几何学

田里的水稻

FA_拟合和插值(FI,fitting_and_interpolation)-逼近样条02(多阶贝塞尔曲线)贝塞尔曲线是由伯恩斯坦基函数定义的参数化多项式曲线，核心由控制顶点决定形状，阶数与控制顶点数满足顶点数 = 阶数 + 1：一次（2 个顶点）、二次（3 个顶点）、三次（4 个顶点）。三者的复杂度、光滑性、造型能力依次提升，是 UI 设计、图形学、动画路径等领域的基础，一次为直线（无曲率），二次为抛物线（单曲率），三次为自由曲线（可实现拐点 / 复杂曲率）。本文将分别详细描述各阶贝塞尔曲线的数学定义、几何特性、核心性质，并提供Python 可运行代码（基于matplotlib+numpy），实现曲线 + 控

田里的水稻

FA_拟合和插值(FI,fitting_and_interpolation)-逼近样条01(贝塞尔、B样条和NURBS曲线)首先：贝塞尔曲线 ⊂ B - 样条曲线 ⊂ NURBS 曲线，三者是层层包含、逐步泛化的关系，NURBS 曲线是前两者的通用形式，能够兼容表示贝塞尔曲线和 B - 样条曲线。

弧长参数化弧长参数化（也叫自然参数化）是曲线论中核心的参数化方式，将曲线的参数定义为从曲线某定点出发的弧长，记为参数 s。这种参数化消除了普通参数（如 t）的 “速率” 影响，让曲线的几何性质（如曲率、挠率）表达更简洁、更具几何意义，是 CAD/BIM 几何建模、运动轨迹分析、数值计算等领域的重要基础。

2016年伊朗数学奥林匹克国家队选拔赛几何（二）设 ADADAD, BFBFBF, CECECE 为 △ABC\triangle ABC△ABC 的边长. QQQ 是 EFEFEF 上的一点, 且满足 QF=DEQF=DEQF=DE, 且 FFF 位于 EEE, QQQ 之间. PPP 是 EFEFEF 上的一点, 且满足 EP=DFEP=DFEP=DF, 且 EEE 位于 PPP, FFF 之间. DQDQDQ 的垂直平分线与 ABABAB 在 XXX 点相交, DPDPDP 的垂直平分线与 ACACAC 在 YYY 点相交. 证明 BCBCBC 的

Pillow 图像几何变换与仿射操作几何变换是图像处理中最基础且最常用的一类操作，在数据预处理、样本增强、图像对齐以及视觉建模等任务中均扮演核心角色。该类操作通过对像素坐标进行系统性映射，改变图像在空间中的结构表达，而不直接修改像素的语义内容。

【数学题】包含⚪圆圈的三角形一共有多少个思路：图中所有三角形都是以同一个顶点（顶部），所以所有三角形的另外2个顶点必定是下面所有点的2个，由于想要求包含圆圈的三角形，那么势必这样的三角形的其他两个顶点（除顶部外的2个点）必定分布与左右两边。左右点，分别有2与3，所以这样的三角形一共是2*3=6个

超平面与直线by\mathscr{by}by AmamiyaFuko\mathfrak{AmamiyaFuko}AmamiyaFuko

【基础回顾】针孔相机、深度、逆深度、与SfM的统一这些概念和模型都是很基础的内容，但是问题就出在这个基础两个字上面，现在出现了N个版本，导致很多人在这里知识点遗漏，所以非常需要梳理一次！

生成论实验室

即事成象：频率生成论——应对AI范式转型的生成存在论及其中国经典基础作者：周林东单位：独立研究者摘要：在人工智能与哲学社会科学寻求研究范式根本转型的背景下，本文旨在系统构建“频率生成论”——一个融贯的、可计算的哲学-科学元理论。该理论以“即事是道”的生成存在论为哲学基石[1][2]，主张实在的本质是生生不息的“关系事件”之流，并以“频率”为其核心动力学特征。本研究核心创新在于：1）从《易经》[8]体系中提炼出普适的“系统互动律”，并将其数学化为支配微观构成的互动矩阵J与宏观演化的耦合矩阵W；2）构建了以相位振子网络为载体、以信息势梯度（信息力F）为统一驱动力的生成动力学

