计算机图形学：【Games101】学习笔记06——几何（曲线和曲面、网格处理）、阴影图

计算机图形学：【Games101】学习笔记06------几何（曲线和曲面、网格处理）、阴影图

前言
一、几何（曲线和曲面）
- [1.1 显式表示（Explicit Representations）](#1.1 显式表示（Explicit Representations）)
- [1.2 曲线（Curves）](#1.2 曲线（Curves）)
- - [1.1.1 贝塞尔曲线（Bézier Curves）](#1.1.1 贝塞尔曲线（Bézier Curves）)
  - [1.1.2 德卡斯特里奥算法（De Casteljau's algorithm）](#1.1.2 德卡斯特里奥算法（De Casteljau’s algorithm）)
  - [1.1.3 B样条等（B-splines, etc.）](#1.1.3 B样条等（B-splines, etc.）)
- [1.3 曲面（Surface）](#1.3 曲面（Surface）)
- - [1.3.1 贝塞尔曲面（Bezier surfaces）](#1.3.1 贝塞尔曲面（Bezier surfaces）)
  - [1.3.2 三角形和四边形，细分、简化、正则化（Triangles & quads、Subdivision, simplification, regularization）](#1.3.2 三角形和四边形，细分、简化、正则化（Triangles & quads、Subdivision, simplification, regularization）)
二、几何（网格处理）、阴影图
- [2.1 网格细分 (Mesh Subdivision)](#2.1 网格细分 (Mesh Subdivision))
- - [2.1.1 Loop 细分 (Loop Subdivision)](#2.1.1 Loop 细分 (Loop Subdivision))
  - [2.1.2 Catmull-Clark 细分 (一般网格)](#2.1.2 Catmull-Clark 细分 (一般网格))
- [2.2 网格简化 (Mesh Simplification)](#2.2 网格简化 (Mesh Simplification))
- - [2.2.1 边坍缩 (Edge Collapsing)](#2.2.1 边坍缩 (Edge Collapsing))
  - [2.2.2 二次误差度量 (Quadric Error Metrics)](#2.2.2 二次误差度量 (Quadric Error Metrics))
  - [2.2.3 基于二次误差的简化算法 (Simplification via Quadric Error)](#2.2.3 基于二次误差的简化算法 (Simplification via Quadric Error))
- [2.3 阴影映射 (Shadow Mapping)](#2.3 阴影映射 (Shadow Mapping))
- - [2.3.1 可视化阴影映射（Visualizing Shadow Mapping）](#2.3.1 可视化阴影映射（Visualizing Shadow Mapping）)

前言

🎮 GAMES101 是国内相当有名的图形学公开课。项目相关资源在：https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/games101.html。

本 📒笔记为 🖊️笔者在自学过程中整理的 🇨🇳中文版笔记，供各位 📖读者阅读 😼～

一、几何（曲线和曲面）

1.1 显式表示（Explicit Representations）

图形学中的显式表示包括：三角网格（triangle meshes）、贝塞尔曲面（Bezier surfaces）、细分曲面（subdivision surfaces）、NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines）、点云（point clouds）。

1、显式点云表示（Point Cloud (Explicit)）

点云表示是最简单的表示：点列表（x，y，z）。

优点是轻松表示任何类型的几何形状，适用于大型数据集（远多于1个点/像素），通常被转换为多边形网格。

缺点是在采样不足的区域难以绘制。

2、显式多边形网格（Polygon Mesh (Explicit)）

多边形网格存储顶点和多边形（通常是三角形或四边形），或许是图形学中最常见的表示方式。

优点是更易于进行处理/模拟、自适应采样，缺点是需要更复杂的数据结构。

3、Wavefront对象（.obj）文件格式（The Wavefront Object File (.obj) Format）

在图形学研究中常用，只是一个指定顶点、法线、纹理坐标及其连接关系的文本文件。

1.2 曲线（Curves）

曲线无处不在，比如：

1、相机路径（Camera Paths）

2、动画曲线（Animation Curves）

3、矢量字体（Vector Fonts）

1.1.1 贝塞尔曲线（Bézier Curves）

1、用切线定义三次贝塞尔曲线（Defining Cubic Bézier Curve With Tangents）

可以通过切线来定义三次 Bézier 曲线，例如： t 0 = 3 ( p 1 − p 0 ) t_0 = 3(p_1 - p_0) t0=3(p1−p0)， t 1 = 3 ( p 3 − p 2 ) t_1 = 3(p_3 - p_2) t1=3(p3−p2)。

