参考方向
如图所示，是变压器的原理图。其中， ϕ \phi ϕ是变压器铁芯的有效磁通， ϕ 1 \phi_1 ϕ1是主线圈的漏磁通， ϕ 2 \phi_2 ϕ2是副线圈的漏磁通。图中 u 1 u_1 u1为初级线圈输入电压， i 1 i_1 i1为初级线圈输入电流， e 1 e_1 e1为初级线圈产生的感应电动势，其参考方向为图中所示（本文的次级线圈端参考方向与绝大多数资料的参考方向相反）。
电路分析
在初级线圈上，输入电压抵消掉反电动势、漏磁的反电动势和初级线圈的内阻损耗（或称铜损）。在次级线圈上，输出电压作用于负载，并抵消次级线圈的内阻（或称铜损）。可得：
U 1 = E 1 + E 1 σ + I 1 ⋅ r 1 E 2 = I 1 ⋅ ( r 2 + Z L ) U_1=E_1+E_{1\sigma}+I_1\cdot r_1\\ E_2=I_1\cdot (r_2+Z_L) U1=E1+E1σ+I1⋅r1E2=I1⋅(r2+ZL)式中 E 1 σ E_{1\sigma} E1σ为漏磁的反电动势， r 1 r_1 r1为初级线圈的内阻， r 2 r_2 r2为次级线圈的内阻。
磁路分析
在初级线圈上，输入电流产生的磁动势为 F 1 F_1 F1，漏磁等效磁动势为 F 1 σ F_{1\sigma} F1σ；在次级线圈上，输出电流产生的磁动势为 F 2 F_2 F2，漏磁等效磁动势为 F 2 σ F_{2\sigma} F2σ；铁芯的磁滞损耗和涡流损耗等效磁动势为 F F e F_{Fe} FFe。根据磁路欧姆定律可得：
F 1 = N 1 ⋅ I 1 F 2 = N 2 ⋅ I 2 Φ = [ ( F 1 − F 1 σ ) − ( F 2 − F 2 σ ) − F F e ] / R F_1=N_1\cdot I_1\\ F_2=N_2 \cdot I_2\\ \Phi=[(F_1-F_{1\sigma})-(F_2-F_{2\sigma})-F_{Fe}]/R F1=N1⋅I1F2=N2⋅I2Φ=[(F1−F1σ)−(F2−F2σ)−FFe]/R
式中 R R R是磁路中得磁阻。
电磁感应分析
根据电磁感应定律，初级线圈的电流产生的磁动势为
F 1 = N 1 ⋅ I 1 F_1=N_1\cdot I_1 F1=N1⋅I1
磁产生的电动势为
e 1 = − N 1 ⋅ d ϕ d t e_1=-N1\cdot \frac{d\phi}{dt} e1=−N1⋅dtdϕ
或用相量方式写为
E 1 = − N 1 ⋅ ω ⋅ Φ ∠ ( − 9 0 ∘ ) E_1=-N_1 \cdot \omega \cdot \Phi \angle(-90^{\circ}) E1=−N1⋅ω⋅Φ∠(−90∘)
其中 ∠ ( − 9 0 ∘ ) \angle(-90^{\circ}) ∠(−90∘)表示相位角滞后 9 0 ∘ 90^{\circ} 90∘。
同样的在次级线圈有
F 2 = N 2 ⋅ I 2 E 2 + E 2 σ = − N 2 ⋅ ω ⋅ ( Φ − Φ F e ) ∠ ( − 9 0 ∘ ) F_2=N_2\cdot I_2\\E_2+E_{2\sigma}=-N_2 \cdot \omega \cdot (\Phi-\Phi_{Fe}) \angle(-90^{\circ}) F2=N2⋅I2E2+E2σ=−N2⋅ω⋅(Φ−ΦFe)∠(−90∘)其中 E 2 σ E_{2\sigma} E2σ为次级线圈的漏磁产生的电动势， Φ F e \Phi_{Fe} ΦFe为铁损产生的等效磁通
空载运行分析
在空载情况下，没有次级线圈的电流，没有次级线圈的磁动势，在初级线圈有下式
U 10 = E 10 + E σ 0 + I 10 ⋅ r 1 E 10 = − N 10 ⋅ ω ⋅ Φ 0 ∠ ( − 9 0 ∘ ) Φ 0 = [ ( F 10 − F 1 σ 0 ) − F F e ] / R = N 1 I 10 R − Φ Δ 0 U_{10}=E_{10}+E_{\sigma0}+I_{10}\cdot r_1\\ E_{10}=-N_{10} \cdot \omega \cdot \Phi_0 \angle(-90^{\circ})\\ \Phi_0=[(F_{10}-F_{1\sigma0})-F_{Fe}]/R=\frac{N_1I_{10}}{R}-\Phi_{\Delta0} U10=E10+Eσ0+I10⋅r1E10=−N10⋅ω⋅Φ0∠(−90∘)Φ0=[(F10−F1σ0)−FFe]/R=RN1I10−ΦΔ0
