θ = 3 2 I m cos ⁡ θ \begin{align*} i_{\alpha0} &= I_m\cos\theta - \frac{I_m}{2} \cdot (-\cos\theta) \\ &= I_m\cos\theta + \frac{I_m}{2}\cos\theta \\ &= \frac{3}{2}I_m \cos\theta \end{align*} iα0=Imcosθ−2Im⋅(−cosθ)=Imcosθ+2Imcosθ=23Imcosθ

同理推导 β \beta β轴电流，代入余弦差化积公式：

i β 0 = 3 2 I m $cos ( θ - 2 π 3 ) - cos ( θ + 2 π 3 )$ = 3 2 I m ⋅ $- 2 sin θ \cdot sin ( - 2 π 3 )$ = 3 2 I m ⋅ 3 sin ⁡ θ = 3 2 I m sin ⁡ θ \begin{align*} i_{\beta0} &= \frac{\sqrt{3}}{2}I_m\left $\\cos\\left(\\theta - \\frac{2\\pi}{3}\\right) - \\cos\\left(\\theta + \\frac{2\\pi}{3}\\right) \\right$ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}I_m \cdot \left $-2\\sin\\theta \\cdot \\sin\\left(-\\frac{2\\pi}{3}\\right) \\right$ \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}I_m \cdot \sqrt{3}\sin\theta \\ &= \frac{3}{2}I_m \sin\theta \end{align*} iβ0=23 Im $cos(θ-32π)-cos(θ+32π)$ =23 Im⋅ $-2sinθ\cdotsin(-32π)$ =23 Im⋅3 sinθ=23Imsinθ

计算原始变换下的电流矢量幅值：

i s 0 = i α 0 2 + i β 0 2 = ( 3 2 I m cos ⁡ θ ) 2 + ( 3 2 I m sin ⁡ θ ) 2 = 3 2 I m ⋅ cos ⁡ 2 θ + sin ⁡ 2 θ = 3 2 I m \begin{align*} i_{s0} &= \sqrt{i_{\alpha0}^2 + i_{\beta0}^2} \\ &= \sqrt{\left( \frac{3}{2}I_m\cos\theta \right)^2 + \left( \frac{3}{2}I_m\sin\theta \right)^2} \\ &= \frac{3}{2}I_m \cdot \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} \\ &= \boldsymbol{\frac{3}{2}I_m} \end{align*} is0=iα02+iβ02 =(23Imcosθ)2+(23Imsinθ)2 =23Im⋅cos2θ+sin2θ =23Im

结论：不加任何归一化系数、纯按磁动势投影等效时，两相电流矢量幅值天然是三相相电流峰值的 3 2 \dfrac{3}{2} 23倍，存在固有的幅值放大效应。

第二步：等幅值归一化（引入2/3系数）

为了实现「变换前后电流幅值相等」的等幅值目标，需要在原始磁动势等效公式的基础上，整体乘以 2 3 \dfrac{2}{3} 32的归一化系数，抵消原始的 3 2 \dfrac{3}{2} 23幅值增益，使得变换后两相电流的峰值与原三相相电流峰值完全相等。

归一化后的等幅值Clark变换公式为：

{ i α = 2 3 ⋅ i α 0 = 2 3 ( i a − 1 2 i b − 1 2 i c ) i β = 2 3 ⋅ i β 0 = 2 3 ( 3 2 i b − 3 2 i c ) \begin{cases} i_\alpha = \dfrac{2}{3} \cdot i_{\alpha0} = \dfrac{2}{3}\left(i_a - \dfrac{1}{2}i_b - \dfrac{1}{2}i_c\right) \\ $10pt$ i_\beta = \dfrac{2}{3} \cdot i_{\beta0} = \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}i_b - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i_c\right) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧iα=32⋅iα0=32(ia−21ib−21ic)iβ=32⋅iβ0=32(23 ib−23 ic)

写成标准矩阵形式：

$i α i β$ = 2 3 $1 - 1 2 - 1 2 0 3 2 - 3 2$ $i a i b i c$ \begin{bmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ $6pt$ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \\ i_c \end{bmatrix} $iαiβ$ =32 10−2123 −21−23 iaibic

