柱坐标下的拉普拉斯变换

1.柱坐标和柱坐标下的微元

柱坐标系

在有些应用场景下，定义柱状坐标更方便用于计算。柱面坐标系定义如下：

把由 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)表达的空间上的一点，改由 ( r , θ , z ) (r,\theta,z) (r,θ,z)来进行表达，如上图所示：

r r r：代表该点在 x O y xOy xOy平面上投影的点离原点的距离。
θ \theta θ：代表在 x O y xOy xOy面上投影与 x x x轴的夹角。
z z z：代表该点的 z z z坐标。

其与直角坐标的转换关系如下：

{ x = r c o s θ y = r s i n θ z = z \left\{ \begin{aligned} x &= rcos\theta \\ y &= rsin\theta \\ z &= z \end{aligned} \right. ⎩ ⎨ ⎧xyz=rcosθ=rsinθ=z

其中：

r ∈ [ 0 , + ∞ ) r\in [0, +\infty) r∈[0,+∞)
θ ∈ [ 0 , 2 π ) \theta \in [0, 2\pi) θ∈[0,2π)
z ∈ ( − ∞ , ∞ ) z \in (-\infty, \infty) z∈(−∞,∞)

那么已知 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)也可以求出 ( r , θ , z ) (r, \theta, z) (r,θ,z):

{ r = x 2 + y 2 θ = a r c t a n ( y / x ) z = z \left\{ \begin{aligned} r &= \sqrt{x^2+y^2} \\ \theta &= arctan(y/x) \\ z &= z \end{aligned} \right. ⎩ ⎨ ⎧rθz=x2+y2 =arctan(y/x)=z

柱坐标系下的微元定义

取出柱坐标中的一个微元体，由以下六个面包围：

径向边界： r r r到 r + d r r+dr r+dr
角向边界： θ \theta θ到 θ + d θ \theta + d\theta θ+dθ
轴向边界： z z z到 z + d z z+dz z+dz

这个微元体的各边长度（线元）分别为：

径向边长： d r dr dr
角向边长： r d θ rd\theta rdθ，注意这里是弧长
轴向边长： d z dz dz

微元的体积为： d V = ( d r ) ⋅ ( r d θ ) ⋅ ( d z ) = r d r d θ d z dV=(dr)\cdot(rd\theta)\cdot(dz)=rdrd\theta dz dV=(dr)⋅(rdθ)⋅(dz)=rdrdθdz

2.在柱坐标系 ( r , θ , z ) (r,\theta,z) (r,θ,z)下的拉普拉斯算子：

先说结论：

Δ f = ∇ 2 f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 \boxed{ \Delta f=\nabla^2f=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}+\frac{\partial ^2f}{\partial z^2} } Δf=∇2f=r1∂r∂(r∂r∂f)+r21∂θ2∂2f+∂z2∂2f

把 ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) \frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right) ∂r∂(r∂r∂f)看成是两个函数 r r r和 ∂ f ∂ r \frac{\partial f}{\partial r} ∂r∂f的乘积的导数，设 g ( r ) = ( r ∂ f ∂ r ) g(r)=\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right) g(r)=(r∂r∂f)，则：

∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) = g ′ ( r ) \frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)=g'(r) ∂r∂(r∂r∂f)=g′(r)

g ( t ) = u v g(t)=uv g(t)=uv是乘积函数，其中：

{ u = r ⇒ u ′ = 1 v = ∂ f ∂ r ⇒ v ′ = ∂ 2 f ∂ r 2 \left\{ \begin{aligned} u &= r \Rightarrow u'=1\\ v &= \frac{\partial f}{\partial r} \Rightarrow v'=\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} \end{aligned} \right. ⎩ ⎨ ⎧uv=r⇒u′=1=∂r∂f⇒v′=∂r2∂2f

∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) = g ′ ( r ) = ∂ f ∂ r + r ∂ 2 f ∂ r 2 \frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)=g'(r)=\frac{\partial f}{\partial r}+r\frac{\partial^2f}{\partial r^2} ∂r∂(r∂r∂f)=g′(r)=∂r∂f+r∂r2∂2f

