一、研究背景与模型概述
1.1 绿色全要素生产率与ML指数的应用价值
在环境效率评估、绿色发展绩效量化研究领域，传统Malmquist生产率指数仅能覆盖期望产出维度，无法将污染物排放、资源损耗、次品损失等非期望产出纳入测算框架，存在明显的应用局限性。Malmquist-Luenberger（简称ML）指数以方向距离函数（DDF）为核心构建，可同步实现「期望产出扩张、非期望产出收缩」的双重优化目标，是当前绿色全要素生产率（GTFP）测算领域的主流研究方法。
1.2 全局参比法的技术优势
经典ML指数多采用相邻参比（Färe法）框架，分别以相邻两期各自的生产前沿为测算基准，该模式存在前沿面漂移引发的跨期基准不一致问题，部分场景下还会出现线性规划无可行解的异常，不利于多期效率的横向对比与稳健性检验。
全局参比型Malmquist-Luenberger指数（GML）通过合并所有观测期样本构建统一的全局生产前沿面，所有决策单元的效率测算均基于同一基准完成，从根源上消解了前沿波动带来的测算偏差，同时规避了无可行解问题，是绿色TFP稳健性分析的首选方案。
本文基于标准化测试数据集，通过理论公式手动推导求解，对指定软件的全局参比ML指数计算结果进行精度校验，为该模型算法的有效性提供实证支撑。
二、全局参比ML指数的理论框架
本文所有测算均基于**规模报酬不变（CRS）**假设展开，与目标软件的默认参数配置保持一致。
2.1 方向距离函数（DDF）的定义
针对包含 m m m项投入 x x x、 s 1 s_1 s1项期望产出 y y y、 s 2 s_2 s2项非期望产出 b b b的生产系统，方向距离函数通过求解无效率系数 β \beta β，刻画决策单元与生产前沿的偏离程度：
D ⃗ ( x , y , b ; g ) = max { β ∣ ( x − β g x , y + β g y , b − β g b ) ∈ T } \vec{D}(x,y,b;g) = \max\{\beta \mid (x-\beta g_x, y+\beta g_y, b-\beta g_b) \in T\} D (x,y,b;g)=max{β∣(x−βgx,y+βgy,b−βgb)∈T}
其中 g = ( g x , g y , g b ) g=(g_x,g_y,g_b) g=(gx,gy,gb)为方向向量， T T T代表生产可能集。当 β ≥ 0 \beta \geq 0 β≥0时，数值越大代表决策单元效率损失越显著； β = 0 \beta=0 β=0则说明该决策单元处于生产前沿面，达到技术有效状态。
根据测算导向的差异，方向向量的设置存在区别：
- 投入导向 ：方向向量设置为 g = ( x , 0 , − b ) g=(x,0,-b) g=(x,0,−b)，即投入与非期望产出同比例缩减，期望产出维持原有水平不变
- 产出导向 ：方向向量设置为 g = ( 0 , y , − b ) g=(0,y,-b) g=(0,y,−b)，即期望产出同比例扩张、非期望产出同比例缩减，投入维持原有水平不变
2.2 全局参比的生产技术集
针对 t t t与 t + 1 t+1 t+1两期观测数据，全局生产技术集定义为两期独立技术集的并集：
T G = T t ∪ T t + 1 T^G = T^t \cup T^{t+1} TG=Tt∪Tt+1
对应的全局参考集由两期全部投入、期望产出与非期望产出样本合并构成，所有距离函数的求解均以该统一前沿面为基准。
2.3 ML指数的分解公式（CRS假设）
全局ML指数可拆解为**效率变化（EC）与 技术进步（TC）**两个分项，满足 M L = E C × T C ML = EC \times TC ML=EC×TC 的分解关系。
- 效率变化（EC）：反映决策单元自身管理水平、资源配置能力的变动，衡量其与前沿面相对距离的变化
- 技术进步（TC）：反映生产前沿面的整体位移，代表行业整体技术水平的提升或回落
2.3.1 投入导向场景
投入导向下，技术效率定义为 T E = 1 − β TE = 1-\beta TE=1−β，对应的指数分解公式如下：