代入原始幅值结果验证：

i α = 2 3 ⋅ 3 2 I m cos ⁡ θ = I m cos ⁡ θ i_\alpha = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}I_m\cos\theta = I_m\cos\theta iα=32⋅23Imcosθ=Imcosθ

i β = 2 3 ⋅ 3 2 I m sin ⁡ θ = I m sin ⁡ θ i_\beta = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}I_m\sin\theta = I_m\sin\theta iβ=32⋅23Imsinθ=Imsinθ

此时两相静止坐标系下电流矢量幅值：

i s = i α 2 + i β 2 = ( I m cos ⁡ θ ) 2 + ( I m sin ⁡ θ ) 2 = I m \begin{align*} i_s &= \sqrt{i_\alpha^2 + i_\beta^2} \\ &= \sqrt{(I_m\cos\theta)^2 + (I_m\sin\theta)^2} \\ &= I_m \end{align*} is=iα2+iβ2 =(Imcosθ)2+(Imsinθ)2 =Im

由于Park变换（ α \alpha α- β \beta β→ d d d- q q q）为正交旋转变换，不改变矢量模长，因此 d d d- q q q坐标系下的电流矢量幅值：

i s = i d 2 + i q 2 = I m i_s = \sqrt{i_d^2 + i_q^2} = I_m is=id2+iq2 =Im

工程换算结论

等幅值变换下，d d d- q q q电流矢量幅值 = 三相相电流的峰值
若逆变器给出最大相电流有效值 I rms_max I_{\text{rms\max}} Irms_max，则电流极限圆半径：
I max = i s _ max = 2 ⋅ I rms_max I{\text{max}} = i_{s\\text{max}} = \sqrt{2} \cdot I{\text{rms\_max}} Imax=is_max=2 ⋅Irms_max

（3）等功率Clark变换（理论/仿真常用）

等功率变换的设计目标是：变换前后，功率计算公式的形式保持一致 ，即三相功率可直接表示为 P = u α i α + u β i β P = u_\alpha i_\alpha + u_\beta i_\beta P=uαiα+uβiβ，无需额外乘以系数，多用于电机理论分析、部分仿真软件默认配置。

变换矩阵

三相→两相静止的Clark变换矩阵为：

$i α i β$ = 2 3 $1 - 1 2 - 1 2 0 3 2 - 3 2$ $i a i b i c$ \begin{bmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{bmatrix} = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} 1 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ $6pt$ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_a \\ i_b \\ i_c \end{bmatrix} $iαiβ$ =32 10−2123 −21−23 iaibic

幅值推导

同样代入三相平衡正弦电流，化简后可得：

i α = 3 2 I m cos ⁡ θ , i β = 3 2 I m sin ⁡ θ i_\alpha = \sqrt{\frac{3}{2}} I_m \cos\theta, \quad i_\beta = \sqrt{\frac{3}{2}} I_m \sin\theta iα=23 Imcosθ,iβ=23 Imsinθ

两相静止坐标系下电流矢量模长：

i α 2 + i β 2 = 3 2 I m \sqrt{i_\alpha^2 + i_\beta^2} = \sqrt{\frac{3}{2}} I_m iα2+iβ2 =23 Im

同理，Park变换不改变模长，因此 d d d- q q q坐标系下：

i s = i d 2 + i q 2 = 3 2 I m i_s = \sqrt{i_d^2 + i_q^2} = \sqrt{\frac{3}{2}} I_m is=id2+iq2 =23 Im

工程换算结论

等功率变换下，d d d- q q q电流矢量幅值 = 相电流峰值 × 3 / 2 \sqrt{3/2} 3/2
若逆变器给出最大相电流有效值 I rms_max I_{\text{rms\max}} Irms_max，代入 I m = 2 I rms I_m = \sqrt{2}I{\text{rms}} Im=2 Irms，则电流极限圆半径：
I max = i s _ max = 3 ⋅ I rms_max I_{\text{max}} = i_{s\\text{max}} = \sqrt{3} \cdot I{\text{rms\_max}} Imax=is_max=3 ⋅Irms_max