则把 Δ f \Delta f Δf展开为：

Δ f = ∇ 2 f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 1 r ∂ f ∂ r + ∂ 2 f ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 \begin{aligned} \Delta f=\nabla^2f&=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}+\frac{\partial ^2f}{\partial z^2}\\ &=\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\partial^2f}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}+\frac{\partial ^2f}{\partial z^2} \end{aligned} Δf=∇2f=r1∂r∂(r∂r∂f)+r21∂θ2∂2f+∂z2∂2f=r1∂r∂f+∂r2∂2f+r21∂θ2∂2f+∂z2∂2f

整理得以下更常用的形式：

Δ f = ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ r 2 + 1 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 \boxed{ \Delta f=\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}+\frac{\partial ^2f}{\partial z^2} } Δf=∇2f=∂r2∂2f+r1∂r∂f+r21∂θ2∂2f+∂z2∂2f

为什么多出来 1 r ∂ f ∂ r \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} r1∂r∂f以及为什么角向部分的前面有个 1 r 2 \frac{1}{r^2} r21，原因是：因为当半径 r r r变化时，单位弧长和微元面积/体积都在随 r r r伸缩。笛卡尔坐标是"均匀的"，而柱坐标是"不均匀的"。下面我们一步步推导这个伸缩效应。

3.推导方法一：基于"通量守恒"的几何直观

拉普拉斯算子本质是"梯度的散度"： Δ f = ∇ ⋅ ( ∇ f ) \Delta f=\nabla\cdot(\nabla f) Δf=∇⋅(∇f)。我们直接在柱坐标中取一个无限小的弯曲控制体，计算流入流出的净通量。

第一步：计算在 θ , r , z \theta, r, z θ,r,z这三个方向上的净流出量（散度的定义） lim ⁡ V → 0 通过封闭曲面 S 的净通量 V \lim_{V\to 0}\frac{通过封闭曲面S的净通量}{V} limV→0V通过封闭曲面S的净通量

(1)：径向(r方向）的净通量

梯度在径向的分量是

径向梯度 = ∂ f ∂ r 径向梯度=\frac{\partial f}{\partial r} 径向梯度=∂r∂f

也即 f r f_r fr

在外表面 ( r + d r ) (r+dr) (r+dr)处，通量流出为：
( f r ) r + d r × 外表面面积 S (f_r)_{r+dr}\times 外表面面积S (fr)r+dr×外表面面积S

外表面面积 S S S= $角向弧长 ( r + d r ) d θ (r+dr)d\\theta (r+dr)dθ$ × \times × $轴向高度 d z dz dz$ = ( r + d r ) d θ ⋅ d z (r+dr)d\theta\cdot dz (r+dr)dθ⋅dz

在内表面 r r r处，通量流入为负，通量流出为：
( f r ) r × 内表面面积 S (f_r)_{r}\times 内表面面积S (fr)r×内表面面积S

内表面面积 S S S= r d θ ⋅ d z rd\theta\cdot dz rdθ⋅dz

径向总流出：

净 r = ( f r ) r + d r ⋅ ( r + d r ) d θ d z − ( f r ) r ⋅ r d θ d z 净_r=(f_r)_{r+dr}\cdot(r+dr)d\theta dz-(f_r)_r\cdot rd\theta dz 净r=(fr)r+dr⋅(r+dr)dθdz−(fr)r⋅rdθdz

提取公因子 d θ d z d\theta dz dθdz，并相对于 r ( f r ) r + d r r(f_r){r+dr} r(fr)r+dr，忽略 d r ( f r ) r + d r dr(f_r){r+dr} dr(fr)r+dr得：

净 r = $r ( f r ) r + d r - ( r f r ) r$ d θ d z 净_r= $r(f_r)_{r+dr}-(rf_r)_r$ d\theta dz 净r= $r(fr)r+dr-(rfr)r$ dθdz

根据导数的定义：

( r f r ) r + d r − ( r f r ) r = ∂ ∂ r ( r f r ) ⋅ d r (rf_r)_{r+dr}-(rf_r)_r=\frac{\partial}{\partial r}(rf_r)\cdot dr (rfr)r+dr−(rfr)r=∂r∂(rfr)⋅dr

净 r = ∂ ∂ r ( r f r ) ⋅ d r d θ d z 净_r= \frac{\partial}{\partial r}(rf_r)\cdot dr d\theta dz 净r=∂r∂(rfr)⋅drdθdz