E C = 1 − D ⃗ t + 1 ( x t + 1 , y t + 1 , b t + 1 ) 1 − D ⃗ t ( x t , y t , b t ) M L = 1 − D ⃗ G ( x t + 1 , y t + 1 , b t + 1 ) 1 − D ⃗ G ( x t , y t , b t ) T C = M L E C \begin{align*} EC &= \frac{1-\vec{D}^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})}{1-\vec{D}^{t}(x^{t},y^{t},b^{t})} \\ ML &= \frac{1-\vec{D}^{G}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})}{1-\vec{D}^{G}(x^{t},y^{t},b^{t})} \\ TC &= \frac{ML}{EC} \end{align*} ECMLTC=1−D t(xt,yt,bt)1−D t+1(xt+1,yt+1,bt+1)=1−D G(xt,yt,bt)1−D G(xt+1,yt+1,bt+1)=ECML
其中 D ⃗ G \vec{D}^G D G代表基于全局前沿求解的方向距离函数值。
2.3.2 产出导向场景
产出导向下，技术效率定义为 T E = 1 1 + β TE = \frac{1}{1+\beta} TE=1+β1，对应的指数分解公式如下：
E C = 1 + D ⃗ t ( x t , y t , b t ) 1 + D ⃗ t + 1 ( x t + 1 , y t + 1 , b t + 1 ) M L = 1 + D ⃗ G ( x t , y t , b t ) 1 + D ⃗ G ( x t + 1 , y t + 1 , b t + 1 ) T C = M L E C \begin{align*} EC &= \frac{1+\vec{D}^{t}(x^{t},y^{t},b^{t})}{1+\vec{D}^{t+1}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})} \\ ML &= \frac{1+\vec{D}^{G}(x^{t},y^{t},b^{t})}{1+\vec{D}^{G}(x^{t+1},y^{t+1},b^{t+1})} \\ TC &= \frac{ML}{EC} \end{align*} ECMLTC=1+D t+1(xt+1,yt+1,bt+1)1+D t(xt,yt,bt)=1+D G(xt+1,yt+1,bt+1)1+D G(xt,yt,bt)=ECML
三、测试数据集构建
3.1 数据结构说明
为完成算法精度校验，构建包含3个决策单元（DMU）的两期测试数据集，指标维度设置为：2项投入指标、2项期望产出指标、2项非期望产出指标。
数据排布遵循目标软件的输入规范：主数据表前半段为 t t t期样本，后半段为 t + 1 t+1 t+1期样本；非期望产出独立录入，总行数与主表保持一致，分期规则同步。本次测试合计6行样本（3个DMU × 2个观测期）。
3.2 具体测试数据
表1 t t t期（第1-3行）基础测算数据
| DMU 名称 | 投入 1 | 投入 2 | 期望产出 1 | 期望产出 2 | 非期望产出 1 | 非期望产出 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| DMU1 | 14 | 9 | 8 | 3 | 2 | 4 |
| DMU2 | 19 | 13 | 31 | 4 | 5 | 8 |
| DMU3 | 17 | 12 | 8 | 2 | 2 | 2 |
表2 t + 1 t+1 t+1期（第4-6行）基础测算数据
| DMU 名称 | 投入 1 | 投入 2 | 期望产出 1 | 期望产出 2 | 非期望产出 1 | 非期望产出 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| DMU1 | 16 | 11 | 7 | 5 | 2 | 3 |
| DMU2 | 11 | 6 | 10 | 23 | 2 | 3 |
| DMU3 | 13 | 8 | 38 | 2 | 1 | 1 |
四、手动数值推导校验
基于线性规划方法求解不同场景下的方向距离函数值 β \beta β，代入上述分解公式完成指数计算，所有结果均保留6位小数。
4.1 投入导向全局ML指数计算
首先求解各DMU在两期自身前沿、全局前沿下的 β \beta β值，计算结果如下表：
表3 投入导向下各场景方向距离函数 β \beta β值
| DMU | t t t期自身前沿 β t , t \beta_{t,t} βt,t | t + 1 t+1 t+1期自身前沿 β t + 1 , t + 1 \beta_{t+1,t+1} βt+1,t+1 | t t t期全局前沿 β G , t \beta_{G,t} βG,t | t + 1 t+1 t+1期全局前沿 β G , t + 1 \beta_{G,t+1} βG,t+1 |