（4）两种变换方式对比总结

对比项	等幅值变换	等功率变换
Clark矩阵系数	2 3 \dfrac{2}{3} 32	2 3 \sqrt{\dfrac{2}{3}} 32
系数由来	抵消原始磁动势等效的3/2幅值增益，保持相电流峰值不变	保证变换前后功率计算公式形式一致
d d d- q q q电流矢量幅值与相电流峰值关系	i s = I m i_s = I_m is=Im	i s = 3 2 ⋅ I m i_s = \sqrt{\dfrac{3}{2}} \cdot I_m is=23 ⋅Im
d d d- q q q电流矢量幅值与相电流有效值关系	i s = 2 ⋅ I rms i_s = \sqrt{2} \cdot I_{\text{rms}} is=2 ⋅Irms	i s = 3 ⋅ I rms i_s = \sqrt{3} \cdot I_{\text{rms}} is=3 ⋅Irms
功率计算	需乘系数 3 2 \dfrac{3}{2} 23	形式一致，无需额外系数
物理直观性	强，与相电流峰值直接对应	弱，数值无直接物理对应
主流应用场景	量产电驱、工业伺服、嵌入式代码	理论分析、部分仿真工具

二、两种定子电流幅值限制方法

针对「转速环PI输出iq给定 → MTPA计算id给定」的典型控制架构，工程上有两类主流限幅实现方案。

1. 后置式矢量圆等比例限幅

核心思路 ：先由前级算法生成原始的 i d i_d id、 i q i_q iq给定值，再对两者整体按电流极限圆做等比例缩放，限幅后仍保持原有的电流分配比例。

实现步骤

转速环PI输出原始q轴给定 i q _ r e f _ r a w i_{q\_ref\raw} iq_ref_raw，经MTPA公式计算出原始d轴给定 i d _ r e f _ r a w i{d\_ref\_raw} id_ref_raw
计算当前给定的总电流矢量幅值：
I s _ r e f = i d _ r e f _ r a w 2 + i q _ r e f _ r a w 2 I_{s\ref} = \sqrt{i{d\_ref\raw}^2 + i{q\_ref\_raw}^2} Is_ref=id_ref_raw2+iq_ref_raw2
与电流极限 I max I_{\text{max}} Imax 比较，超限则同步缩放d、q轴给定：
k = min ⁡ ( 1 , I max I s _ r e f ) k = \min\left(1,\ \frac{I_{\text{max}}}{I_{s\ref}}\right) k=min(1, Is_refImax)
i d ∗ = k ⋅ i d _ r e f _ r a w , i q ∗ = k ⋅ i q _ r e f _ r a w i_d^* = k \cdot i{d\_ref\raw}, \quad i_q^* = k \cdot i{q\_ref\_raw} id∗=k⋅id_ref_raw,iq∗=k⋅iq_ref_raw

方案特点

通用性强，适配MTPA、弱磁、MTPV等全速度域所有控制模式
限幅后电流比例不变，电流转矩利用率最高，硬件能力无浪费
作为末端兜底环节，鲁棒性与安全性高

2. 前置式单轴限幅（iq限幅+id跟随）

核心思路 ：利用MTPA下 i d i_d id与 i q i_q iq一一对应的特性，先计算出「总电流刚好达到极限时对应的iq最大值」，直接在转速环PI输出端限制iq的上下限，id由MTPA公式自然生成、同步受限。

实现逻辑

将MTPA的 i d i_d id计算公式代入电流极限约束 i d 2 + i q 2 = I max 2 i_d^2 + i_q^2 = I_{\text{max}}^2 id2+iq2=Imax2，求解得到MTPA轨迹下总电流达极限时的q轴上限 i q _ max i_{q\_\text{max}} iq_max，直接将转速环PI的输出限幅范围设置为 $- i q _ max , i q _ max$ $-i_{q\\_\\text{max}},\\ i_{q\\_\\text{max}}$ $-iq_max, iq_max$ 。

方案特点

逻辑简单，PI抗积分饱和处理直观
仅适用于基速以下纯MTPA工况，进入弱磁区后id不再遵循MTPA关系，限幅失效
适配场景窄，电流利用率低于矢量圆限幅方案

三、电驱动系统主流方案与工程设计

1. 行业主流选型

量产级高性能电驱动系统（新能源汽车主驱、工业伺服主轴等）均采用后置式矢量圆等比例限幅作为总电流幅值的核心约束方案，前置单轴限幅仅作为辅助保护或低成本简化方案使用。