(2)：角向净通量

物理学关心的是沿着弧长走，每米变化了多少，所以要把角度变化率除以弧长 r r r换算成每米的变化率。

角向梯度 = ∂ f ∂ ( 弧长 ) = ∂ f r ∂ θ = 1 r ∂ f ∂ θ 角向梯度=\frac{\partial f}{\partial {(弧长)}}=\frac{\partial f}{r\partial \theta}=\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} 角向梯度=∂(弧长)∂f=r∂θ∂f=r1∂θ∂f

两个角向面( θ \theta θ和 θ + d θ \theta + d\theta θ+dθ)的面积均为：径向长度 × \times ×轴向长度= d r d z drdz drdz，这符合逻辑，不管 θ \theta θ是哪个角度，角向而的面积总是相同的，不随角度的变化而改变。

角向总净流出：

净 θ = $1 r \partial f \partial θ$ θ + d θ ⋅ d r d z − $1 r \partial f \partial θ$ θ ⋅ d r d z 净_\theta=\left $\\frac{1}{r}\\frac{\\partial f}{\\partial \\theta}\\right$ {\theta + d\theta}\cdot drdz - \left $\\frac{1}{r}\\frac{\\partial f}{\\partial \\theta}\\right$ {\theta}\cdot drdz 净θ= $r1\partialθ\partialf$ θ+dθ⋅drdz− $r1\partialθ\partialf$ θ⋅drdz

又由微分的定义：

∂ ∂ θ ( 1 r ∂ f ∂ θ ) = $1 r \partial f \partial θ$ θ + d θ − $1 r \partial f \partial θ$ θ d θ \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)=\frac{\left $\\frac{1}{r}\\frac{\\partial f}{\\partial \\theta}\\right$ {\theta + d\theta}-\left $\\frac{1}{r}\\frac{\\partial f}{\\partial \\theta}\\right$ {\theta }}{d\theta} ∂θ∂(r1∂θ∂f)=dθ $r1\partialθ\partialf$ θ+dθ− $r1\partialθ\partialf$ θ

代入：

净 θ = ∂ ∂ θ ( 1 r ∂ f ∂ θ ) d θ d r d z 净_\theta=\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)d\theta drdz 净θ=∂θ∂(r1∂θ∂f)dθdrdz

我们再来看这个应该怎么拆 ∂ ∂ θ ( 1 r ∂ f ∂ θ ) \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) ∂θ∂(r1∂θ∂f)，它是对 θ \theta θ的微分，其中 r r r是常数，则：

∂ ∂ θ ( 1 r ∂ f ∂ θ ) = 1 r ∂ 2 f ∂ θ 2 \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)=\frac{1}{r}\frac{\partial ^2f}{\partial \theta^2} ∂θ∂(r1∂θ∂f)=r1∂θ2∂2f

则：

净 θ = ∂ ∂ θ ( 1 r ∂ f ∂ θ ) d θ d r d z = 1 r ∂ 2 f ∂ θ 2 d θ d r d z 净_\theta=\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)d\theta drdz=\frac{1}{r}\frac{\partial ^2f}{\partial \theta^2}d\theta dr dz 净θ=∂θ∂(r1∂θ∂f)dθdrdz=r1∂θ2∂2fdθdrdz

(3)：轴向（ z z z方向）的净通量

轴向和笛卡尔坐标一样

轴向梯度 = ∂ f ∂ z 轴向梯度=\frac{\partial f}{\partial z} 轴向梯度=∂z∂f

两个端的面积也相等，近似为一个矩形， r d θ d r rd\theta dr rdθdr

净 z = $\partial f \partial z$ z + d z ⋅ r d θ d r − $\partial f \partial z$ z ⋅ r d θ d r = ∂ 2 f ∂ z 2 ⋅ r d r d θ d z 净_z=\left $\\frac{\\partial f}{\\partial z}\\right$ {z+dz}\cdot rd\theta dr-\left $\\frac{\\partial f}{\\partial z}\\right$ {z}\cdot rd\theta dr=\frac{\partial^2f}{\partial z^2}\cdot rdrd\theta dz 净z= $\partialz\partialf$ z+dz⋅rdθdr− $\partialz\partialf$ z⋅rdθdr=∂z2∂2f⋅rdrdθdz