|---|---|---|---|---|
| DMU1 | 0.000000 | 0.728923 | 0.742389 | 0.728923 |
| DMU2 | 0.000000 | 0.000000 | 0.399790 | 0.000000 |
| DMU3 | 0.000000 | 0.000000 | 0.798595 | 0.000000 |
将各 β \beta β值代入投入导向ML指数分解公式，计算结果如下：
DMU1
E C = 1 − 0.728923 1 − 0 = 0.271077 EC = \frac{1-0.728923}{1-0} = 0.271077 EC=1−01−0.728923=0.271077
M L = 1 − 0.728923 1 − 0.742389 = 1.052273 ML = \frac{1-0.728923}{1-0.742389} = 1.052273 ML=1−0.7423891−0.728923=1.052273
T C = 1.052273 0.271077 = 3.881818 TC = \frac{1.052273}{0.271077} = 3.881818 TC=0.2710771.052273=3.881818
DMU2
E C = 1 − 0 1 − 0 = 1.000000 EC = \frac{1-0}{1-0} = 1.000000 EC=1−01−0=1.000000
M L = 1 − 0 1 − 0.399790 = 1.666085 ML = \frac{1-0}{1-0.399790} = 1.666085 ML=1−0.3997901−0=1.666085
T C = 1.666085 1.000000 = 1.666085 TC = \frac{1.666085}{1.000000} = 1.666085 TC=1.0000001.666085=1.666085
DMU3
E C = 1 − 0 1 − 0 = 1.000000 EC = \frac{1-0}{1-0} = 1.000000 EC=1−01−0=1.000000
M L = 1 − 0 1 − 0.798595 = 4.965116 ML = \frac{1-0}{1-0.798595} = 4.965116 ML=1−0.7985951−0=4.965116
T C = 4.965116 1.000000 = 4.965116 TC = \frac{4.965116}{1.000000} = 4.965116 TC=1.0000004.965116=4.965116
4.2 产出导向全局ML指数计算
同理，求解产出导向下各场景的方向距离函数值，结果如下表：
表4 产出导向下各场景方向距离函数 β \beta β值
| DMU | t t t期自身前沿 β t , t \beta_{t,t} βt,t | t + 1 t+1 t+1期自身前沿 β t + 1 , t + 1 \beta_{t+1,t+1} βt+1,t+1 | t t t期全局前沿 β G , t \beta_{G,t} βG,t | t + 1 t+1 t+1期全局前沿 β G , t + 1 \beta_{G,t+1} βG,t+1 |
|---|---|---|---|---|
| DMU1 | 0.000000 | 0.573468 | 0.659864 | 0.573468 |
| DMU2 | 0.000000 | 0.000000 | 0.666085 | 0.000000 |
| DMU3 | 0.000000 | 0.000000 | 0.664717 | 0.000000 |
代入产出导向分解公式，计算结果如下：
DMU1
E C = 1 + 0 1 + 0.573468 = 0.635539 EC = \frac{1+0}{1+0.573468} = 0.635539 EC=1+0.5734681+0=0.635539
M L = 1 + 0.659864 1 + 0.573468 = 1.054908 ML = \frac{1+0.659864}{1+0.573468} = 1.054908 ML=1+0.5734681+0.659864=1.054908
T C = 1.054908 0.635539 = 1.659864 TC = \frac{1.054908}{0.635539} = 1.659864 TC=0.6355391.054908=1.659864