核心原因在于：

电驱系统需覆盖基速、弱磁、深度弱磁全工况，后置限幅是唯一可全速度域通用的方案
量产系统对转矩出力、电流利用率要求高，等比例缩放可保证相同电流下输出最大转矩
符合功能安全设计要求，末端统一硬约束可兜底前级算法异常、参数漂移等风险

2. 配套工程设计细节

后置矢量限幅需与前后级算法配合，才能在量产系统中稳定运行：

PI抗积分饱和：限幅生效时需将限幅状态反馈给转速环PI，冻结积分项或采用反计算抗饱和，避免积分饱和导致的转速超调、电流冲击。
单轴辅助限幅：在总矢量限幅基础上，叠加d轴单独极限作为二次保护，例如d轴负向限幅防止永磁体不可逆退磁、d轴正向限幅抑制额外铁耗。
稳态/峰值分级限幅：设置额定电流、峰值电流两级阈值，可根据运行时间、温度动态切换，兼顾持续发热约束与短时过载能力。
弱磁区配合逻辑 ：弱磁区 i d i_d id由电压环动态调节，矢量限幅作为兜底保护；总电流未达极限时限幅不动作，触及极限时同步缩放d、q轴，弱磁环同步调节维持电压平衡。

四、总结

电流极限圆是PMSM控制的恒定硬约束，其方程形式为 i d 2 + i q 2 ≤ I max 2 i_d^2 + i_q^2 \leq I_{\text{max}}^2 id2+iq2≤Imax2，电流极限半径需根据坐标变换的归一化规则，从逆变器相电流参数换算得到。

原始磁动势等效变换天然存在 3 2 \dfrac{3}{2} 23的幅值放大效应；工程主流采用的等幅值变换通过乘以 2 3 \dfrac{2}{3} 32的归一化系数抵消该增益，保证变换后电流矢量幅值与三相相电流峰值直接相等。

在两种限幅方案中，后置式矢量圆等比例限幅因全工况适配、电流利用率高、安全鲁棒性强，成为电驱动行业的标准实施方案；前置单轴限幅仅适用于小功率、无弱磁需求的简单调速系统。

MTPA（最大转矩电流比）曲线完整推导

一、基本定义与适用场景

MTPA（Maximum Torque Per Ampere，最大转矩电流比）控制：在给定定子电流幅值的约束下，通过最优分配 d、q 轴电流分量，使电机输出电磁转矩最大。

适用工况：基速以下、电流未达极限时的稳态运行，是永磁同步电机低速区的核心控制策略
核心优势：相同转矩下定子电流最小，铜耗最低，电机运行效率最高
推导前提：基于转子同步 d-q 坐标系，采用等幅值 Clark/Park 变换，与前文坐标变换、电流极限圆体系完全一致

二、电磁转矩公式推导

1. d-q 轴磁链方程

{ ψ d = L d i d + ψ f ψ q = L q i q \begin{cases} \psi_d = L_d i_d + \psi_f \\ \psi_q = L_q i_q \end{cases} {ψd=Ldid+ψfψq=Lqiq

其中 ψ f \psi_f ψf 为永磁体励磁磁链， L d L_d Ld、 L q L_q Lq 为 d、q 轴同步电感。

2. 电磁转矩通用公式

等幅值变换体系下，三相永磁同步电机的电磁转矩表达式为：

T e = 3 2 p ( ψ d i q − ψ q i d ) T_e = \frac{3}{2} p \left( \psi_d i_q - \psi_q i_d \right) Te=23p(ψdiq−ψqid)

式中 p p p 为电机极对数， 3 / 2 3/2 3/2 为等幅值变换下的功率折算系数。

将磁链方程代入转矩公式，展开后得到：

T e = 3 2 p $( L d i d + ψ f ) i q - L q i q i d$ = 3 2 p $ψ f i q + ( L d - L q ) i d i q$ \begin{align*} T_e &= \frac{3}{2} p \left $(L_d i_d + \\psi_f) i_q - L_q i_q i_d \\right$ \\ &= \frac{3}{2} p \left $\\psi_f i_q + (L_d - L_q) i_d i_q \\right$ \end{align*} Te=23p $(Ldid+ψf)iq-Lqiqid$ =23p $ψfiq+(Ld-Lq)idiq$

