换根法（Rerooting）算法详解

1. 什么是换根法

换根法（Rerooting）是一种在树形数据结构（通常是树或图）上解决动态规划问题的算法技巧。其核心思想是：先以树中任意一个节点为根，进行一次深度优先搜索（DFS），计算出以该节点为根的子树相关的答案；然后通过第二次 DFS，利用已计算出的信息，高效地将根节点"换"到其他节点，并计算出以新节点为根时的答案。

这种方法避免了为每个节点作为根都进行一次完整的 O(n) 遍历，从而将总时间复杂度从 O(n²) 优化到 O(n)。

2. 算法思想与步骤

2.1 第一次 DFS：预处理（自底向上）

任选一个节点（通常为节点 0 或 1）作为初始根，进行一次后序遍历（Post-order Traversal）。

计算每个节点只考虑其子树时的状态值。例如：子树大小、子树节点权值和、子树中最长路径等。
将子节点的信息"贡献"给父节点，完成自底向上的信息聚合。

这一步结束后，我们得到了以初始根节点为根时，所有节点的"子树信息"。

2.2 第二次 DFS：换根（自顶向下）

从初始根节点开始，进行前序遍历（Pre-order Traversal）。

当从父节点 u 遍历到子节点 v 时，我们已知以 u 为根时整棵树的信息。
现在要将根从 u "换"到 v。这意味着：
- 节点 v 的子树（相对于原根）保持不变。
- 节点 u 及其除 v 以外的其他子树，将变成节点 v 的一棵新子树。
利用第一次 DFS 计算出的"子树信息"，我们可以 O(1) 或 O(子节点数) 地计算出以 v 为根时所需的信息。
将计算出的以 v 为根的答案记录下来，然后递归地对 v 的子节点进行同样的换根操作。

3. 经典应用场景

求树中每个节点到其他所有节点的距离之和：LeetCode 310. Minimum Height Trees 的变体，或直接求"距离和"。
求树中以每个节点为根时的子树大小/权值和。
求树中以每个节点为根时的最长路径（树的直径）。
求树中以每个节点为根时，满足某种条件（如颜色、奇偶性）的节点个数。
在加权树上求每个节点到其他节点的最大/最小代价。

4. 代码模板（C++）

cpp 复制代码

#include <vector>
#include <functional>
using namespace std;
/**
换根法通用模板框架（C++）
假设问题：求以每个节点为根时，其子树节点值的和（节点值默认为1，即求子树大小）。
*/
vector<int> rerooting(int n, vector<vector<int>>& edges) {
// 建图
vector<vector<int>> graph(n);
for (auto& e : edges) {
int u = e[0], v = e[1];
graph[u].push_back(v);
graph[v].push_back(u);
}
// 第一次DFS：后序遍历，计算子树信息 dp_sub
vector<int> dp_sub(n, 0); // dp_sub[u] 表示以u为根的子树节点和
function<void(int, int)> dfs1 = [&](int u, int parent) {
dp_sub[u] = 1; // 节点自身
for (int v : graph[u]) {
if (v == parent) continue;
dfs1(v, u);
dp_sub[u] += dp_sub[v]; // 累加子树的贡献
}
};
dfs1(0, -1); // 假设以0为初始根
// 第二次DFS：前序遍历，进行换根，计算最终答案 ans
vector<int> ans(n, 0); // ans[u] 表示以u为根时整棵树的节点和
ans[0] = dp_sub[0]; // 初始根的结果就是其子树和（即整棵树）
function<void(int, int)> dfs2 = [&](int u, int parent) {
for (int v : graph[u]) {
if (v == parent) continue;
// 将根从 u 换到 v
// 1. 从 u 的贡献中移除 v 的子树贡献
// 2. 将 u（及其剩余部分）作为 v 的新子树贡献加给 v
// 对于"子树节点和"问题：
//   ans[v] = dp_sub[v] + (ans[u] - dp_sub[v])
// 化简后：ans[v] = ans[u]
// 但通用情况需要更复杂的转移，这里展示框架
ans[v] = dp_sub[v] + (ans[u] - dp_sub[v]);
dfs2(v, u);
}
};
dfs2(0, -1);
return ans;
}
// 示例：一棵4个节点的链 0-1-2-3
int main() {
int n = 4;
vector<vector<int>> edges = {{0,1},{1,2},{2,3}};
vector<int> result = rerooting(n, edges);
// 输出每个节点为根时的子树节点和（实际上对于链，就是节点数4）
for (int val : result) {
printf("%d ", val);
}
return 0;
}

5. 关键点与注意事项

状态定义：明确第一次 DFS 要计算的"子树信息"是什么，以及如何从子节点转移到父节点。
换根转移方程 ：这是最核心的部分。需要推导出当根从父节点 u 换到子节点 v 时，如何利用已知的 dp_sub 和 ans[u] 快速计算出 ans[v]。
初始化：注意初始根节点答案的初始化。
避免重复计算 ：在第二次 DFS 中，当计算子节点 v 的答案时，要确保使用的父节点 u 的答案是最新的（即已经完成了换根到 u 的计算）。
复杂度：两次 DFS 都是 O(n)，总时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)。

6. 实战例题解析（LeetCode 310. Minimum Height Trees）

问题可以转化为：对于无向图（树），求以每个节点为根时的树高，然后找出最小高度对应的根节点集合。

使用换根法：

第一次 DFS 计算每个节点向下的最大高度和次大高度（用于换根时，当最深的路径经过当前子节点时，需要使用次大高度）。
第二次 DFS 进行换根，计算每个节点向上的高度（即从父节点方向来的最长路径），然后结合向下的高度，得到以该节点为根时的总高度。

（此处可展开详细代码，限于篇幅省略）

7. 总结

换根法是一种非常高效的树形 DP 优化技巧，将"为每个根计算答案"的问题从 O(n²) 优化到 O(n)。掌握其核心的两次 DFS 流程（自底向上预处理 + 自顶向下换根）以及状态转移方程的推导，是解决此类问题的关键。在 LeetCode、Codeforces 等算法竞赛中，换根法是解决树形问题的必备高级技能之一。