DMU2
E C = 1 + 0 1 + 0 = 1.000000 EC = \frac{1+0}{1+0} = 1.000000 EC=1+01+0=1.000000
M L = 1 + 0.666085 1 + 0 = 1.666085 ML = \frac{1+0.666085}{1+0} = 1.666085 ML=1+01+0.666085=1.666085
T C = 1.666085 1.000000 = 1.666085 TC = \frac{1.666085}{1.000000} = 1.666085 TC=1.0000001.666085=1.666085
DMU3
E C = 1 + 0 1 + 0 = 1.000000 EC = \frac{1+0}{1+0} = 1.000000 EC=1+01+0=1.000000
M L = 1 + 0.664717 1 + 0 = 1.664717 ML = \frac{1+0.664717}{1+0} = 1.664717 ML=1+01+0.664717=1.664717
T C = 1.664717 1.000000 = 1.664717 TC = \frac{1.664717}{1.000000} = 1.664717 TC=1.0000001.664717=1.664717
五、软件计算结果对标验证
5.1 软件参数配置
在目标软件中选择Malmquist-Luenberger指数模型，按如下规则配置参数：
- 测算导向：分别完成投入导向、产出导向双场景测试
- 前沿参比模式：选择全局参比（统一前沿）模式
- 非期望产出设置：设置2项非期望产出，按分期规则完成数据录入
参数配置界面如下图所示：
5.2 投入导向结果对比
将软件输出结果与手动推导值进行对标，二者数值精度完全一致，具体对比结果如下：
表5 投入导向下手动推导与软件计算结果对比
| DMU | 手动计算 EC | 软件输出 EC | 手动计算 TC | 软件输出 TC | 手动计算 ML | 软件输出 ML |
|---|---|---|---|---|---|---|
| DMU1 | 0.271077 | 0.271077 | 3.881818 | 3.881818 | 1.052273 | 1.052273 |
| DMU2 | 1.000000 | 1.000000 | 1.666085 | 1.666085 | 1.666085 | 1.666085 |
| DMU3 | 1.000000 | 1.000000 | 4.965116 | 4.965116 | 4.965116 | 4.965116 |
5.3 产出导向结果对比
产出导向场景下，手动推导结果与软件输出值同样完全匹配，对比结果如下：
表6 产出导向下手动推导与软件计算结果对比
| DMU | 手动计算 EC | 软件输出 EC | 手动计算 TC | 软件输出 TC | 手动计算 ML | 软件输出 ML |
|---|---|---|---|---|---|---|
| DMU1 | 0.635539 | 0.635539 | 1.659864 | 1.659864 | 1.054908 | 1.054908 |
| DMU2 | 1.000000 | 1.000000 | 1.666085 | 1.666085 | 1.666085 | 1.666085 |
| DMU3 | 1.000000 | 1.000000 | 1.664717 | 1.664717 | 1.664717 | 1.664717 |
六、验证结论
通过标准测试集的理论推导与软件输出的双向校验，该软件全局参比Malmquist-Luenberger指数的计算结果与经典理论公式推导值完全吻合，无任何数值偏差，可得出以下验证结论：
- 算法逻辑符合学术规范：投入与产出双导向的方向距离函数约束设置、全局前沿面构建逻辑、指数拆解公式均完全匹配经典ML指数理论框架；
- 数值计算精度达标：线性规划求解结果准确，指数分解环节无计算误差，完全满足学术论文实证测算的精度要求；
- 数据映射逻辑准确：两期数据分段录入、非期望产出独立输入的规则与模型测算逻辑一一对应，数据读取与维度映射无偏差。
本次验证确认了该软件全局参比ML模型的计算准确性，后续将进一步针对相邻参比模式、VRS规模报酬假设下的指数分解等拓展功能开展系列验证工作。
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