转矩由两部分组成：

永磁转矩： 3 2 p ψ f i q \displaystyle \frac{3}{2} p \psi_f i_q 23pψfiq，由永磁体磁场与定子电流作用产生
磁阻转矩： 3 2 p ( L d − L q ) i d i q \displaystyle \frac{3}{2} p (L_d - L_q) i_d i_q 23p(Ld−Lq)idiq，由电机凸极效应（ L d ≠ L q L_d \neq L_q Ld=Lq）产生

对于内置式永磁同步电机（IPMSM）， L d < L q L_d < L_q Ld<Lq，因此 L d − L q < 0 L_d - L_q < 0 Ld−Lq<0；为了使磁阻转矩为正、提升总转矩，需要注入负向 d 轴电流 （ i d < 0 i_d < 0 id<0），这是 MTPA 控制的核心物理依据。

三、MTPA 极值问题建模

MTPA 的本质是条件极值问题：在定子电流幅值固定的约束下，求电磁转矩的最大值。

目标函数：最大化电磁转矩 T e ( i d , i q ) T_e(i_d, i_q) Te(id,iq)
约束条件：定子电流幅值恒定 i d 2 + i q 2 = I s 2 i_d^2 + i_q^2 = I_s^2 id2+iq2=Is2，其中 I s I_s Is 为给定的定子电流矢量幅值

四、拉格朗日乘数法推导

采用拉格朗日乘数法求解条件极值，构造拉格朗日函数：

L = T e + λ ( I s 2 − i d 2 − i q 2 ) \mathcal{L} = T_e + \lambda \left( I_s^2 - i_d^2 - i_q^2 \right) L=Te+λ(Is2−id2−iq2)

其中 λ \lambda λ 为拉格朗日常数。

分别对 i d i_d id、 i q i_q iq、 λ \lambda λ 求偏导，并令偏导数为 0，得到极值条件：

{ ∂ L ∂ i d = 3 2 p ( L d − L q ) i q − 2 λ i d = 0 ( 1 ) ∂ L ∂ i q = 3 2 p $ψ f + ( L d - L q ) i d$ − 2 λ i q = 0 ( 2 ) ∂ L ∂ λ = I s 2 − i d 2 − i q 2 = 0 ( 3 ) \begin{cases} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial i_d} = \dfrac{3}{2} p (L_d - L_q) i_q - 2\lambda i_d = 0 \quad (1) \\ $10pt$ \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial i_q} = \dfrac{3}{2} p \left $\\psi_f + (L_d - L_q) i_d \\right$ - 2\lambda i_q = 0 \quad (2) \\ $10pt$ \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = I_s^2 - i_d^2 - i_q^2 = 0 \quad (3) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧∂id∂L=23p(Ld−Lq)iq−2λid=0(1)∂iq∂L=23p $ψf+(Ld-Lq)id$ −2λiq=0(2)∂λ∂L=Is2−id2−iq2=0(3)

联立方程消去 λ \lambda λ

从式 (1) 解出 2 λ 2\lambda 2λ：

2 λ = 3 2 p ( L d − L q ) i q i d 2\lambda = \frac{\dfrac{3}{2} p (L_d - L_q) i_q}{i_d} 2λ=id23p(Ld−Lq)iq

从式 (2) 解出 2 λ 2\lambda 2λ：

2 λ = 3 2 p $ψ f + ( L d - L q ) i d$ i q 2\lambda = \frac{\dfrac{3}{2} p \left $\\psi_f + (L_d - L_q) i_d \\right$ }{i_q} 2λ=iq23p $ψf+(Ld-Lq)id$

两式右侧相等，约去公共系数 3 2 p \dfrac{3}{2}p 23p，得到：

( L d − L q ) i q i d = ψ f + ( L d − L q ) i d i q \frac{(L_d - L_q) i_q}{i_d} = \frac{\psi_f + (L_d - L_q) i_d}{i_q} id(Ld−Lq)iq=iqψf+(Ld−Lq)id

