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算数表达式由三部分组成：操作数、运算符、界限符（界限符是必不可少的，反映了计算的先后顺序）
三种表达式的形式
首先要分清三种表达式的写法，这是所有计算的基础：
注意：数字出现的左右先后顺序不能改变。
| 表达式类型 | 定义 | 示例（1+2 )和 (3+4)*5） | 特点 |
|---|---|---|---|
| 中缀表达式（Infix） | 运算符在两个操作数中间 | 1 + 2 (3 + 4) * 5 | 人类习惯，但计算机难处理（需处理括号和优先级）。 |
| 后缀表达式（逆波兰，RPN） | 运算符在两个操作数之后 | 1 2 + 3 4 + 5 * | 无括号，运算符按出现顺序处理，计算机最爱。较多 |
| 前缀表达式（波兰，PN） | 运算符在两个操作数之前 | + 1 2 * + 3 4 5 | 较少使用。 |
中缀表达式 转 后缀表达式
手算方法
中缀转后缀的手算方法：
①确定中缀表达式中的各个运算符的运算顺序（运算顺序不唯一，因此对应的后缀表达式也不唯一）
②选择下一个运算符，按照【左操作符 右操作符 运算符】的方式组合成一个新的操作数；
③如果还有运算符没被处理，就继续②
"左优先"原则：只要左边的运算符能先计算，就优先算左边的（可保证运算顺序唯一）
后缀表达式的手算方法：
从左往右扫描，每遇到一个运算符，就让运算符前面最近的两个操作数执行对应运算，合体为一个操作数。
注意：两个操作数的左右顺序。
机算
如手算的所示体现出来的特点 ：
最后出现的操作数先被运算（即后进先出 LIFO）
后缀表达式的计算（机算）
用栈实现后缀表达式的计算：
①从左往右扫描下一个元素，直到处理完所有元素；
②若扫描到操作数则压入栈，并返回到①；否则执行③；
③若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应的运算，运算结果回栈（压回栈顶），回到①；
注意：（后缀表达式的机算）先出栈的是"右操作数"
如图所示，A+B运算出结果后，则结果回栈（压回栈顶）。
若表达式合法，则最后栈中只会留下一个元素，其就是最终结果
中缀表达式 转 前缀表达式
手算方法
中缀转前缀的手算方法：
①确定中缀表达式中的各个运算符的运算顺序（运算顺序不唯一，因此对应的后缀表达式也不唯一）
②选择下一个运算符，按照【 运算符 左操作符 右操作符 】的方式组合成一个新的操作数；
③如果还有运算符没被处理，就继续②
"右优先"原则：只要右边的运算符能先计算，就优先算右边的（可保证运算顺序唯一）
机算
前缀表达式的计算（机算）
用栈实现前缀表达式的计算：
①从右往左扫描下一个元素，直到处理完所有元素；
②若扫描到操作数则压入栈，并返回到①；否则执行③；
③若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应的运算，运算结果回栈（压回栈顶），回到①；
注意：（前缀表达式的机算）先出栈的是"左操作数"
总结
下图为手算的运算优先原则。
将中缀转后缀时：符号运算左优先，
将后缀转中缀时：从左到右（也可以理解为左优先，但右边是不可行的，因为运算符在右边）
中缀转前缀，前缀转中缀同理。
机算时：
- 后缀：先出栈的为右操作数
- 前缀：先出栈的为左操作数