C++课后习题训练记录Day161

1.练习项目 ：

问题描述

地球上，我们习惯用十进制数字来记录万物，从个位、十位，逐级向上构成了我们熟悉的自然数体系。

然而，在遥远的蓝桥星，数字的排列和解读方式却与我们截然不同。蓝桥星人并不单纯地以数值大小来衡量一个数字，他们更注重数字内部蕴含的 "节奏感"。因此，对他们而言，任何一个有效的数字，其从左到右每一位上的数字奇偶性都必须是交替出现的。

例如，对于 10 这个数字，其十位是奇数 1，个位是偶数 0，呈现奇偶交替，因此 10 是个有效的数字。而对于 13 这个数字，其十位是奇数 1，个位也是奇数 3，不符合奇偶交替的条件，因此 13 不是个有效的数字。

根据这个规则，蓝桥星的数字序列从 10 开始，依次为 10,12,14,16,18,21,23,25,27,29,30,...。

只不过，随着文明的发展，蓝桥星人需要一种方法，来快速找到第 N 个符合这种奇偶交替规则的数字，以满足其日益增长的数字处理需求。现在，请你帮助蓝桥星人，编写程序找出并输出第 N 个符合奇偶交替规则的数字。

输入格式

输入包含一个正整数 N，表示需要查找第 N 个符合规则的数字。

输出格式

输出一个整数，表示第 N 个符合奇偶交替规则的数字。

2.选择课程

在蓝桥云课中选择题库，选择题号21258并开始练习。

3.开始练习

（1）源码 ：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

using ll=long long;

int main()

{

ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);

ll a=9*5,b=2,n;

cin>>n;

while(n>a){

n-=a;

b++;

a*=5;

}

n--;

a/=9;

bool las=(n/a+1)%2;

cout<<n/a+1;

n%=a;

for(int i=1;i<b;i++){

a/=5;

cout<<n/a*2+1-las;

las=!las;

n%=a;

}

return 0;

}

（2）检验结果

对此代码进行检验，检验后无报错，提交此代码，判题结果为正确100分。

（3）练习心得：

一、问题模型化

我们只考虑至少两位数的正整数。对于一个 k 位数，从左到右每一位记为 d1d2...dk​，其中 d1​ 是最高位。

规则：相邻两位的奇偶性不同，即：

• 若 di​ 是奇数，则 di+1​ 必须是偶数；

• 若 di​ 是偶数，则 di+1 必须是奇数。

计数：

• 最高位 d1​ 不能是 0，因此它有 9 种选择：1~9。

• 对于之后的每一位 di​（i≥2），它必须与 di−1​ 奇偶性相反。

  • 假设 di−1​ 是奇数，则 di​ 必须是偶数，可选 0,2,4,6,8，共 5 种。

  • 假设 di−1​ 是偶数，则 di​ 必须是奇数，可选 1,3,5,7,9，也是 5 种。

• 因此，不管前一位的奇偶性如何，下一位始终有 5 种选择。

• 所以一个 k 位数的合法个数为：

  9×5k−1

  （最高位 9 种，后面 k−1 位各 5 种）

例子：

• 2 位数：9×51=45 个

• 3 位数：9×52=225 个

• 4 位数：9×53=1125 个

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二、算法步骤概览

我们要找第 N 个符合条件的数，算法分两步：

1. 确定这个数是几位数

   逐步减去 2 位数、3 位数......的个数，直到剩余的数量不超过当前位数的总数。

2. 逐位求出数字本身

   利用"分组"的思想，将目标数字在当前位置的取值范围内进行索引定位，通过除法确定它属于第几组，再根据奇偶约束转换为实际数字。

代码就精确实现了这个两步策略。

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三、逐行代码深度解析

第一步：初始化变量，读入 N

cpp

long long a = 45, b = 2, n;
cin >> n;

• a = 45 表示当前考虑的位数（即 b 位数）的总个数 。初始 b=2 代表两位数，两位数的总数是 45，所以 a 初始化为 45。

• b 是当前位数。

• n 存放输入，表示我们要找第 n 个（从 1 开始计数）。

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第二步：确定最终答案的位数

cpp

while (n > a) {
    n -= a;
    b++;
    a *= 5;
}

这个循环的含义是：

• 如果 n 比当前位数的总数 a 还要大，说明目标数字不在 b 位数里，应该跳过所有 b 位数。

• 执行 n -= a：从 n 中减去 b 位数的所有数量，这样 n 就变成了更高位数序列中的第几个。

• b++：位数加 1。

• a *= 5：更新新位数的总数。因为从 kk 位变成 k+1k+1 位，总数乘 5（多了一位，多一个 5 选择）。

循环结束后的状态：

• b 就是答案的位数。

• n 表示在 b 位数中的第 n 个（从 1 开始计）。

• a 此时是 b 位数的总个数，即 9 * 5^(b-1)。

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第三步：准备"逐位构造"

cpp

n--;
a /= 9;