1.1.2 德卡斯特里奥算法（De Casteljau's algorithm）

1、评估贝塞尔曲线（德卡斯特里奥算法）（Evaluating Bézier Curves (de Casteljau Algorithm)）

由 Pierre Bézier 和 Paul de Casteljau 发明。

算法思想：通过线性插值 (lerp) 逐步插入点。给定一个在 $0 , 1$ $0, 1$ $0,1$ 范围内的参数 t t t：在相邻的控制点线段上取比例为 t t t 的点进行连接，然后在新形成的线段上继续递归该插值过程，直到最终收敛得到曲线上的唯一一点。该算法能运行在所有 $0 , 1$ $0, 1$ $0,1$ 范围的 t t t 上以画出完整曲线，无论是二次（3个输入点）还是三次（4个输入点）曲线均适用。

考虑三个点（二次贝塞尔曲线）：

使用线性插值插入一个点：

在两边都插入：

递归重复：

对 $0,1$ 中的每个 t 运行相同的算法：

2、三次贝塞尔曲线------德卡斯特里奥算法（Cubic Bézier Curve -- de Casteljau）

总共有四个输入点，进行相同的递归线性插值：

3、可视化德卡斯特里奥算法（Visualizing de Casteljau Algorithm）

4、评估贝塞尔曲线的代数公式（Evaluating Bézier Curves Algebraic Formula）

德卡斯特里奥算法生成一个系数金字塔：每个向右的箭头表示乘以t，每个向左的箭头表示乘以(1--t)。

示例：由三个点构成的二次贝塞尔曲线：

b 0 1 ( t ) = ( 1 − t ) b 0 + t b 1 b 1 1 ( t ) = ( 1 − t ) b 1 + t b 2 b 0 2 ( t ) = ( 1 − t ) b 0 1 + t b 1 1 b_{0}^{1}(t)=(1-t) b_{0}+t b_{1} \\ b_{1}^{1}(t)=(1-t) b_{1}+t b_{2} \\ b_{0}^{2}(t)=(1-t) b_{0}^{1}+t b_{1}^{1} b01(t)=(1−t)b0+tb1b11(t)=(1−t)b1+tb2b02(t)=(1−t)b01+tb11 b 0 2 ( t ) = ( 1 − t ) 2 b 0 + 2 t ( 1 − t ) b 1 + t 2 b 2 b_{0}^{2}(t)=(1-t)^2b_0+2t(1-t)b1+t^2b_2 b02(t)=(1−t)2b0+2t(1−t)b1+t2b2

5、贝塞尔曲线------通用代数公式（Bézier Curve -- General Algebraic Formula）

n阶贝塞尔曲线的伯恩斯坦形式（Bernstein form）：

b n ( t ) = ∑ j = 0 n b j B j n ( t ) b^n(t) = \sum_{j=0}^{n}b_j B_j^n(t) bn(t)=j=0∑nbjBjn(t)

其中， B j n ( t ) B_j^n(t) Bjn(t) 是 n 阶 Bernstein 多项式（标量多项式）： B i n ( t ) = ( n i ) t i ( 1 − t ) n − i B_i^n(t) = \binom{n}{i} t^i(1-t)^{n-i} Bin(t)=(in)ti(1−t)n−i。 b j b_j bj 则是多维空间中的 Bézier 控制点向量。

示例：假设 n = 3 n=3 n=3，且我们处于 R 3 R^{3} R3 中，即我们可以在3D空间中拥有控制点，例如： b 0 = ( 0 , 2 , 3 ) b_{0}=(0,2,3) b0=(0,2,3)、 b 1 = ( 2 , 3 , 5 ) b_{1}=(2,3,5) b1=(2,3,5)、 b 2 = ( 6 , 7 , 9 ) b_{2}=(6,7,9) b2=(6,7,9)， b 3 = ( 3 , 4 , 5 ) b3 = (3, 4, 5) b3=(3,4,5)。

这些点定义了一条3D贝塞尔曲线，它是关于 t 的三次多项式：

b n ( t ) = b 0 ( 1 − t ) 3 + b 1 3 t ( 1 − t ) 2 + b 2 3 t 2 ( 1 − t ) + b 3 t 3 b^{n}(t)=b_{0}(1-t)^{3}+b_{1} 3 t(1-t)^{2}+b_{2} 3 t^{2}(1-t)+b_{3} t^{3} bn(t)=b0(1−t)3+b13t(1−t)2+b23t2(1−t)+b3t3