式中 Φ Δ 0 \Phi_{\Delta0} ΦΔ0为漏磁损耗和铁损的等效磁通损耗，进一步可得
U 10 = N 1 ω N 1 I 10 R + U Δ 0 + I 10 r 1 U_{10}=N_1\omega \frac{N_1I_{10}}{R}+U_{\Delta0}+I_{10}r_1 U10=N1ωRN1I10+UΔ0+I10r1
式中 U Δ 0 U_{\Delta0} UΔ0漏磁损耗和铁损的等效压降
带负载运行分析
在带负载情况下，次级线圈正常工作，有下式
U 1 = E 1 + E σ + I 1 ⋅ r 1 E 1 = − N 1 ⋅ ω ⋅ Φ ∠ ( − 9 0 ∘ ) Φ = [ ( F 1 − F 1 σ ) − ( F 2 − F 2 σ ) − F F e ] / R F 1 = N 1 ⋅ I 1 ; F 2 = N 2 ⋅ I 2 U_{1}=E_1+E_\sigma+I_1\cdot r_1\\ E_1=-N_1 \cdot \omega \cdot \Phi \angle(-90^{\circ})\\\Phi=[(F_1-F_{1\sigma})-(F_2-F_{2\sigma})-F_{Fe}]/R\\F_1=N_1\cdot I_1 ;F_2=N_2 \cdot I_2 U1=E1+Eσ+I1⋅r1E1=−N1⋅ω⋅Φ∠(−90∘)Φ=[(F1−F1σ)−(F2−F2σ)−FFe]/RF1=N1⋅I1;F2=N2⋅I2
进一步可得
Φ = N 1 I 1 − N 2 I 2 R − Φ Δ \Phi=\frac{N_1I_1-N_2I_2}{R}-\Phi_\Delta Φ=RN1I1−N2I2−ΦΔ
式中 Φ Δ \Phi_{\Delta} ΦΔ为漏磁损耗和铁损的等效磁通损耗
再进一步可得
U 1 = N 1 ω ( N 1 I 1 − N 2 I 2 − Φ Δ R ) ∠ − 9 0 ∘ + E 1 σ + I 1 r 1 = N 1 ω N 1 I 1 − N 2 I 2 R + U Δ + I 1 r 1 U_1=N_1\omega(\frac{N_1I_1-N_2I_2-\Phi_\Delta}{R})\angle-90^{\circ}+E_{1\sigma}+I_1r_1\\=N_1\omega \frac{N_1I_{1}-N_2I_2}{R}+U_{\Delta}+I_{1}r_1 U1=N1ω(RN1I1−N2I2−ΦΔ)∠−90∘+E1σ+I1r1=N1ωRN1I1−N2I2+UΔ+I1r1
磁动势平衡方程
结合两式
U 10 = N 1 ω N 1 I 10 R + U Δ 0 + I 10 r 1 U 1 = = N 1 ω N 1 I 1 − N 2 I 2 R + U Δ + I 1 r 1 U_{10}=N_1\omega \frac{N_1I_{10}}{R}+U_{\Delta0}+I_{10}r_1\\U_1==N_1\omega \frac{N_1I_{1}-N_2I_2}{R}+U_{\Delta}+I_{1}r_1 U10=N1ωRN1I10+UΔ0+I10r1U1==N1ωRN1I1−N2I2+UΔ+I1r1
并且在变压器运行时，输入电压一般不变，即 U 10 = U 1 U_{10}=U_1 U10=U1，所以
N 1 I 1 − N 2 I 2 = N 1 I 10 + ( U Δ 0 − U Δ + I 10 r 1 − I 1 r 1 ) R N 1 ω N_1I_1-N_2I_2=N_1I_{10}+(U_{\Delta0}-U_{\Delta}+I_{10}r_1-I_1r_1)\frac{R}{N_1\omega} N1I1−N2I2=N1I10+(UΔ0−UΔ+I10r1−I1r1)N1ωR
上式为磁动势平衡方程，其中 ( U Δ 0 − U Δ + I 10 r 1 − I 1 r 1 ) R N 1 ω (U_{\Delta0}-U_{\Delta}+I_{10}r_1-I_1r_1)\frac{R} {N_1\omega} (UΔ0−UΔ+I10r1−I1r1)N1ωR为变压器从空载时到带负载时的损耗变化量，一般来说，这个变化量相对其他量可忽略不计，所以磁动势平衡方程可简化为
