AFDM波形基于DFT的通感一体化

本文虽然说的是基于AFDM波形的ISAC,但是和OFDM相比只是等效的信道矩阵不同ISAC的基本原理是一样的，我们也是主要关注ISAC的相关问题。

对于输入的仿射频域信息符号x= $x\[0$ ,x $1$ ,⋯ ,x $N-1$ ]T∈CN×1\mathbf{x}= $x\[0$ ,x $1$ ,\cdots,x $N-1$ ]^T\in\mathbb{C}^{N\times 1}x= $x\[0$ ,x $1$ ,⋯,x $N-1$ ]T∈CN×1进行AFDM调制，将其映射到时域NNN个啁啾(zhōu jiū)子载波上，时域信号s∈CN×1\mathbb{s}\in\mathbb{C}^{N\times 1}s∈CN×1的表达式为：

s $n$ =1N∑m=0N−1x $m$ ej2π(c1n2+nmN+c2m2),n=0,⋯ ,N−1 s $n$ =\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{m=0}^{N-1}x $m$ e^{j2\pi\left(c_1n^2+\frac{nm}{N}+c_2m^2\right)},n=0,\cdots,N-1 s $n$ =N 1m=0∑N−1x $m$ ej2π(c1n2+Nnm+c2m2),n=0,⋯,N−1

其中s $n$ s $n$ s $n$ 表示调制后的第nnn个时域样点，c1,c2c_1,c_2c1,c2为调制参数，α=ΔfT∈(0,1)\alpha=\Delta fT\in(0,1)α=ΔfT∈(0,1)表示带宽压缩因子，Δf\Delta fΔf表示子载波间隔，TTT表示符号持续时间。时域信号的矩阵形式可以表示为：

s=AxA=Λc2FΛc1∈CN×N \mathbb{s}=\mathbf{Ax}\\ \mathbf{A}=\Lambda_{c_2}\mathbf{F}\Lambda_{c_1}\in\mathbb{C}^{N\times N} s=AxA=Λc2FΛc1∈CN×N

其中F∈CN×N\mathbf{F}\in\mathbb{C}^{N\times N}F∈CN×N的第mmm行nnn列元素为1/Ne−j2πmnN,Λc=diag( $1,\dots ,e-j2πcn2,\dots ,e-j2πc(N-1)2$ )1/\sqrt{N}e^{-j2\pi\frac{mn}{N}},\Lambda_c=\mathbf{diag}( $1,\\cdots,e\^{-j2\\pi cn\^2},\\cdots,e\^{-j2\\pi c(N-1)\^2}$ )1/N e−j2πNmn,Λc=diag( $1,\dots,e-j2πcn2,\dots,e-j2πc(N-1)2$ ),

时域信号通道发射机发射经过进到后定义其时域接收信号为r∈CN×1r\in\mathbb{C}^{N\times 1}r∈CN×1

r=HTsα+wT \mathbf{r=H_{T}s_{\alpha}+w_{T}} r=HTsα+wT

HT=∑iPhiΔfiΠli\mathbf{H_T=\sum_{i}^{P}h_i\Delta_{f_i}\Pi^{l_i}}HT=i∑PhiΔfiΠli

其中PPP表示多径数目，hih_ihi表示第iii条路径的复衰落系数，Π\PiΠ循环移位矩阵，Δfi=diag( $1,\dots ,e-j2πfin,\dots ,e-j2πfi(N-1)$ )\mathbf{\Delta_{f_i}=diag( $1,\\cdots,e\^{-j2\\pi f_i n},\\cdots,e\^{-j2\\pi f_{i}(N-1)}$ )}Δfi=diag( $1,\dots,e-j2πfin,\dots,e-j2πfi(N-1)$ ),这个表示形式只要是研究波形和信道论的文章都会提到详细可以参考《Delay-Doppler Communication》。

感知过程主要聚焦在时域信号。假设经过感知目标反射后的接收机的回波信号为

rm(n)=βsm(n−τNT)ej2πfdmT \mathbf{r_{m}(n)=\beta s_{m}(n-\tau\frac{N}{T})e^{j2\pi f_dmT}} rm(n)=βsm(n−τTN)ej2πfdmT

β\betaβ表示信号传播引入的幅度幅度衰减系数，τ=2Rc，fd=2vfcc\tau=\frac{2R}{c}，f_d=\frac{2vf_c}{c}τ=c2R，fd=c2vfc分别表示感知接收机回波的时延和多普勒。RRR表示距离,ccc表示光速，vvv表示移动速度。将回波信号变化到频域：

r‾m(k)=DFT(rm(n))=βs‾m(k)e−j2πkΔf2Rcej2πmT2vfcc,k=0,⋯ ,N−1 \mathbf{{\overline{r}{m}(k)=DFT(r{m}(n))=\beta\overline{s}_{m}(k)e^{-j2\pi k\Delta f\frac{2R}{c}}}e^{j2\pi mT\frac{2vf_c}{c}}},k=0,\cdots,N-1 rm(k)=DFT(rm(n))=βsm(k)e−j2πkΔfc2Rej2πmTc2vfc,k=0,⋯,N−1

