【LeetCode】4-寻找两个正序数组的中位数

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寻找两个正序数组的中位数

题目

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n))。

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输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

解法一：二分查找（分割线法）

思路：在较短的数组上用二分法确定分割线位置，使得左半部分最大值 ≤ 右半部分最小值，从而在 O(log(min(m,n))) 时间内求出中位数。

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function findMedianSortedArrays(nums1, nums2) {
  if (nums1.length > nums2.length) {
    [nums1, nums2] = [nums2, nums1];
  }

  const m = nums1.length;
  const n = nums2.length;
  let left = 0;
  let right = m;

  while (left <= right) {
    const i = Math.floor((left + right) / 2);
    const j = Math.floor((m + n + 1) / 2) - i;

    const nums1Left = i === 0 ? -Infinity : nums1[i - 1];
    const nums1Right = i === m ? Infinity : nums1[i];
    const nums2Left = j === 0 ? -Infinity : nums2[j - 1];
    const nums2Right = j === n ? Infinity : nums2[j];

    if (nums1Left <= nums2Right && nums2Left <= nums1Right) {
      if ((m + n) % 2 === 1) {
        return Math.max(nums1Left, nums2Left);
      }
      return (Math.max(nums1Left, nums2Left) + Math.min(nums1Right, nums2Right)) / 2;
    } else if (nums1Left > nums2Right) {
      right = i - 1;
    } else {
      left = i + 1;
    }
  }
}

时间复杂度 / 空间复杂度：O(log(min(m,n))) / O(1)
优势：完全满足题目 O(log(m+n)) 的要求，是面试中的最优解

解法二：双指针归并（暴力法）

思路：用双指针将两个数组合并成一个有序数组，然后直接取中位数。虽然直观易懂，但时间复杂度不满足题目要求。

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function findMedianSortedArrays(nums1, nums2) {
  const merged = [];
  let i = 0;
  let j = 0;

  while (i < nums1.length && j < nums2.length) {
    if (nums1[i] < nums2[j]) {
      merged.push(nums1[i++]);
    } else {
      merged.push(nums2[j++]);
    }
  }

  while (i < nums1.length) merged.push(nums1[i++]);
  while (j < nums2.length) merged.push(nums2[j++]);

  const mid = Math.floor(merged.length / 2);
  if (merged.length % 2 === 1) {
    return merged[mid];
  }
  return (merged[mid - 1] + merged[mid]) / 2;
}

时间复杂度 / 空间复杂度：O(m+n) / O(m+n)
优势：思路简单，适合快速验证逻辑，但不满足题目复杂度要求，面试中不推荐

解法对比

解法	时间 / 空间复杂度	满足 O(log(m+n))	推荐指数
二分查找（分割线法）	O(log(min(m,n))) / O(1)	✅	⭐⭐⭐⭐⭐
双指针归并	O(m+n) / O(m+n)	❌	⭐⭐

扩展题

数据流的中位数：设计一个支持以下两种操作的数据结构：添加一个整数，以及返回当前所有元素的中位数。
两个有序数组的第 K 小元素：给定两个有序数组，找出它们合并后的第 K 小的元素。
寻找两个正序数组的中位数（允许重复元素）：如果数组中有重复元素，中位数的定义是否需要调整？

"天下难事，必作于易；天下大事，必作于细。" ------ 老子

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