1.历史
- 1831年，英国物理学家迈克尔·法拉第 通过一系列实验发现：当穿过闭合导体回路的磁通量发生变化时，回路就会产生电流。经典实验包括：
- 磁铁插入或拔出线圈
- 通有变化电流的线圈靠近另一线圈
- 在恒定磁场中移动导体回路
- 法拉第将其总结为磁生电现象，但当时并未给出严格的数学描述。
- 1834年，愣次提出判定感应电流方向的愣次定律，也即感应电流的方向，总是使其产生的磁场，阻碍引起感应电流的磁通量变化，或简洁地说：感应电流的效果总是反抗引起它的原因。
1.1电动势
首先介绍电动势的概念，它容易与电压 的概念相混淆。从根本上说，它描述的是非静电力做功，将其它形式的能量转化为电能的能力 ，简言之就是：非静电力将单位负电荷从正极移到负极所做的功 ，常用符号ε\varepsilonε或E\bm{E}E表示，单位与电压相同，都是伏特。
这么说，在一个电路中，电池的外部是负电荷从负极移到正极，形成电流。而电池内部则利用化学能将电子从正极再搬回负极，形成循环。这个电池内部做的功就叫做电动势。我们这样定义。有一个吐血的事实是，人们往往考虑到电流的方向由于历史原因被定义成了正电荷从正级到负级（实际上是负电荷从负级到正级），所以为了兼顾这个事实会把电池内部定义成从负级到正级，这样本来从正级到负级搬运的负电荷，就得等效于完全不存在的从负极到正级搬运正电荷，后面都会说搬运的是等效正电荷而非实际的负电荷，这太恶心了，但是因为历史原因，电流的方向定义改变成本太高，只能这么来：
ε=∫负级正级Ek⋅dl \varepsilon = \int_{负级}^{正级}\bm{E}_k\cdot d\bm{l} ε=∫负级正级Ek⋅dl
对上述公式做如下解释：
- Ek\bm{E}_kEk：非静电力场。
- 我们这样想象，在电池内部，正电荷都聚集在正极，负电荷都聚集在负级，在导线中正电荷都跑向了负极。在电池内部它不可能自发的回到正级，因为正级聚集的大量正电荷会产生静电场E=Fq\bm{E}=\frac{\bm{F}}{q}E=qF，它对每个在负极的正电荷qqq施加一个F=qE\bm{F}=q\bm{E}F=qE的力阻止在电池内部从负级移向正极。
- 那么它怎么又移过去了呢，这就是化学能走了作用，对其也施加了一个力将其从负级给搬了过去，这个力我们起个名字叫非静电力F非\bm{F}_{非}F非 ，为了统一表述，我们把其也描述为一个场Ek\bm{E}_kEk对其的作用力，也即虚拟出来一个Ek=F非q\bm{E}k=\frac{\bm{F}{非}}{q}Ek=qF非。
- 电动势的定义是搬运单位电荷所做的功，如果搬运的电荷量是qqq，所做的功是WWW。则电动势ε=Wq\varepsilon=\frac{W}{q}ε=qW
- 正电荷从负级到正级走的路程是dld\bm{l}dl，施加的力F非=qEk\bm{F}_{非}=q\bm{E}_kF非=qEk，所以所做的功WWW是：W=qEk⋅dlW=q\bm{E}k\cdot d\bm{l}W=qEk⋅dl，则电动势是
ε=Wq=∫负级正级Ek⋅dl \varepsilon = \frac{W}{q}=\int{负级}^{正级}\bm{E}_k\cdot d\bm{l} ε=qW=∫负级正级Ek⋅dl
2.法拉第电磁感应定律定义
法拉第电磁感应的现代描述为：
当穿过任一闭合回路的磁通量Φ\PhiΦ随时间发生变化时，回路中产生的感应电动势ε\varepsilonε的大小与磁通量的变化率成正比，方向由愣次定律决定，即：感应电动势总是阻碍引起其变化的磁通量的变化。
数学表达为：
ε=−dΦdt \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} ε=−dtdΦ
其中Φ=∫SB⋅dS\Phi = \int_S\bm{B}\cdot d{\bm{S}}Φ=∫SB⋅dS是通过回路CCC所围曲面SSS的磁通量，负号体现愣次定律。
3.物理意义
- 电与磁的统一：说明了变化的磁场是电场的源，打破了电场与磁场孤立的认识。
- 涡旋电场：感应电动势对应的电场的力是非保守力，电场线是涡旋的呈闭合状态。这与静电场有本质区别。
- 能量守恒：愣次定律符号为负，总是反抗电通量变化，是能量守恒的体现。
- 工程基础：变压器、感应电机、电磁炉、无线充电等都是基于此。
- 电磁波的理论基石：与麦克斯韦-安培定律结合，预言了电磁波的存在。
4.积分形式