总通量的公式

总净通量 = 净 r + 净 θ + 净 z 总净通量=净_r+净_\theta+净_z 总净通量=净r+净θ+净z

总净通量 = $\partial \partial r ( r f r ) + 1 r \partial 2 f \partial θ 2 + r \partial 2 f \partial z 2$ d r d θ d z 总净通量=\left $\\frac{\\partial}{\\partial r}(rf_r)+\\frac{1}{r}\\frac{\\partial \^2f}{\\partial \\theta\^2}+r\\frac{\\partial \^2f}{\\partial z\^2}\\right$ drd\theta dz 总净通量= $\partialr\partial(rfr)+r1\partialθ2\partial2f+r\partialz2\partial2f$ drdθdz

（散度的定义） lim ⁡ V → 0 通过封闭曲面 S 的净通量 V \lim_{V\to 0}\frac{通过封闭曲面S的净通量}{V} limV→0V通过封闭曲面S的净通量，其中 d V = d r d θ d z dV=drd\theta dz dV=drdθdz，最终：

4.推导方法二：从笛卡尔到柱坐标的链式法则（代数视角）

已知变换关系，其中 z z z不变， x , y x,y x,y和 r , θ r,\theta r,θ有：

{ x = r c o s θ y = r s i n θ r = x 2 + y 2 \left\{ \begin{aligned} x &= rcos\theta \\ y &= rsin\theta \\ r &= \sqrt{x^2+y^2} \end{aligned} \right. ⎩ ⎨ ⎧xyr=rcosθ=rsinθ=x2+y2

上面得出：

∂ ∂ x = c o s θ ∂ ∂ r − s i n θ r ∂ ∂ θ , ∂ ∂ y = s i n θ ∂ ∂ r + c o s θ r ∂ ∂ θ \frac{\partial}{\partial x}=cos\theta\frac{\partial}{\partial r}-\frac{sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}, \frac{\partial}{\partial y}=sin\theta\frac{\partial}{\partial r}+\frac{cos\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} ∂x∂=cosθ∂r∂−rsinθ∂θ∂,∂y∂=sinθ∂r∂+rcosθ∂θ∂

然后将上面两个算子平方后相加，最终经过复杂的代数运算，由 r = x 2 + y 2 r=\sqrt{x^2+y^2} r=x2+y2 最终消除一切 x , y x,y x,y同样可以得出和方法一一样的结果。较为繁琐，容易出错。

5.逐项解读几何与物理意义

第一项（径向项）： 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right) r1∂r∂(r∂r∂f)

展开后为： ∂ 2 f ∂ r 2 + 1 r ∂ f ∂ r \frac{\partial ^2 f}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} ∂r2∂2f+r1∂r∂f

∂ 2 f ∂ r 2 \frac{\partial ^2 f}{\partial r^2} ∂r2∂2f这是纯粹的径向弯曲（直接沿半径方向的二阶导数），和笛卡尔坐标下的二阶完全一致。
1 r ∂ f ∂ r \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} r1∂r∂f（新增项）：这是面积膨胀的补偿项。
- 假设有一个同心圆环，温度 f f f沿径向均匀上升（即 ∂ f ∂ r = C \frac{\partial f}{\partial r}=C ∂r∂f=C常数）
- 在笛卡尔坐标下，如果导数恒定，二阶导为0，没有热积累。
- 但在柱坐标下，内圈周长小，外圈周长大。即使径向梯度恒定，外圈流出的通量也比内圈通量多（因为外圈面积大），导致净流出为正，需要这一项来修正。
- 物理类比：向平静水面扔一颗石子，波纹向外扩散时，波幅必然衰减（因为能量分布在越来越大的圆周上）。这个衰减率正是由 1 r ∂ f ∂ r \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} r1∂r∂f来描述的。

第二项（角向项）： 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial \theta^2} r21∂θ2∂2f

这告诉我们，离轴 r r r越远，角向变化拉的越开（因为 ∂ 2 f ∂ θ 2 \frac{\partial^2f}{\partial \theta^2} ∂θ2∂2f是个常量），局部的弯曲效应就越弱。

第三项（轴向项）： ∂ 2 f ∂ z 2 \frac{\partial ^2 f}{\partial z^2} ∂z2∂2f

这一项和笛卡尔坐标是一样的。

也就是在柱坐标下，径向面积膨胀 1 r f r \frac{1}{r}fr r1fr，角向弧长拉伸 1 r 2 \frac{1}{r^2} r21