交叉相乘消去分母：

( L d − L q ) i q 2 = ψ f i d + ( L d − L q ) i d 2 (L_d - L_q) i_q^2 = \psi_f i_d + (L_d - L_q) i_d^2 (Ld−Lq)iq2=ψfid+(Ld−Lq)id2

整理得到 MTPA 曲线的隐式方程，描述最优工况下 i d i_d id 与 i q i_q iq 必须满足的关系：

( L d − L q ) ( i q 2 − i d 2 ) = ψ f i d \boldsymbol{(L_d - L_q) \left( i_q^2 - i_d^2 \right) = \psi_f i_d} (Ld−Lq)(iq2−id2)=ψfid

五、显式计算公式（工程常用形式）

工程应用中，通常由转速环输出 i q i_q iq 给定，再通过 MTPA 公式计算对应的最优 i d i_d id。将上式整理为以 i q i_q iq 为自变量、 i d i_d id 为因变量的一元二次方程：

( L d − L q ) i d 2 + ψ f i d − ( L d − L q ) i q 2 = 0 (L_d - L_q) i_d^2 + \psi_f i_d - (L_d - L_q) i_q^2 = 0 (Ld−Lq)id2+ψfid−(Ld−Lq)iq2=0

标准二次方程形式为 a i d 2 + b i d + c = 0 a i_d^2 + b i_d + c = 0 aid2+bid+c=0，其中：

a = L d − L q a = L_d - L_q a=Ld−Lq
b = ψ f b = \psi_f b=ψf
c = − ( L d − L q ) i q 2 c = -(L_d - L_q) i_q^2 c=−(Ld−Lq)iq2

根据一元二次方程求根公式：

i d = − b ± b 2 − 4 a c 2 a i_d = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} id=2a−b±b2−4ac

代入系数并化简判别式：

Δ = ψ f 2 + 4 ( L d − L q ) 2 i q 2 \Delta = \psi_f^2 + 4(L_d - L_q)^2 i_q^2 Δ=ψf2+4(Ld−Lq)2iq2

i d = − ψ f ± ψ f 2 + 4 ( L d − L q ) 2 i q 2 2 ( L d − L q ) i_d = \frac{-\psi_f \pm \sqrt{\psi_f^2 + 4(L_d - L_q)^2 i_q^2}}{2(L_d - L_q)} id=2(Ld−Lq)−ψf±ψf2+4(Ld−Lq)2iq2

根的取舍

IPMSM 满足 L d − L q < 0 L_d - L_q < 0 Ld−Lq<0，且电动机工况下最优解为 i d < 0 i_d < 0 id<0：

取「+」号：分子为 − ψ f + ψ f 2 + ... -\psi_f + \sqrt{\psi_f^2 + \dots} −ψf+ψf2+... ，结果为正；分母为负，最终 i d i_d id 为负，符合物理意义
取「-」号：分子为负，分母为负，最终 i d i_d id 为正，会导致磁阻转矩为负、总转矩减小，舍去

为了工程上更直观（分母为正），将分子分母同乘以 − 1 -1 −1，得到工程通用的 MTPA 计算公式：

i d = ψ f − ψ f 2 + 4 ( L q − L d ) 2 i q 2 2 ( L q − L d ) \boldsymbol{i_d = \frac{\psi_f - \sqrt{\psi_f^2 + 4(L_q - L_d)^2 i_q^2}}{2(L_q - L_d)}} id=2(Lq−Ld)ψf−ψf2+4(Lq−Ld)2iq2

六、表贴式 PMSM 的特殊情况

对于表贴式永磁同步电机（SPMSM），气隙均匀，无凸极效应，满足 L d = L q = L s L_d = L_q = L_s Ld=Lq=Ls。

代入转矩公式，磁阻转矩项为 0，转矩仅由永磁分量决定：

T e = 3 2 p ψ f i q T_e = \frac{3}{2} p \psi_f i_q Te=23pψfiq

此时转矩大小仅与 i q i_q iq 成正比，在给定电流幅值 I s I_s Is 下，要最大化转矩需让 i q i_q iq 取最大值、 i d = 0 i_d=0 id=0。因此SPMSM 的 MTPA 控制等价于 i d = 0 i_d=0 id=0 控制，MTPA 曲线与 q 轴重合。

