【C++】高精度模板

宇宙免责申明:

1. 本文由deepseek做过更改,以及进行了语言上的优化,可能会出现错误,如有错误,请私信联系.
2. 目前高精度加法的先别抄,可能有问题.

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高精度计算四则运算模板详解（C++）

在 C++ 中，内置整数类型（int、long long）能表示的数值范围有限（long long 最大约 9.22×10189.22\times 10^{18}9.22×1018）。当我们需要处理远超此范围的整数（例如几百位的大数）时，就必须用数组或字符串模拟手算过程，这就是高精度计算。

本文基于我常用的四份模板代码，分别实现高精度加法、减法、乘法 （高精×高精）以及高精度除以低精度（高精÷低精，返回商和余数）。所有代码均以字符串读入，输出字符串结果，逻辑清晰，适合竞赛或工程使用。

总思路:模拟竖式的加减乘除的方法.

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一、高精度加法

思路

模拟竖式加法：

1. 将两个数字字符串按从低位到高位 （即个位在前）存入 vector<int>。
2. 从低位到高位逐位相加，同时维护进位 jw。
3. 每一位结果为 (a[i] + b[i] + jw) % 10，进位为 /10。
4. 最后如果进位非零，补到最高位。
5. 将结果倒序转回字符串。

代码（函数模板）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

string a, b;

string gjadd(string x, string y)
{
    int lenx = x.size(), leny = y.size();
    int cs = max(lenx, leny); // 最长的位数
    vector<int> a, b, sum;

    // 倒序存储，个位在 index 0
    for (int i = lenx - 1; i >= 0; i--)
        a.push_back(x[i] - '0');
    for (int i = leny - 1; i >= 0; i--)
        b.push_back(y[i] - '0');

    int tmp = 0, jw = 0;
    for (int i = 0; i < cs; i++)
    {
        tmp = jw;
        if (i < lenx) tmp += a[i];
        if (i < leny) tmp += b[i];
        jw = tmp / 10;
        sum.push_back(tmp % 10);
    }
    if (jw != 0) sum.push_back(jw); // 最高位进位

    string ans = "";
    for (int i = sum.size() - 1; i >= 0; i--)
        ans += char(sum[i] + '0');
    return ans;
}

int main()
{
    cin >> a >> b;
    cout << gjadd(a, b);
    return 0;
}

注意

• 无需去除前导零（加法不会产生多余零，除非 0+0=0，此时保留一个 0 是合理的）。
• 支持任意长度，只需内存足够。

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二、高精度减法

思路

模拟竖式减法，但需要先判断结果符号：

1. 若被减数小于减数（长度短，或长度相等且字典序小），则交换两数，并在答案前加负号 "-"。
2. 将两数倒序存入 vector。
3. 从低位到高位逐位相减，若不够减则向高位借位（jw=1，当前位加 10）。
4. 最后去除结果向量末尾的多余零（前导零）。
5. 倒序输出，若之前标记了负号则先加上。

代码（函数模板）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

string a, b;

string gjsub(string x, string y)
{
    int lenx = x.size(), leny = y.size();
    string ans = "";
    // 判断符号，保证 x >= y
    if (lenx < leny)
    {
        ans += "-";
        swap(x, y);
        swap(lenx, leny);
    }
    else if (lenx == leny)
    {
        if (x < y) 
        {
            ans += "-";
            swap(x, y);
        }
    }

    int cs = max(lenx, leny);
    vector<int> a, b, sum;

    for (int i = lenx - 1; i >= 0; i--)
        a.push_back(x[i] - '0');
    for (int i = leny - 1; i >= 0; i--)
        b.push_back(y[i] - '0');

    int tmp = 0, jw = 0; // jw 为借位
    for (int i = 0; i < cs; i++)
    {
        tmp = a[i] - jw;
        if (i < leny) tmp -= b[i];
        if (tmp < 0)
        {
            jw = 1;
            tmp += 10;
        }
        else
        {
            jw = 0;
        }
        sum.push_back(tmp);
    }

    // 去除前导零（但至少保留一位）
    while ((int)sum.size() > 1 && sum.back() == 0)
        sum.pop_back();

    for (int i = sum.size() - 1; i >= 0; i--)
        ans += char(sum[i] + '0');

    return ans;
}

int main()
{
    cin >> a >> b;
    cout << gjsub(a, b);
    return 0;
}

注意

• 比较两数大小时，长度不同直接比长度，长度相同用字符串字典序（C++ 的 string 比较与数值字典序一致，因为都是数字字符）。
• 借位处理是关键：tmp = a[i] - jw - (i < leny ? b[i] : 0)，若小于 0 则加 10 并标记借位。
• 去前导零时，sum 是低位在前，所以末尾是最高位。

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三、高精度乘法（高精 × 高精）

思路

模拟竖式乘法，使用卷积思想：

1. 将两个数倒序存入 vector<int>。
2. 双重循环，sum[i+j] += a[i] * b[j]（不考虑进位）。
3. 统一处理进位：从低位到高位，将每一位 sum[i] 的十位及以上进位到下一位。
4. 去除结果末尾的前导零（高位零）。
5. 倒序输出。