6、Cubic Bézier Basis Functions（三次贝塞尔基函数）

伯恩斯坦多项式（Bernstein polynomials）：

B i n ( t ) = ( n i ) t i ( 1 − t ) n − i B_{i}^{n}(t)=\left(\begin{array}{c}n \\ i\end{array}\right) t^{i}(1-t)^{n-i} Bin(t)=(ni)ti(1−t)n−i

7、贝塞尔曲线的性质（Properties of Bézier Curves）

（1）插值端点（Interpolates endpoints）：曲线一定会经过起点和终点。

例如对于三次 Bézier 曲线有：b(0) = b0；b(1) = b3。

（2）与端点线段相切（Tangent to end segments）：曲线的起始和末端切线与对应的控制点线段方向一致。

Cubic case: b ′ ( 0 ) = 3 ( b 1 − b 0 ) ; b ′ ( 1 ) = 3 ( b 3 − b 2 ) b'(0)=3\left(b_{1}-b_{0}\right) ; b'(1)=3\left(b_{3}-b_{2}\right) b′(0)=3(b1−b0);b′(1)=3(b3−b2)。

（3）仿射变换性质（Affine transformation property）：若要对曲线做仿射变换，只需直接对控制点做仿射变换即可。

通过变换控制点来变换曲线。

（4）凸包性质（Convex hull property）：整条曲线永远处于所有控制点所构成的凸包（Convex hull）范围之内。

8、补充：什么是凸包（BTW: What's a Convex Hull）

9、分段贝塞尔曲线（Piecewise Bézier Curves）

高阶贝塞尔曲线（Higher-Order Bézier Curves）很难控制，不常见。

相反，可以将许多低阶贝塞尔曲线连接起来，分段三次贝塞尔曲线是最常用的技术。其应用包括：字体、路径、Illustrator、Keynote等。

演示Demo可以参考：https://math.hws.edu/eck/cs424/notes2013/canvas/bezier.html

10、分段贝塞尔曲线具有连续性（Piecewise Bézier Curve -- Continuity）

对于两条贝塞尔曲线（假设这里是整数分拆，是可以推广的）：

a : $k , k + 1$ → R N b : $k + 1 , k + 2$ → R N a : $k, k+1$ \to \mathbb{R}^{N} \\ b : $k+1, k+2$ \to \mathbb{R}^{N} a: $k,k+1$ →RNb: $k+1,k+2$ →RN

C 0 C^{0} C0 连续性( C 0 C^{0} C0 continuity)： a n = b 0 a_{n}=b_{0} an=b0

C 1 C^{1} C1 连续性( C 1 C^{1} C1 continuity)： a n = b 0 = 1 2 ( a n − 1 + b 1 ) a_{n}=b_{0}=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+b_{1}\right) an=b0=21(an−1+b1)

1.1.3 B样条等（B-splines, etc.）

1、样条曲线（Spline）

一条连续曲线，其构造方式是通过一组给定的点，并具有一定数量的连续导数。简而言之，一条受控制的曲线。

2、B样条（B-splines）

是Basic splines的缩写。比贝塞尔曲线需要更多信息。满足贝塞尔曲线的所有重要特性（即超集）。

3、重要说明

在本课程中，不涉及B样条和非均匀有理B样条（NURBS），也不涉及曲线的操作（如阶数的增减）。

想要了解更多/更深入的内容，欢迎参考胡事民教授的课程：https://www.bilibili.com/video/av66548502/?from=search&seid=65256805876131485&vd_source=f70630fa5800ae385634e9aaafa4ae1b

1.3 曲面（Surface）

1.3.1 贝塞尔曲面（Bezier surfaces）

可以将贝塞尔曲线扩展到曲面（例如著名的犹他茶壶 (Utah Teapot) 模型）。

1、双三次贝塞尔曲面片（Bicubic Bézier Surface Patch）

贝塞尔曲面和 4 ×4 控制点数组。

可视化双三次贝塞尔曲面片（Visualizing Bicubic Bézier Surface Patch）可以参考：https://acko.net/。

2、评估贝塞尔曲面（Evaluating Bézier Surfaces）

参数 ( u , v ) (u, v) (u,v) 曲面求值计算 ：对于给定的在 $0 , 1$ 2 $0, 1$ ^2 $0,1$ 2 范围内的参数 ( u , v ) (u, v) (u,v)，求出对应的曲面三维位置。