N 1 ⋅ I 1 − N 2 ⋅ I 2 = N 1 ⋅ I 10 N_1\cdot I_1-N_2\cdot I_2=N_1 \cdot I_{10} N1⋅I1−N2⋅I2=N1⋅I10
对于理想变压器，在空载时，反电动势等于输入电压，即输入电流为0，所以理想变压器的磁动势平衡方程为 N 1 ⋅ I 1 − N 2 ⋅ I 2 = 0 N_1\cdot I_1-N_2\cdot I_2=0 N1⋅I1−N2⋅I2=0即 I 1 I 2 = N 2 N 1 \frac{I_1}{I_2}=\frac{N_2}{N_1} I2I1=N1N2
并且理想变压器的初级和次级线圈的电压情况为
E 1 E 2 = N 1 N 2 = U 1 U 2 \frac{E_1}{E_2}=\frac{N_1}{N_2}=\frac{U_1}{U_2} E2E1=N2N1=U2U1
所以输入功率和输出功率为
P 1 = U 1 I 1 = E 1 I 1 = E 2 I 2 = U 2 I 2 = P 2 P_1=U_1I_1=E_1I_1=E_2I_2=U_2I_2=P_2 P1=U1I1=E1I1=E2I2=U2I2=P2
即理想变压器的输入功率全部作为输出功率。
变压器的等效电路
1. 参数集中化
如图所示，把初级线圈的漏磁等效电感 L σ 1 L_{\sigma 1} Lσ1和铜耗电阻 R C u 1 R_{Cu1} RCu1从变压器中移出来，放在输入端，把变压器内的铁损等效电阻 R F e R_{Fe} RFe和等效电感 L F e L_{Fe} LFe也放在输入端；把次级线圈的漏磁等效电感 L σ 2 L_{\sigma 2} Lσ2和铜耗电阻 R C u 2 R_{Cu2} RCu2也从变压器中移出，放在输出端。这样变压器就是一个理想变压器，只有电压转换，没有任何损耗。
可令 Z 1 Z_1 Z1为输入端移出的初级线圈的漏磁等效电感 L σ 1 L_{\sigma 1} Lσ1和铜耗电阻 R C u 1 R_{Cu1} RCu1组成的阻抗，令 Z m Z_m Zm为输入端移出的铁损等效电阻 R F e R_{Fe} RFe和等效电感 L F e L_{Fe} LFe组成的阻抗，令 Z 2 Z_2 Z2为输出端移出的次级线圈的漏磁等效电感 L σ 2 L_{\sigma 2} Lσ2和铜耗电阻 R C u 2 R_{Cu2} RCu2组成的阻抗
所以
Z 1 = R C u 1 + j ω L σ 1 ; Z m = R F e + j ω L F e ; Z 2 = R C u 2 + j ω L σ 2 ; Z_1=R_{Cu1}+j\omega L_{\sigma 1};\\ Z_m=R_{Fe}+j\omega L_{Fe};\\ Z_2=R_{Cu2}+j\omega L_{\sigma 2}; Z1=RCu1+jωLσ1;Zm=RFe+jωLFe;Z2=RCu2+jωLσ2;
2. 次级向初级归算(变比归一)
通过参数集中化，普通变压器变为一个理想变压器，其变比为
k = N 1 N 2 k=\frac{N_1}{N_2} k=N2N1进一步，如果将变压器的变比归算成一，则更易进行电路等效。根据理想变压器的初级和次级的电压电流关系，将电动势乘于变比 k k k，次级线圈的输出电流除于变比 k k k，如下式所示
{ E 2 ′ = k E 2 I 2 ′ = I 2 / k \begin{cases}E'_2=kE_2\\ I'_2=I_2/k \end{cases} {E2′=kE2I2′=I2/k
此时
{ E 2 ′ = E 1 I 2 ′ = I 1 \begin{cases}E'_2=E_1\\ I'_2=I_1 \end{cases} {E2′=E1I2′=I1
这样变压器的变比即为一，需要注意，此时的阻抗也需进行调整，如下式所示
{ Z 2 ′ = k 2 Z 2 Z L ′ = k 2 Z L \begin{cases}Z'_2=k^2Z_2\\ Z'_L=k^2Z_L \end{cases} {Z2′=k2Z2ZL′=k2ZL
对于变比为1的变压器，其初级和次级的电动势完全相等，输入电流和输出电流完全相等。则变压器在电路中等同于没有。因此变压器进一步变成如下图所示的电路图
3. 等效电路
由上述分析可得如下等效电路
其中 Z m Z_m Zm比 Z 1 Z_1 Z1大很多，因此将 Z m Z_m Zm可以向前进一步放前，可得到更简单得电路。
