做《合并果子》有感
哈夫曼树介绍及其在贪心中的应用
1. 哈夫曼树定义
哈夫曼树（Huffman Tree），又称最优二叉树，是一种带权路径长度最小的二叉树。给定 nn 个叶子节点，每个叶子节点有一个权值 wiwi，则树的带权路径长度（WPL）定义为所有叶子节点的权值与其路径长度（从根到该叶子的边数）的乘积之和：
WPL=∑i=1nwi×liWPL=i=1∑nwi×li
其中 lili 是叶子节点 ii 的路径长度。哈夫曼树的目标是使 WPL 最小。
2. 贪心思想与构造算法
哈夫曼树的构造采用贪心策略 ：每次从森林中选取两个权值最小的树（根节点权值最小）合并成一棵新树，新树的根节点权值为两者之和。重复此过程直到只剩一棵树1 2。其核心在于"局部最优选择"能够导出全局最优解，这正是贪心算法的典型特征。
构造步骤（森林初始有 nn 棵单节点树）：
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构造森林全是根：将 nn 个权值作为根节点，构成 nn 棵二叉树的森林。
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选用两小造新树：在森林中选出两棵根权值最小的树，作为左右子树构造新二叉树，新根权值为两者之和。
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删除两小添新人：从森林中移除这两棵树，并将新树加入森林。
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重复 2、3 剩单根 ：重复步骤 2 和 3，直到森林中只剩一棵树，即为哈夫曼树3。
示例：给定权值 {5,6,7,8}{5,6,7,8}，构造过程如下：
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第一次：取 55 和 66，合并为 1111，森林变为 {7,8,11}{7,8,11}。
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第二次：取 77 和 88，合并为 1515，森林变为 {11,15}{11,15}。
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第三次：取 1111 和 1515，合并为 2626，得到根节点 2626 的树。
最终 WPL 为 5×3+6×3+7×2+8×2=575×3+6×3+7×2+8×2=57，此值在任意二叉树中最小2。
3. 哈夫曼树的性质
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包含 nn 个叶子节点的哈夫曼树共有 2n−12n−1 个节点。
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所有分支节点的度均为 2（即不存在度为 1 的节点）。
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节点权值越小的叶子距离根越远，权值越大的叶子距离根越近，从而保证 WPL 最小2。
4. 贪心策略的合理性
哈夫曼算法采用贪心选择性质：每次合并两个权值最小的节点，能保证最终树的总权值最小。证明思路：若存在全局最优解，则其中必然包含权值最小的两个节点作为兄弟节点（否则可调整得到更优解）。这种最优子结构 和贪心选择性质使得问题可通过局部最优得到全局最优。
5. 应用：哈夫曼编码
最经典的应用是数据压缩（哈夫曼编码）。将字符出现的频率作为权值，构造哈夫曼树，左分支代表0，右分支代表1，则每个字符的编码为从根到该叶子的路径上的 0/1 序列。由于高频字符路径短、编码短，低频字符路径长、编码长，从而整体编码长度最短（即最优前缀编码），实现无损压缩。
例如，字符串"AABBC"中字符频率：A(2), B(2), C(1)。构造哈夫曼树可得编码：A:0, B:11, C:10（或类似，取决于合并顺序），压缩后总比特数小于定长编码。