• n-- ：将 n 转换为 0‑based 索引 ，取值范围变成 0 到 a-1。

  为什么要这样做？因为接下来我们要用除法分组，0‑based 更方便：

  例如 n / group_size 会直接给出组号（0,1,2,...），这正是我们想要的偏移量。

• a /= 9 ：此时 a = 9 * 5^(b-1)，除以 9 后 a = 5^(b-1)。

  这个 a 的意义变了：现在它代表去掉最高位后，剩下 b-1 位能构成的所有组合数量 。

  最高位有 9 种选择，剩下位有 5^(b-1) 种组合，所以总组合 9 * a。当前偏移 n（0‑based）可以写成：

  n=i×a+rn=i×a+r

  其中 i = n / a（取值范围 0~8）对应最高位的 9 种选择中的第几个，r = n % a 是去掉最高位后剩余部分的偏移量。

---

第四步：求出最高位

cpp

bool las = (n / a + 1) % 2;
cout << n / a + 1;
n %= a;

1. 确定最高位数字

   n / a 是索引 i（0~8），那么最高位数字就是 i + 1（因为最高位从 1 到 9）。

   cout << n / a + 1; 直接输出这个数字。

2. 记录最高位的奇偶性

   (n / a + 1) % 2：

   • 如果数字是偶数，% 2 为 0；

   • 如果是奇数，% 2 为 1。

     把它存到 las 变量中，las 代表"上一位的奇偶性"（1 表示奇数，0 表示偶数），这个信息将用于决定下一位应该填奇数还是偶数。

3. 更新偏移量 n

   n %= a; 此时 n 变成 r，即剩余 b-1 位中的偏移量（0‑based）。后续我们将在剩余位上重复类似的过程。

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第五步：逐位构造剩余的 b-1 位

cpp

for (int i = 1; i < b; i++) {
    a /= 5;
    cout << n / a * 2 + 1 - las;
    las = !las;
    n %= a;
}

这个循环运行 b-1 次，每次输出一位数字。

循环内部详解：

• a /= 5;

  此时 a 代表"当前位之后剩余位数能构成的所有组合数量"。

  进入循环时，a 是 5^(b-1)。第一次循环 a /= 5 后 a = 5^(b-2)，第二次 5^(b-3)，以此类推，直到最后 a=1（剩下 0 位，只有 1 种可能，即没有选择了）。

• n / a

  当前位有 5 种可能的选择（因为必须与上一位奇偶性相反）。n / a 就是当前位在它的 5 种可能取值中的索引 （0~4）。

  n 是当前剩余的偏移量（0‑based），a 是剩余组合数，所以能确定当前位是哪个选项。

• cout << n / a * 2 + 1 - las;

  这是将索引 j = n/a 转换成实际数字的公式。

  解释：

  • 如果上一位 las 是 1（奇数），则本位必须填偶数，可选 {0,2,4,6,8}。

    这些偶数可以表示为 2 * j，其中 j = 0..4 分别对应 0,2,4,6,8。

  • 如果上一位 las 是 0（偶数），则本位必须填奇数，可选 {1,3,5,7,9}。

    这些奇数可以表示为 2 * j + 1，j = 0..4 对应 1,3,5,7,9。

    统一成一条公式：

  数字={2j+1若上一位是偶数 (las=0)2j若上一位是奇数 (las=1)数字={2j+12j若上一位是偶数 (las=0)若上一位是奇数 (las=1)

  合并为 2j + 1 - las：

  • 当 las=0 → 2j+1（奇数）

  • 当 las=1 → 2j（偶数）

    完美对应。

• las = !las;

  翻转奇偶性，因为下一位又需要与前一位相反。!las 将 0 变 1，1 变 0。

• n %= a;

  更新 n 为当前位选定后，剩余低位部分的新偏移量。

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四、完整示例追踪：N = 10

目标：找到序列中第 10 个数。已知序列前 10 个为：

10(1), 12(2), 14(3), 16(4), 18(5), 21(6), 23(7), 25(8), 27(9), 29(10)。

我们跟着代码走：

1. 初始 a=45, b=2, n=10。

2. while (n > a) → 10 > 45 否，跳过。所以答案仍为 2 位数，n=10。

3. n-- → n=9；a /= 9 → a = 5（即 52−1=552−1=5）。

4. 最高位：

   • i = n / a = 9 / 5 = 1

   • 最高位数字 = 1 + 1 = 2，输出 2。

   • las = (2) % 2 = 0（偶数）。

   • n %= a → n = 9 % 5 = 4。

5. 循环 i=1 (因为 b=2，循环只一次)：

   • a /= 5 → a = 1。

   • j = n / a = 4 / 1 = 4

   • 下一位数字 = 4 * 2 + 1 - las = 8 + 1 - 0 = 9，输出 9。

   • las = !0 = 1（无后续影响）。

   • n %= a → n = 0。

6. 最终结果 29，与预期一致。

注意每段代码末尾的分号是否存在 ，如不存在则需即使补充；输入法 是否切换 为英语模式；语法是否错误。