1. 什么是长链剖分
长链剖分（Long Chain Decomposition）是一种针对有根树的链剖分方法，常用于解决树上与深度、距离相关的静态查询问题。与重链剖分（Heavy-Light Decomposition）不同，长链剖分优先选择子树中最深的儿子作为"长儿子"，从而将树分解为若干条"长链"。
长链剖分的核心思想是：对于每个节点，选择其子树深度最大的儿子作为"长儿子"，然后将该节点与其长儿子连接成同一条链。这样，整棵树就被分解为若干条从某个节点开始，一直沿着长儿子向下延伸的链，这些链被称为"长链"。
2. 长链剖分的构建
长链剖分的构建可以通过一次深度优先搜索（DFS）完成，时间复杂度为 O(n)。
算法步骤：
- 第一次 DFS：计算每个节点的深度（depth）和子树最大深度（max_depth）。
- 第二次 DFS：为每个节点确定"长儿子"（即子树最大深度最大的儿子）。
- 从根节点开始，将每个节点与其长儿子连接，形成长链。
3. 代码实现（C++）
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
vector<int> g[N]; // 邻接表存树
int depth[N], max_depth[N]; // 深度、子树最大深度
int son[N]; // 长儿子
int top[N]; // 所在长链的顶端节点
// 第一次 DFS：计算深度和子树最大深度
void dfs1(int u, int fa) {
depth[u] = depth[fa] + 1;
max_depth[u] = depth[u];
for (int v : g[u]) {
if (v == fa) continue;
dfs1(v, u);
max_depth[u] = max(max_depth[u], max_depth[v]);
if (max_depth[v] > max_depth[son[u]]) {
son[u] = v; // 更新长儿子
}
}
}
// 第二次 DFS：构建长链
void dfs2(int u, int fa, int tp) {
top[u] = tp;
if (son[u]) {
dfs2(son[u], u, tp); // 长儿子继承当前链
}
for (int v : g[u]) {
if (v == fa || v == son[u]) continue;
dfs2(v, u, v); // 其他儿子作为新链的顶端
}
}
int main() {
int n; // 节点数
cin >> n;
for (int i = 1; i < n; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
dfs1(1, 0);
dfs2(1, 0, 1);
// 输出每个节点所在长链的顶端
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cout << "节点 " << i << " 所在长链顶端: " << top[i] << endl;
}
return 0;
}4. 长链剖分的性质与应用
4.1 主要性质
- 链长性质：每条长链的长度等于链顶端节点的子树最大深度减去该节点的深度。
- 链数上界：长链的数量不超过 O(√n)，实际应用中通常远小于这个上界。
- 深度性质：任意节点到其所在长链顶端的距离不超过该节点子树的最大深度。
4.2 典型应用
- 树上 k 级祖先查询：预处理 O(n log n)，查询 O(1)。
- 树上两点距离查询：结合 LCA，可以快速计算任意两点距离。
- 子树深度相关统计：如子树中深度为 d 的节点数量。
- 优化树上 DP：通过指针继承技巧，将某些树形 DP 的复杂度从 O(n²) 降为 O(n)。
5. 长链剖分 vs 重链剖分
| 对比维度 | 长链剖分 | 重链剖分 |
|---|---|---|
| 选择标准 | 子树深度最大的儿子 | 子树大小最大的儿子 |
| 链长特点 | 链较长，数量较少 | 链较短，数量较多 |
| 主要应用 | 深度、距离相关查询 | 路径修改、子树查询 |
| 复杂度 | 通常 O(n) | O(n log n) |
| 代码难度 | 相对简单 | 相对复杂 |
6. 实战例题
6.1 例题：树上 k 级祖先
问题描述：给定一棵 n 个节点的有根树，有 q 次查询，每次查询给出节点 u 和整数 k，求 u 的第 k 级祖先（如果不存在则输出 -1）。
数据范围：n, q ≤ 10⁵。
长链剖分解法思路：
- 预处理每个节点的 2^i 级祖先（倍增）。
- 对每条长链，预处理从链顶向上/向下走链长步的所有节点。
- 查询时，先利用倍增跳到 2^h 级祖先，使得剩余步数小于链长，然后通过预处理的链信息 O(1) 得到答案。
7. 总结
长链剖分是一种高效的树上问题处理技巧，特别适合解决与深度、距离相关的静态查询问题。通过优先选择深度最大的儿子，将树分解为较少的长链，从而在预处理和查询时获得优异的时间复杂度。
掌握长链剖分需要理解其构建过程、核心性质以及指针继承等优化技巧。建议通过实际编码练习来加深理解，特别是树上 k 级祖先、深度统计等经典问题。