3、方法：可分离一维德卡斯特里奥算法（Method: Separable 1D de Casteljau Algorithm）

使用可分离的 1D de Casteljau 算法。目标：评估与（u，v）对应的曲面位置------（u，v）可分离的德卡斯特里奥算法应用。

首先利用参数 u u u，在水平方向的4条曲线上各自进行 1D de Casteljau 求值，计算出4个对应的点。
将这4个新计算出的点作为一条"移动的 Bézier 曲线 (Moving Bezier curve)"的控制点。
接着利用参数 v v v，在这条新的"移动曲线"上再次执行 1D de Casteljau 算法，最终得出目标曲面点 ( u , v ) (u, v) (u,v) 的坐标位置。

1.3.2 三角形和四边形，细分、简化、正则化（Triangles & quads、Subdivision, simplification, regularization）

1、网格操作：几何处理（Mesh Operations: Geometry Processing）

网格细分（Mesh subdivision）
网格简化（Mesh simplification）
网格正则化（Mesh regularization）

二、几何（网格处理）、阴影图

本节课主要探讨三种几何处理中的网格操作：

网格细分 (Mesh subdivision)：上采样 (upsampling)，增加分辨率。

网格简化 (Mesh simplification)：下采样 (downsampling)，降低分辨率，但尽量保持原有的形状和外观。

网格正则化 (Mesh regularization) ：保持三角形数量不变，通过修改采样点的分布来提高网格质量。

2.1 网格细分 (Mesh Subdivision)

2.1.1 Loop 细分 (Loop Subdivision)

Loop 细分是针对三角形网格的一种常见细分规则。

步骤：首先将每个三角形分裂成四个新的小三角形（增加顶点），然后调整它们的位置。

位置更新规则（新老顶点更新方式不同）：

新顶点 (New vertex) ：假设新顶点位于共享边上，其周围的四个顶点分别为 A、B、C、D（其中 A、B 在共享边上，C、D 为对角顶点），则新顶点的位置更新为： 3 / 8 ∗ ( A + B ) + 1 / 8 ∗ ( C + D ) 3/8 * (A + B) + 1/8 * (C + D) 3/8∗(A+B)+1/8∗(C+D)。

老顶点 (Old vertex) ：更新后的位置 = ( 1 − n ∗ u ) ∗ original_position + u ∗ neighbor_position_sum = (1 - n*u) * \text{original\_position} + u * \text{neighbor\_position\_sum} =(1−n∗u)∗original_position+u∗neighbor_position_sum。其中 n n n 为顶点的度（degree，即连接的边数）。 u u u 的取值为：如果 n = 3 n=3 n=3，则 u = 3 / 16 u = 3/16 u=3/16；否则 u = 3 / ( 8 n ) u = 3/(8n) u=3/(8n)

Loop 细分结果示例：

2.1.2 Catmull-Clark 细分 (一般网格)

适用于一般网格（包含四边形和非四边形面）的细分方法。

核心概念：

非四边形面 (Non-quad face) 。
奇异点 (Extraordinary vertex)：度数不等于 4 的顶点。

每次细分的步骤：

在每个面中添加一个顶点（Face point）。
在每条边上添加一个中点（Edge point）。
连接所有新顶点。

细分一次后的性质：

增加的奇异点数量等于原网格中非四边形面的数量。
所有非四边形面都会完全消失，网格被全部转化为四边形面。

顶点更新规则 (四边形网格的情况)：

面点 (Face point) f f f：面上四个顶点的平均值，即 f = ( v 1 + v 2 + v 3 + v 4 ) / 4 f = (v_1+v_2+v_3+v_4)/4 f=(v1+v2+v3+v4)/4。
边点 (Edge point) e e e：边两端顶点与相邻两个面点的平均值，即 e = ( v 1 + v 2 + f 1 + f 2 ) / 4 e = (v_1+v_2+f_1+f_2)/4 e=(v1+v2+f1+f2)/4。
顶点 (Vertex point) v v v：更新公式为 v = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + 2 ( m 1 + m 2 + m 3 + m 4 ) + 4 p 16 v = \frac{f_1+f_2+f_3+f_4 + 2(m_1+m_2+m_3+m_4) + 4p}{16} v=16f1+f2+f3+f4+2(m1+m2+m3+m4)+4p，其中 p p p 为旧顶点位置， m m m 为相邻边的中点， f f f 为相邻面点。