第一部分 题目分析
1、看懂题目
（1）有一张无向带权图。
例如：
1 --2-- 2 --3-- 3 --4-- 4
\ |
5 1
\ |
5（2）图中一共有
n 个点
m 条边（3）现在不是只求一次最短路。
而是要求：
对于所有区间
[l,r]都建立一个子图。
（4）例如
l=2
r=5那么保留
2
3
4
5其它点全部删掉。
（5）然后要求：
这个子图里面
所有点对最短路之和。
（6）最后
所有区间全部加起来。
2、举个例子
（1）假设
1
2
3三点。
（2）边：
1-2=1
2-3=2（3）那么区间有：
[1,1]
[1,2]
[1,3]
[2,2]
[2,3]
[3,3]（4）每一个区间都要求
所有点之间最短路是不是非常多？
（5）如果暴力：
O(n²)
每次跑 Floyd
O(n³)
总复杂度
O(n⁵)显然不可能。需要更高效的做法。
第二部分 数据范围告诉我们什么？
1、题目里最关键的是：
n≤100为什么？
100 非常小。
说明：
可以允许
100³甚至
100⁴但是
100⁵就炸了。
2、所以我们要努力做到
O(n⁴)第三部分 最容易想到的方法
1、每个区间：
跑一次 Floyd区间数量：
n²每次：
n³总共：
n⁵2、这是第一种思路。
直接淘汰。
第四部分 Floyd到底干了什么？
1、有的同学不会观察 Floyd。
它实际上就是：
一个一个加入中转点。2、例如：
开始：
没有中转点然后
加入
1再加入
2再加入
3......
3、经典代码：
for(k)
for(i)
for(j)
dist=min(...)其实就是：
当前允许经过
1~k这些点。
4、所以：
Floyd最大的特点：
它是
动态增加中转点。
这就是本题突破口。
第五部分 本题也是不断增加点
1、观察区间。
（1）固定左端点：
l=3（2）那么：
[3,3]
↓
[3,4]
↓
[3,5]
↓
[3,6]是不是每次：
只增加一个点？
（3）增加的是：
r例如：
[3,5]
↓
[3,6]只增加
6（4）是不是跟
Floyd加入中转点特别像？
第六部分 如何利用？
1、对于固定
l先复制一份最初距离：
g=f;2、为什么？
因为：
f
永远保存原图。而
g
不断更新。所以：
每换一个
l重新开始。
3、随后：
r=l
r=l+1
r=l+2一直扩大。
每扩大一次：
新增一个点 r那么：
只需要
让 r 做一次 Floyd 中转点即可。
4、代码就是：
for(i)
for(j)
g[i][j]=
min(
g[i][j],
g[i][r]+g[r][j]
);是不是跟 Floyd 一模一样？
5、区别只是：
普通 Floyd
k=1
2
3
...
n这里
k=r每次只增加一个。
第七部分 为什么这样就是对子图？
1、例如：
l=4（1）第一次：
r=4允许中转：
4（2）第二次：
r=5允许：
4
5（3）第三次：
r=6允许：
4
5
62、是不是：
永远都是：
[l,r]里面的点？
3、没错。
所以：
求出来就是
子图
[l,r]
最短路第八部分 为什么不用前面的点？
1、因为：
1
2
3已经删掉了。
它们不存在。
自然不能作为中转点。
2、所以：
只加入
r即可。
第九部分 为什么复制 g=f？
1、看看参考代码：
for(i)
for(j)
g[i][j]=f[i][j];为什么？
2、假设：
l=1更新结束以后：
g
已经包含很多信息。下一次：
l=2如果继续用：
g里面还有：
点1
参与过中转。那就错了。
2、所以：
必须：
重新复制。第十部分 为什么只统计 i~r？
1、代码：
for(i=l;i<=r;i++)
for(j=i;j<=r;j++)为什么？
2、因为：
题目只要求：
区间里面。而不是：
整个图。
3、另外：
由于
dist(i,j)
=
dist(j,i)无向图。
4、所以：
统计：
i≤j即可。
避免重复。
第十一部分 参考程序
cpp
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 105;
const int mod = 1e9;
int n, m;
int f[N][N];
int g[N][N];
int ans;
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++)
f[i][j] = mod;
f[i][i] = 0;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v, w;
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
f[u][v] = min(f[u][v], w);
f[v][u] = min(f[v][u], w);
}
for (int l = 1; l <= n; l++) {
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
g[i][j] = f[i][j];
for (int r = l; r <= n; r++) {
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
g[i][j] = min(g[i][j], g[i][r] + g[r][j]);
for (int i = l; i <= r; i++)
for (int j = i; j <= r; j++)
ans = (ans + g[i][j]) % mod;
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}1、初始化：
f[i][j]=INF;
f[i][i]=0;表示：
没有边
无限大
自己到自己
02、然后：
读边：
f[u][v]=min(...)
f[v][u]=min(...)为什么
min因为：
有重边。
保留最短。
3、接着：
for(l=1;l<=n;l++)固定左端点。
复制：
g=f;然后：
for(r=l;r<=n;r++)不断扩大区间。
新增一个点：
r于是：
for(i)
for(j)
g[i][j]=
min(
g[i][j],
g[i][r]+g[r][j]
);4、最后：
for(i=l;i<=r;i++)
for(j=i;j<=r;j++)
ans+=g[i][j];统计答案。
5、整个算法时间复杂度：
外层：
l
O(n)
×
r
O(n)
×
Floyd一次更新
O(n²)
=
O(n⁴)当 (n=100) 时，大约是 (10^8) 级别操作，在题目的限制下是可以接受的。
第十二部分 本题考察什么？
1、这题真正考察的不是 Floyd 模板，而是：
能否发现 Floyd 的本质是"逐步加入中转点"，再把这种思想迁移到区间子图中。
2、很多同学都会背：
for(k)
for(i)
for(j)3、真正优秀的同学会想到：
-
加入一个点，就做一次松弛；
-
区间右端点每次增加一个点，正好可以作为新的中转点；
-
固定左端点、逐步扩大右端点，就能把总复杂度从 O(n⁵) 优化到 O(n⁴)。
本节课总结
这一题最值得记住的不是代码，而是下面四句话：
✅ ① Floyd 的核心不是三层循环，而是"不断加入新的中转点"。
✅ ② 固定左端点，右端点每次增加一个点，就相当于新增一个中转点。
✅ ③ 每增加一个点，只需要执行一次 Floyd 的松弛更新，而不用重新计算全部最短路。
✅ ④ 学算法不要只记模板，要理解算法背后的思想，才能在新题目中灵活迁移。