法拉第电磁感应定律是实验定律，并不是推导出来的定律。但是基于电动势和磁通量的定义我们仍然可以将其写成精确的数学形式，并由此推导出积分、微分以及相量形式。
设空间内闭合路径CCC所围成的闭合曲面SSS其磁通量Φ\PhiΦ为：
Φ=∫SB⋅dS \Phi = \int_S\bm{B}\cdot d\bm{S} Φ=∫SB⋅dS
由法拉第的实验结论，感生电动势ε\varepsilonε为磁通量的变化率：
ε=−dΦdt=−ddt∫SB⋅dS \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt} \int_S\bm{B}\cdot d\bm{S} ε=−dtdΦ=−dtd∫SB⋅dS
在静止媒质中(回路形状和位置不变)，感应电动势的实质是单位正电荷沿回路绕一圈，感生电场E\bm{E}E所做的功：
ε=∮CE⋅dl \varepsilon = \oint_C\bm{E}\cdot d{\bm{l}} ε=∮CE⋅dl
于是得到：
∮CE⋅dl=−ddt∫SB⋅dS \oint_C\bm{E}\cdot d{\bm{l}}=-\frac{d}{dt} \int_S\bm{B}\cdot d\bm{S} ∮CE⋅dl=−dtd∫SB⋅dS
对于静止回路，曲面SSS不随时间改变，和dtdtdt无关，因此可以将上述积分等式右边时间dtdtdt改为只针对B\bm{B}B的偏导数：
∮CE⋅dl=−∫S∂B∂t⋅dS\boxed{ \oint_C\bm{E}\cdot d{\bm{l}}=-\int_S\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}\cdot d\bm{S} }∮CE⋅dl=−∫S∂t∂B⋅dS
上述等式右侧为：随时间变化的磁场 产生等式左边的电动势（产生的磁场将回路中的正电荷从负级搬向了正级；
5.微分形式推导
5.1斯托克斯定理
设有一个开曲面SSS，其边界为一条闭合曲线CCC。对于在空间内连续可微的矢量场E\bm{E}E，斯托克斯定理表述为：
∮cE⋅dl=∫S(∇×E)⋅dE \oint_c\bm{E}\cdot d\bm{l}=\int_S(\nabla \times \bm{E})\cdot d{\bm{E}} ∮cE⋅dl=∫S(∇×E)⋅dE
其中：
- 左边是矢量场E\bm{E}E，沿闭合回路CCC的环量。环量也即E\bm{E}E在环路上推着你走的这个量，注意是点乘，也就是说当二者垂直是环量为0。
- 右侧是E\bm{E}E的旋度在SSS上的通量。
其含义是显尔易见的，不再推导：
一个矢量场在一片区域内的微元涡旋强度的总和，等于该区域边界上的宏观环量。
- 旋度∇×E\nabla \times \bm{E}∇×E：微分，描述某一点的局部旋转趋势。
- 环量∮E⋅dl\oint\bm{E}\cdot d\bm{l}∮E⋅dl：积分，描述场沿一个闭合路径推动粒子做功的趋势。
斯托克斯公式的神奇之处在于：把边界上所有微小的切线贡献加起来，竟然等于内部所有微小旋涡面密度的总和。
5.2法拉第电磁感应定律微分形式推导
利用矢量的斯托克斯公式：
∮cE⋅dl=∫S(∇×E)⋅dS \oint_c\bm{E}\cdot d\bm{l}=\int_S(\nabla \times \bm{E})\cdot d{\bm{S}} ∮cE⋅dl=∫S(∇×E)⋅dS
将其代入：
∮CE⋅dl=−∫S∂B∂t⋅dS \oint_C\bm{E}\cdot d{\bm{l}}=-\int_S\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}\cdot d\bm{S} ∮CE⋅dl=−∫S∂t∂B⋅dS
得：
∫S(∇×E)⋅dS=−∫S∂B∂t⋅dS \int_S(\nabla \times \bm{E})\cdot d{\bm{S}}=-\int_S\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}\cdot d\bm{S} ∫S(∇×E)⋅dS=−∫S∂t∂B⋅dS
有：
∇×E=∂B∂t\boxed{ \nabla \times \bm{E}=\frac{\partial \bm{B}}{\partial t} }∇×E=∂t∂B
右侧还是随时间变化的磁场，产生左侧的有旋度的涡旋电场。