【Feedforward 3dgs】YOU ONLY NEED ONE MODEL项目地址：botaoye.github.io/yonosplat/本篇基于之前ETH本校的Noposplat做了进一步增强，主要解决Feedforward 3dgs中的pose与高斯训练耦合以及训练模型尺度模糊的问题。

生成论实验室

生成何以智能？——论道法术器贯通的生成式AGI新范式及其技术实现作者：周林东摘要：当前人工智能研究在追求通用性进程中，深陷“数据驱动”范式的三重内在困境：认知停留于表层统计拟合，安全依赖于事后外部约束，发展受限于规模扩张的边际效应。为寻求根本性突破，本文主张回归“生成”这一本体论优先的哲学立场，并首次系统性地构建并论证了一条从生成存在论哲学（道）、形式化科学原理（法）、全栈专利技术生态（术）到领域生成能力（器）的完整贯通路径。本文的核心工作在于：1）阐明了以“即事是道”为第一性原理的生成存在论；2）推导出“生成元公式”G = F(I, E, M) | Φ及作为其动力学

计算机图形学：【Games101】学习笔记05——着色（插值、高级纹理映射）与几何（基本表示方法）为什么需要插值？在三角形顶点指定属性值，需在三角形内部获得平滑变化的属性值。插值目标：纹理坐标、颜色、法向量、深度、材质属性等。

Math_teacher_fan

第三篇：三角形问题详解三角形是几何学中最基础也是最重要的图形之一。在初中数学中，三角形相关的知识点非常多，包括三角形的性质、面积计算、特殊三角形、三角形的特殊点等。

计算机图形学·23 Weiler-Athenton多边形裁剪算法本文是记录专业课计算机图形学的部分笔记，参考教材为Angel的第八版交互式计算机图形学——基于WebGL 2.0的自顶向下方法。

生成论实验室

生成论入门十讲 · 第十讲生成的未来——迈向“生成的文明“一个人的觉醒与一个文明的转型经过九讲的旅程，我们从诊断文明危机开始，穿越了生成的源头、动力、架构和显现，探索了它在科学、技术和创造中的运用。现在，我们抵达了这趟思想之旅的终点站，也是实践之旅的起点站。

生成论实验室

生成论入门十讲 · 第九讲生成的创造——设计学与人工智能从理解世界到创造世界经过前面八讲的探索，我们手握生成论这张新地图，重新认识了从宇宙到生命的本质。但生成论的价值远不止于解释世界——它更是指引我们如何更好地创造世界的罗盘。

生成论实验室

周林东的生成论入门十讲 · 第八讲生成的世界——物理学与生物学新视角用新地图重勘旧大陆在上一讲中，我们获得了一个强大的新工具——生成函数G(t)。它让我们能够以精确的、过程性的眼光来看待任何系统的演变。

田里的水稻

math_旋转变换要计算从 a 旋转到 c 的四元数 q2，已知：我们目标是求 a → c 的旋转四元数 q2。若一个向量 v 在坐标系 B 中，想通过四元数 q 旋转到坐标系 A，则通常写作：

田里的水稻

spline_curve所谓样条曲线(Spline Curves)是指给定一组控制点而得到一条曲线，曲线的大致形状由这些点予以控制，一般可分为插值样条和逼近样条两种，插值样条通常用于数字化绘图或动画的设计，逼近样条一般用来构造物体的表面。工程中，很多实际应用场景都需要制作平滑的面、线。这些面、线都是被相应的条件约束。把这些需求和约束抽象为数理模型就是样板曲线。样条曲线是经过一系列给定点的光滑曲线。最初，样条曲线都是借助于物理样条得到的，放样员把富有弹性的细木条（或有机玻璃条），用压铁固定在曲线应该通过的给定型值点处，样条做自然

生成论实验室

周林东的生成论入门十讲 · 第一讲问题的根源——我们活在“制造的文明”里一个我们习以为常的世界请环顾四周。你手中的手机，身下的椅子，居住的房屋，乃至你正在遵循的学习或工作流程——它们几乎都是被“制造”出来的。