七、MTPA 曲线的几何特性

轨迹形态 ：在 i d i_d id- i q i_q iq 平面上，MTPA 曲线是一条从坐标原点出发、向 i d i_d id 负方向弯曲的曲线，是所有电流极限圆与等转矩曲线切点的连线。
电流相关性 ：
- 小电流工况： i q i_q iq 很小，根号项近似为 ψ f + 2 ( L q − L d ) 2 ψ f i q 2 \psi_f + \dfrac{2(L_q-L_d)^2}{\psi_f}i_q^2 ψf+ψf2(Lq−Ld)2iq2，此时 i d ≈ − L q − L d ψ f i q 2 i_d \approx -\dfrac{L_q-L_d}{\psi_f}i_q^2 id≈−ψfLq−Ldiq2， i d i_d id 与 i q 2 i_q^2 iq2 成正比，曲线近似抛物线
- 大电流工况：磁阻转矩占比逐渐升高， i d i_d id 绝对值快速增大，曲线向 d 轴负方向偏转
约束交点 ：当电流幅值增大到 I max I_{\text{max}} Imax 时，MTPA 曲线与电流极限圆的交点，就是基速下电机能输出的最大转矩工作点。

恒转矩曲线完整推导

一、定义与物理意义

恒转矩曲线是 i d i_d id- i q i_q iq平面上的一簇曲线：当电磁转矩为固定值时，所有满足转矩输出要求的 ( i d , i q ) (i_d,i_q) (id,iq)工作点连接形成的轨迹 。

它是永磁同步电机控制中的核心分析工具，用于刻画不同电流分配下的转矩输出能力，也是推导MTPA（最大转矩电流比）、MTPV（最大转矩电压比）控制策略的基础。

本文推导与前文保持完全一致的体系：基于转子同步 d d d- q q q坐标系、采用等幅值Clark/Park变换，符号定义与转矩公式统一。

二、数学推导与标准方程

1. 电磁转矩基础公式

等幅值变换体系下，永磁同步电机的电磁转矩通用表达式为：

T e = 3 2 p ( ψ d i q − ψ q i d ) T_e = \frac{3}{2} p \left( \psi_d i_q - \psi_q i_d \right) Te=23p(ψdiq−ψqid)

代入 d d d- q q q轴磁链方程 ψ d = L d i d + ψ f \psi_d = L_d i_d + \psi_f ψd=Ldid+ψf、 ψ q = L q i q \psi_q = L_q i_q ψq=Lqiq，展开后得到转矩的电流显式表达式：

T e = 3 2 p $ψ f i q + ( L d - L q ) i d i q$ T_e = \frac{3}{2} p \left $\\psi_f i_q + (L_d - L_q) i_d i_q \\right$ Te=23p $ψfiq+(Ld-Lq)idiq$

其中：

p p p：电机极对数
ψ f \psi_f ψf：永磁体励磁磁链
L d L_d Ld、 L q L_q Lq： d d d、 q q q轴同步电感
i d i_d id、 i q i_q iq： d d d、 q q q轴定子电流分量

2. 恒转矩隐式方程推导

设目标恒定转矩为 T 0 T_0 T0，令 T e = T 0 T_e = T_0 Te=T0，代入转矩公式得到约束方程：

3 2 p $ψ f i q + ( L d - L q ) i d i q$ = T 0 \frac{3}{2} p \left $\\psi_f i_q + (L_d - L_q) i_d i_q \\right$ = T_0 23p $ψfiq+(Ld-Lq)idiq$ =T0

将左侧公因子 i q i_q iq提取，整理为乘积形式：

3 2 p ⋅ i q ⋅ $ψ f + ( L d - L q ) i d$ = T 0 \frac{3}{2} p \cdot i_q \cdot \left $\\psi_f + (L_d - L_q) i_d \\right$ = T_0 23p⋅iq⋅ $ψf+(Ld-Lq)id$ =T0

