几何学

几何学基本概念——超平面(hyperplane)在几何中，超平面是将三维空间中的二维平面推广至任意维数学空间所得到的概念。正如三维空间中的平面一样，超平面是一种“平坦(flat)”的超曲面(hypersurface)，即它是维数比其所处的环境空间(ambient space)低一维的子空间。超平面的两个低维实例分别是平面中的一维直线，以及直线上的零维点。加上前缀“超”(hyper-)以表明，它虽然类似于平面，但其内涵可能远不止是一个普通的二维平面。在三维几何学中，我们通常将一个平面视为一个三维空间中的一个二维对象。在标准的Euclid几何中，经过某已知

Figo《量子几何学：从希尔伯特空间到全息时空的统一理论体系》（十二）——量子通信：几何安全的网络架构作者：Figo Cheung ＆ Figo AI teamBB84量子密钥分发协议在量子几何学框架下被重新理解为希尔伯特空间中几何状态的巧妙配置，其安全性源于量子几何的内在不可克隆性。四态几何的配置原理： BB84协议采用四个量子态构成两组正交基： ∣ψ0⟩=∣0⟩,∣ψ1⟩=∣1⟩|\psi_0\rangle = |0\rangle, \quad |\psi_1\rangle = |1\rangle∣ψ0⟩=∣0⟩,∣ψ1⟩=∣1⟩ ∣ψ+⟩=∣0⟩+∣1⟩2,∣ψ−⟩=∣0⟩−∣1⟩2|\psi_+

Figo《量子几何学：从希尔伯特空间到全息时空的统一理论体系》（十一）——量子计算几何算法的设计与实现作者：Figo Cheung ＆ Figo AI team在量子几何学框架下，单量子比特门不再被视为抽象的矩阵运算，而是希尔伯特空间中几何变换的具体实现。每个单量子比特门对应于布洛赫球面上的特定旋转操作，体现了量子计算的本质几何特征。布洛赫球面的几何结构：单量子比特态 ∣ψ⟩=cos⁡(θ/2)∣0⟩+eiϕsin⁡(θ/2)∣1⟩|\psi\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle + e^{i\phi}\sin(\theta/2)|1\rangle∣ψ⟩=cos(θ/2)∣

科赫雪花--Python--数学原理--turtle绘图科赫雪花于1904年由瑞士数学家黑格尔-冯-科赫提出，是一种分形，即一种不断放大时会重复自己的图形。分形源自递归，递归操作本身就是在重复使用自己定义自己。其图片如下：

Figo《量子几何学：从希尔伯特空间到全息时空的统一理论体系》(六）——量子几何化的五条基本路径作者：Figo Cheung ＆ Figo AI team超图表示是量子几何化的第一条基本路径，它将量子关系建模为超图结构，体现了组合几何化的核心思想。正如《周易》所言：“方以类聚，物以群分”，超图正是这种"聚"与"分"的数学表现。超图的基本定义：超图H=(V,E)H = (V, E)H=(V,E)由顶点集VVV和超边集EEE构成，其中每条超边e∈Ee \in Ee∈E是VVV的子集。与普通图不同，超图的边可以连接任意多个顶点。量子系统的超图建模： Q→H(Q)=(Vqubits,Eentangle

2023年韩国数学奥林匹克决赛几何题假设点 DDD 和 EEE 分别为 △ABC\triangle ABC△ABC 的边 ABABAB, ACACAC 上的点, BDBDBD, CECECE 的中垂线交于点 PPP, △ADE\triangle ADE△ADE 的外接圆上有一点 GGG, GGG 不在 △ABC\triangle ABC△ABC 的外接圆上. AGAGAG 的延长线和 △ABC\triangle ABC△ABC 的外接圆交于点 HHH. 求证: PG=PHPG=PHPG=PH. (2023年韩国数学奥林匹克决赛)

Figo《量子几何学：从希尔伯特空间到全息时空的统一理论体系》(二）作者：Figo Cheung ＆ Figo AI team《道德经》云："道生一，一生二，二生三，三生万物。“若以量子几何学之眼观之，此"道"恰如量子真空之几何本源。量子真空非空，而是蕴含无限潜能之"关系母体”，其几何结构远超经典直觉。量子真空的几何特征：首先，零点能的几何涨落。量子真空中的零点能涨落并非随机扰动，而是具有特定几何结构的量子场激发。卡西米尔效应表明，边界几何条件会改变真空能密度，这证明了真空几何的实在性。数学表述上，真空态|0⟩可以视为希尔伯特空间中的基态向量，但其几何内涵远比经典基

Figo《量子几何学：从希尔伯特空间到全息时空的统一理论体系》(三）作者：Figo Cheung ＆ Figo AI team人类大脑对几何概念的理解，根植于顶叶皮层的空间处理能力。正如《内经》所言：“脑为髓海，主神明”，现代神经科学发现，顶叶正是人类空间认知的"神明"之所。顶叶空间处理的几何特征：顶叶皮层，特别是顶内沟（intraparietal sulcus）区域，在处理几何空间信息时表现出独特的神经活动模式。功能性磁共振成像（fMRI）研究表明，当被试进行几何推理时，顶叶皮层的激活模式与几何复杂度呈正相关。数学表述上，顶叶对几何信息的处理可以建模为： P:Rn

