凸四边形 ABCDABCDABCD 内接于 ⊙O\odot O⊙O, 对角线 ACACAC 与 BDBDBD 交点为点 PPP, MMM, NNN 分别为 ADADAD, BCBCBC 中点. (OMN)(OMN)(OMN) 交 (APD)(APD)(APD) 于点 EEE, (OMN)(OMN)(OMN) 交 (BPC)(BPC)(BPC) 于点 FFF. 求证: OE=OFOE=OFOE=OF. (2022年伊朗国家队选拔赛第4题)
证明:
只需证明: ∠EMO=∠FNO\angle EMO=\angle FNO∠EMO=∠FNO. 这等价于 ∠EMA=∠FNB\angle EMA=\angle FNB∠EMA=∠FNB.
设直线 ADADAD 和 BCBCBC 交于一点 VVV. (APD)(APD)(APD) 和 (BPC)(BPC)(BPC) 的交点为 KKK.
KKK 是完全四边形 APBVAPBVAPBV 的密克点, VVV, PPP, KKK 共线, OK⊥APOK\bot APOK⊥AP, VVV, BBB, KKK, DDD 四点共圆, VVV, AAA, KKK, CCC 四点共圆.
延长 NPNPNP 交 (APD)(APD)(APD) 于点 EEE, 延长 MPMPMP 交 (BPC)(BPC)(BPC) 于点 FFF.
易证: △AEP∼△NCP\triangle AEP \sim \triangle NCP△AEP∼△NCP.
所以 EP⋅NP=AP⋅CPEP \cdot NP = AP \cdot CPEP⋅NP=AP⋅CP.
由共圆可知 PK⋅VP=BP⋅DP=AP⋅CPPK\cdot VP=BP \cdot DP=AP \cdot CPPK⋅VP=BP⋅DP=AP⋅CP.
所以 EEE 在 (OMN)(OMN)(OMN) 上. 同理, FFF 也在.
易证: △BFC∼△AED\triangle BFC \sim \triangle AED△BFC∼△AED. MMM, NNN 是对应点. 所以 ∠EMA=∠FNB\angle EMA=\angle FNB∠EMA=∠FNB.