将常数项移至右侧，得到恒转矩曲线的隐式核心方程：

i q ⋅ $( L d - L q ) i d + ψ f$ = 2 T 0 3 p \boldsymbol{i_q \cdot \left $(L_d - L_q) i_d + \\psi_f \\right$ = \frac{2 T_0}{3 p}} iq⋅ $(Ld-Lq)id+ψf$ =3p2T0

方程右侧为仅与转矩目标、电机固有参数相关的常数；左侧为 i d i_d id与 i q i_q iq的乘积项，因此恒转矩曲线本质是经坐标平移的反比例双曲线。

3. 标准二次曲线形式

将方程展开整理为标准二次型：

( L d − L q ) i d i q + ψ f i q − 2 T 0 3 p = 0 (L_d - L_q) i_d i_q + \psi_f i_q - \frac{2 T_0}{3 p} = 0 (Ld−Lq)idiq+ψfiq−3p2T0=0

该方程无 i d 2 i_d^2 id2、 i q 2 i_q^2 iq2项，属于二次曲线中的双曲线类型，存在两条渐近线：

水平渐近线： i q = 0 i_q = 0 iq=0（转矩为0，对应空载工况）
垂直渐近线： i d = − ψ f L d − L q = ψ f L q − L d \displaystyle i_d = -\frac{\psi_f}{L_d - L_q} = \frac{\psi_f}{L_q - L_d} id=−Ld−Lqψf=Lq−Ldψf

三、两类电机的恒转矩曲线形态

1. 内置式永磁同步电机（IPMSM）

IPMSM存在凸极效应，满足 L d < L q L_d < L_q Ld<Lq，即 L d − L q < 0 L_d - L_q < 0 Ld−Lq<0，此时恒转矩曲线为分布在多个象限的双曲线簇。

工程中电动机正转工况下 i q > 0 i_q > 0 iq>0，有效工作段位于 i d i_d id- i q i_q iq平面的第二象限（ i d < 0 , i q > 0 i_d < 0,\ i_q > 0 id<0, iq>0），具有以下特点：

随着 i d i_d id负向幅值增大，磁阻转矩的正向贡献逐渐提升，维持相同转矩所需的 i q i_q iq逐渐减小，曲线沿 i d i_d id负方向呈下降趋势。

2. 表贴式永磁同步电机（SPMSM）

SPMSM气隙均匀，无凸极效应，满足 L d = L q = L s L_d = L_q = L_s Ld=Lq=Ls，代入恒转矩方程后，含 i d i_d id的乘积项消失：

ψ f i q = 2 T 0 3 p \psi_f i_q = \frac{2 T_0}{3 p} ψfiq=3p2T0

整理得：

i q = 2 T 0 3 p ψ f i_q = \frac{2 T_0}{3 p \psi_f} iq=3pψf2T0

因此SPMSM的恒转矩曲线是平行于 d d d轴的水平直线 ，转矩大小仅由 i q i_q iq决定，与 i d i_d id无关。这也对应了SPMSM中 i d = 0 i_d=0 id=0即为最优控制的结论。

四、几何特性与工程意义

1. 曲线分布规律

同一转矩值对应两条对称的曲线，分别对应电动机工况（ i q > 0 i_q>0 iq>0）和发电工况（ i q < 0 i_q<0 iq<0）
转矩幅值越大，曲线越远离坐标原点，对应的电流、电压需求越高
所有恒转矩曲线均以固定渐近线为边界，不会越过渐近线

2. 与电流极限圆、MTPA的关联

MTPA曲线的本质：所有电流极限圆与对应恒转矩曲线的切点的连线。在固定电流幅值下，切点处恒转矩值最大，即实现了"相同电流下转矩最大"的最优目标。
基速最大转矩点：电流极限圆与最大转矩恒转矩曲线的切点，即为MTPA轨迹与电流极限圆的交点，对应基速下电机的峰值转矩。

3. 弱磁区的应用价值

进入弱磁区后，电压极限圆成为主导约束，弱磁1区域沿着电流极限圆走。当转速非常高，电压极限圆与电流极限圆没有交点后，恒转矩曲线与电压极限圆的交点，对应MTPV（最大转矩电压比）工作点。