代码（函数模板）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

string a, b;

string gjmul(string x, string y)
{
    int lenx = x.size(), leny = y.size();
    int cs = lenx + leny; // 乘积最多 lenx+leny 位
    vector<int> a, b, sum(cs, 0);

    for (int i = lenx - 1; i >= 0; i--)
        a.push_back(x[i] - '0');
    for (int i = leny - 1; i >= 0; i--)
        b.push_back(y[i] - '0');

    // 无进位累乘
    for (int i = 0; i < lenx; i++)
        for (int j = 0; j < leny; j++)
            sum[i + j] += a[i] * b[j];

    // 统一进位
    int jw = 0;
    for (int i = 0; i < cs; i++)
    {
        int tmp = jw + sum[i];
        jw = tmp / 10;
        sum[i] = tmp % 10;
    }

    // 去除前导零（高位在末尾）
    while ((int)sum.size() > 1 && sum.back() == 0)
        sum.pop_back();

    string ans = "";
    for (int i = sum.size() - 1; i >= 0; i--)
        ans += char(sum[i] + '0');
    return ans;
}

int main()
{
    cin >> a >> b;
    cout << gjmul(a, b);
    return 0;
}

注意

• 乘积位数最多为 lenx + leny，分配 sum 大小为 lenx+leny 可以保证进位不越界。
• 进位处理放在双重循环之后，更简洁，且避免反复取模。
• 去前导零时，如果结果为 0，保留一个 0。

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四、高精度除以低精度（高精 ÷ 低精）

思路

模拟除法竖式，从高位到低位逐位求商：

1. 除数 b 是 long long 类型（低精度）。
2. 用字符串 x 存储被除数，从最高位开始，维护当前余数 ys。
3. 每一步：tmp = ys * 10 + 当前位数字，商位 = tmp / b，余数更新为 tmp % b。
4. 将所有商位存入 deque<int>，然后去除前导零（高位零）。
5. 返回结构体 Number，包含商（字符串）和余数（long long）。

代码（函数模板）

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

string a;
int b;

struct Number
{
    string shang;
    ll yu;
};

Number gaochudi(string x, ll y)
{
    Number cur;

    // 除数为 0 时返回特殊标识
    if (y == 0LL)
    {
        cur.shang = "-1";
        cur.yu = 0;
        return cur;
    }

    int lenx = x.size();
    deque<int> a, sum;

    for (int i = 0; i < lenx; i++)
        a.push_back(x[i] - '0');

    ll ys = 0;
    for (int i = 0; i < lenx; i++)
    {
        ll tmp = ys * 10 + a[i];
        sum.push_back(tmp / y);
        ys = tmp % y;
    }

    // 去除前导零（高位在 front）
    while ((int)sum.size() > 1 && sum.front() == 0)
        sum.pop_front();

    string ans = "";
    for (int i = 0; i < (int)sum.size(); i++)
        ans += char(sum[i] + '0');

    cur.shang = ans;
    cur.yu = ys;
    return cur;
}

int main()
{
    cin >> a >> b;
    Number tp = gaochudi(a, b);
    cout << tp.shang << endl << tp.yu;
}

注意

• 除数为 0 时，模板返回 "-1" 作为错误标识（实际使用时需注意）。
• 因为低精度除法，余数 ys 不会超过 y-1，用 long long 足够。
• 使用 deque 便于从头部弹出前导零，也可以改用 vector 然后反转。

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五、综合对比与使用建议

运算	输入类型	输出类型	核心技巧
加法	两个字符串	字符串	倒序相加，处理进位
减法	两个字符串	字符串	判断符号，借位处理，去前导零
乘法	两个字符串	字符串	卷积累乘，统一进位，去前导零
除法（高精÷低精）	字符串 + long long	结构体（商+余数）	从高位模拟竖式，余数迭代

所有模板均以字符串作为输入输出，便于处理任意长度的大整数，且代码风格统一，易于集成。

改进扩展

• 高精 ÷ 高精 需要更复杂的试商过程，此处未提供。
• 可以增加负数支持（目前除法仅处理非负）。
• 乘法可优化为 FFT（快速傅里叶变换）以处理超长位数，但模板中的 O(n2)O(n^2)O(n2) 对于几千位以内的竞赛题已足够。

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六、测试样例

「注」：觉得信不过的可以拿去测一下

加法

输入：12345678901234567890 98765432109876543210

输出：111111111011111111100

减法

输入：10000000000000000000 1

输出：9999999999999999999

乘法

输入：123456789 987654321

输出：121932631112635269

除法 （高精 ÷ 低精）

输入：1234567890123456789 12345

输出：

100005098674803

3024 （余数）

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希望这份博客能帮助你快速掌握高精度计算的核心。若有疑问，欢迎留言交流！

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