Figo《量子几何学：从希尔伯特空间到全息时空的统一理论体系》（一）作者：Figo Cheung ＆ Figo AI team自普朗克于1900年提出能量量子化假说以来，量子力学已经走过了一个多世纪的发展历程。然而，尽管量子理论在实验验证和技术应用方面取得了巨大成功，但其理论基础仍然存在深刻的哲学困境。玻尔曾言："如果有人说他能思考量子物理学而不感到头晕，那他根本就没有理解量子物理学。"这种"头晕"不仅源于量子现象的反直觉特性，更深层的原因在于我们缺乏理解量子世界的合适几何框架。正如《易经》所言："形而上者谓之道，形而下者谓之器。“量子力学的困境，本质上是我们试图用"形

HKU CodePlot-CoT 深度解析：视觉推理还是几何推理？上一篇写 MathCanvas 深度解析的时候，我的总结观点是：大模型在几何上不稳定，并不是因为看不懂图，而是因为没有稳定的中间结构可以操作。

Full Stack Developme

国产地图坐标系与国际地图坐标系区别国产地图坐标系（主要是GCJ-02和BD-09）与国际地图坐标系（主要是WGS-84）的主要区别在于加密算法和使用范围。

田里的水稻

FA_拟合和插值(FI,fitting_and_interpolation)-逼近样条02(多阶贝塞尔曲线)贝塞尔曲线是由伯恩斯坦基函数定义的参数化多项式曲线，核心由控制顶点决定形状，阶数与控制顶点数满足顶点数 = 阶数 + 1：一次（2 个顶点）、二次（3 个顶点）、三次（4 个顶点）。三者的复杂度、光滑性、造型能力依次提升，是 UI 设计、图形学、动画路径等领域的基础，一次为直线（无曲率），二次为抛物线（单曲率），三次为自由曲线（可实现拐点 / 复杂曲率）。本文将分别详细描述各阶贝塞尔曲线的数学定义、几何特性、核心性质，并提供Python 可运行代码（基于matplotlib+numpy），实现曲线 + 控

田里的水稻

FA_拟合和插值(FI,fitting_and_interpolation)-逼近样条01(贝塞尔、B样条和NURBS曲线)首先：贝塞尔曲线 ⊂ B - 样条曲线 ⊂ NURBS 曲线，三者是层层包含、逐步泛化的关系，NURBS 曲线是前两者的通用形式，能够兼容表示贝塞尔曲线和 B - 样条曲线。

弧长参数化弧长参数化（也叫自然参数化）是曲线论中核心的参数化方式，将曲线的参数定义为从曲线某定点出发的弧长，记为参数 s。这种参数化消除了普通参数（如 t）的 “速率” 影响，让曲线的几何性质（如曲率、挠率）表达更简洁、更具几何意义，是 CAD/BIM 几何建模、运动轨迹分析、数值计算等领域的重要基础。

2016年伊朗数学奥林匹克国家队选拔赛几何（二）设 ADADAD, BFBFBF, CECECE 为 △ABC\triangle ABC△ABC 的边长. QQQ 是 EFEFEF 上的一点, 且满足 QF=DEQF=DEQF=DE, 且 FFF 位于 EEE, QQQ 之间. PPP 是 EFEFEF 上的一点, 且满足 EP=DFEP=DFEP=DF, 且 EEE 位于 PPP, FFF 之间. DQDQDQ 的垂直平分线与 ABABAB 在 XXX 点相交, DPDPDP 的垂直平分线与 ACACAC 在 YYY 点相交. 证明 BCBCBC 的

Pillow 图像几何变换与仿射操作几何变换是图像处理中最基础且最常用的一类操作，在数据预处理、样本增强、图像对齐以及视觉建模等任务中均扮演核心角色。该类操作通过对像素坐标进行系统性映射，改变图像在空间中的结构表达，而不直接修改像素的语义内容。

【数学题】包含⚪圆圈的三角形一共有多少个思路：图中所有三角形都是以同一个顶点（顶部），所以所有三角形的另外2个顶点必定是下面所有点的2个，由于想要求包含圆圈的三角形，那么势必这样的三角形的其他两个顶点（除顶部外的2个点）必定分布与左右两边。左右点，分别有2与3，所以这样的三角形一共是2*3=6个

超平面与直线by\mathscr{by}by AmamiyaFuko\mathfrak{AmamiyaFuko}AmamiyaFuko

【基础回顾】针孔相机、深度、逆深度、与SfM的统一这些概念和模型都是很基础的内容，但是问题就出在这个基础两个字上面，现在出现了N个版本，导致很多人在这里知识点遗漏，所以非常需要梳理一次！

生成论实验室

即事成象：频率生成论——应对AI范式转型的生成存在论及其中国经典基础作者：周林东单位：独立研究者摘要：在人工智能与哲学社会科学寻求研究范式根本转型的背景下，本文旨在系统构建“频率生成论”——一个融贯的、可计算的哲学-科学元理论。该理论以“即事是道”的生成存在论为哲学基石[1][2]，主张实在的本质是生生不息的“关系事件”之流，并以“频率”为其核心动力学特征。本研究核心创新在于：1）从《易经》[8]体系中提炼出普适的“系统互动律”，并将其数学化为支配微观构成的互动矩阵J与宏观演化的耦合矩阵W；2）构建了以相位振子网络为载体、以信息势梯度（信息力F）为统一驱动力的生成动力学