将MMM个符号和NNN个啁啾子载波构成的发射信号和回波信号分别为：

S‾=(s‾1,⋯ ,s‾m,⋯ ,s‾M)∈CN×M\mathbf{\overline{S}}=(\overline{s}1,\cdots,\overline{s}{m},\cdots,\overline{s}{M})\in\mathbb{C}^{N\times M}S=(s1,⋯,sm,⋯,sM)∈CN×M,R‾=(r‾1,⋯ ,r‾m,⋯ ,r‾M)∈CN×M\mathbf{\overline{R}}=(\overline{r}1,\cdots,\overline{r}{m},\cdots,\overline{r}{M})\in\mathbb{C}^{N\times M}R=(r1,⋯,rm,⋯,rM)∈CN×M。消除发送符号的影响：

B=R‾S‾=βbRbVT= $br(0)bv(0)br(0)bv(1)\dotsbr(0)bv(M-1)br(1)bv(0)br(1)bv(1)\dotsbr(1)bv(M-1)⋮⋮⋮⋮br(N-1)bv(0)br(N-1)bv(1)br(N-1)bv(M-1)$ \begin{align*} \mathbf{B}&=\frac{\overline{\mathbf{R}}}{\overline{\mathbf{S}}}=\beta\mathbf{b}{R}\mathbf{b}{V}^T\\ &= \begin{bmatrix} b_{r}(0)b_{v}(0)&b_{r}(0)b_{v}(1)&\cdots&b_{r}(0)b_{v}(M-1)\\ b_{r}(1)b_{v}(0)&b_{r}(1)b_{v}(1)&\cdots&b_{r}(1)b_{v}(M-1)\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ b_{r}(N-1)b_{v}(0)&b_{r}(N-1)b_{v}(1)&&b_{r}(N-1)b_{v}(M-1)\\ \end{bmatrix} \end{align*} B=SR=βbRbVT= br(0)bv(0)br(1)bv(0)⋮br(N−1)bv(0)br(0)bv(1)br(1)bv(1)⋮br(N−1)bv(1)⋯⋯⋮br(0)bv(M−1)br(1)bv(M−1)⋮br(N−1)bv(M−1)

B\mathbf{B}B矩阵中bR= $1,\dots ,e-j2πkΔf2Rc,\dots ,e-j2π(N-1)Δf2Rc$ T∈CN×1\mathbf{b}_{R}= $1,\\cdots,e\^{-j2\\pi k\\Delta f\\frac{2R}{c}},\\cdots,e\^{-j2\\pi (N-1)\\Delta f\\frac{2R}{c}}$ ^T\in \mathbb{C}^{N\times 1}bR= $1,\dots,e-j2πkΔfc2R,\dots,e-j2π(N-1)Δfc2R$ T∈CN×1为距离因子向量。

bv= $1,\dots ,ej2πmT2vfcc,\dots ,ej2π(M-1)2vfcc$ ∈CM×1\mathbf{b}_{v}= $1,\\cdots,e\^{j2\\pi mT\\frac{2vf_c}{c}},\\cdots,e\^{j2\\pi(M-1)\\frac{2vf_c}{c}}$ \in\mathbb{C}^{M\times 1}bv= $1,\dots,ej2πmTc2vfc,\dots,ej2π(M-1)c2vfc$ ∈CM×1 表示距离向量因子。

对距离多普勒矩阵B\mathbf{B}B的列进行离散逆傅里叶变化即对bR\mathbf{b}_RbR进行IDFT：

R(n)=IDFT $br(k)$ =1N∑k=0N−1br(k)ej2πNnk=1N∑k=0N−1e−j2πkΔf2Rcej2πNnk,n=0,⋯ ,N−1 \begin{align*} \mathbf{R}(n)&=\mathsf{IDFT} $b_{r}(k)$ =\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}b_{r}(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}\\ &=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{-j2\pi k\Delta f\frac{2R}{c}}e^{j\frac{2\pi}{N}nk},n=0,\cdots,N-1 \end{align*} R(n)=IDFT $br(k)$ =N1k=0∑N−1br(k)ejN2πnk=N1k=0∑N−1e−j2πkΔfc2RejN2πnk,n=0,⋯,N−1

R(n)\mathbf{R}(n)R(n)峰值点对应的采样点n=⌊2RcNΔf⌋n=\lfloor \frac{2R}{c}N\Delta f\rfloorn=⌊c2RNΔf⌋包含了目标距离信息

对距离多普勒矩阵B\mathbf{B}B的行进行DFT即对向量bv\mathbf{b}_vbv进行DFT

v(l)=DFT(bv(m))=∑m=0M−1bv(m)ej2πmT2vfcce−j2πMml,l=0,⋯ ,M−1 v(l)=\mathsf{DFT(b_v(m))}=\sum_{m=0}^{M-1}b_{v}(m)e^{j2\pi mT\frac{2vf_c}{c}}e^{-j\frac{2\pi}{M}ml},l=0,\cdots,M-1 v(l)=DFT(bv(m))=m=0∑M−1bv(m)ej2πmTc2vfce−jM2πml,l=0,⋯,M−1

vlv_{l}vl的峰值对应的样点l=⌊2vfccTM⌋l=\lfloor \frac{2vf_c}{c}TM\rfloorl=⌊c2vfcTM⌋包含了速度信息。

总结下该感知算法实际上是对得到的频域数据按照频域方向进行IDFT，符号方向进行DFT从而获得距离多普勒信息。OFDM波形实际上也可以采用该形式进行计算，不过该算法有个问题即分辨率的问题，尤其是多普勒域。