[Python] 借助 Turtle 来展示汉诺塔

背景

turtle --- Turtle graphics 中提供了关于 $turtle\text{turtle}$ turtle 模块的介绍。我想到可以用 $turtle\text{turtle}$ turtle 来展示汉诺塔 ( $Tower of Hanoi\text{Tower of Hanoi}$ Tower of Hanoi) 的移动过程。于是写了本文。本文有两个主要部分

提供展示汉诺塔操作的完整 $Python\text{Python}$ Python 代码
提供汉诺塔最小移动次数的分析

正文

完整的代码

我让 trae 帮我生成了相关的代码（我做了些调整），完整的代码如下（为了简化互动过程，代码中只涉及4个盘子）

python 复制代码

import turtle

# ===================== 游戏配置 =====================
NUM_DISKS = 4
TOWER_COUNT = 3

SCREEN_WIDTH = 700
SCREEN_HEIGHT = 500

TOWER_HEIGHT = 180
TOWER_WIDTH = 8
DISK_HEIGHT = 25
DISK_WIDTH_BASE = 50

TOWER_X = [-200, 0, 200]
TOWER_Y = -150

# ===================== 游戏数据 =====================
towers = [[4, 3, 2, 1], [], []]
selected = None
win = False

# ===================== 初始化屏幕和画笔 =====================
screen = turtle.Screen()
screen.setup(SCREEN_WIDTH, SCREEN_HEIGHT)
screen.title("汉诺塔 - Tower of Hanoi")
screen.tracer(0)

pen = turtle.Turtle()
pen.hideturtle()

# ===================== 绘制函数 =====================


def draw_tower(x, y, height):
    pen.penup()
    pen.goto(x - TOWER_WIDTH // 2, y)
    pen.pendown()
    pen.fillcolor("gray")
    pen.begin_fill()
    pen.goto(x + TOWER_WIDTH // 2, y)
    pen.goto(x + TOWER_WIDTH // 2, y + height)
    pen.goto(x - TOWER_WIDTH // 2, y + height)
    pen.goto(x - TOWER_WIDTH // 2, y)
    pen.end_fill()


def draw_disk(x, y, disk_size, is_selected=False):
    width = DISK_WIDTH_BASE + disk_size * 25
    pen.penup()
    pen.goto(x - width // 2, y)
    pen.pendown()

    if is_selected:
        pen.fillcolor("yellow")
    else:
        pen.fillcolor("orange" if disk_size % 2 == 0 else "skyblue")

    pen.begin_fill()
    pen.goto(x + width // 2, y)
    pen.goto(x + width // 2, y + DISK_HEIGHT)
    pen.goto(x - width // 2, y + DISK_HEIGHT)
    pen.goto(x - width // 2, y)
    pen.end_fill()

    pen.pencolor("gray")
    pen.pensize(2)
    pen.goto(x + width // 2, y)
    pen.goto(x + width // 2, y + DISK_HEIGHT)
    pen.goto(x - width // 2, y + DISK_HEIGHT)
    pen.goto(x - width // 2, y)
    pen.pensize(1)
    pen.pencolor("black")


def draw_text(msg, y_offset=150):
    pen.penup()
    pen.goto(0, y_offset)
    pen.pendown()
    pen.write(msg, align="center", font=("Arial", 18, "normal"))


def redraw():
    pen.clear()

    for i in range(TOWER_COUNT):
        draw_tower(TOWER_X[i], TOWER_Y, TOWER_HEIGHT)

    for tower_idx in range(TOWER_COUNT):
        tower = towers[tower_idx]
        x = TOWER_X[tower_idx]
        for disk_idx, disk_size in enumerate(tower):
            y = TOWER_Y + disk_idx * DISK_HEIGHT
            is_selected = (selected == tower_idx)
            draw_disk(x, y, disk_size, is_selected)

    if win:
        draw_text("🎉 You Win! 🎉")
    elif selected is not None:
        draw_text(
            f"Selected Tower {selected + 1} - Click target tower to move"
        )
    else:
        draw_text("Click a tower to pick a disk, then click target tower")

    screen.update()


# ===================== 游戏逻辑 =====================


def move_disk(from_tower, to_tower):
    if not towers[from_tower]:
        return False
    if not towers[to_tower] or towers[from_tower][-1] < towers[to_tower][-1]:
        towers[to_tower].append(towers[from_tower].pop())
        return True
    return False


def check_win():
    return len(towers[2]) == NUM_DISKS


# ===================== 点击事件处理 =====================


def on_click(x, y):
    global selected, win

    if win:
        return

    click_tower = None
    for i in range(TOWER_COUNT):
        if abs(x - TOWER_X[i]) < 80:
            click_tower = i
            break

    if click_tower is not None:
        if selected is None:
            if towers[click_tower]:
                selected = click_tower
        else:
            if move_disk(selected, click_tower):
                win = check_win()
            selected = None

    redraw()


# ===================== 启动游戏 =====================
screen.onclick(on_click)
redraw()
screen.mainloop()

请将上述代码保存为 $hanoi_turtle.py\text{hanoi\_turtle.py}$ hanoi_turtle.py。用以下命令可以运行 $hanoi_turtle.py\text{hanoi\_turtle.py}$ hanoi_turtle.py

bash 复制代码

python3 hanoi_turtle.py

初始效果如下图所示 ⬇️

运行中的效果如下图所示 ⬇️

胜利时的效果如下图所示 ⬇️

最小移动次数分析

相较于汉诺塔的实现，我更关心其背后的数学知识。我在具体数学（英文版第2版）一书第 $11$ 1 章 $Recurrent Problems\text{Recurrent Problems}$ Recurrent Problems 中的 $1.11.1$ 1.1 小节 $THE TOWER OF HANOI\text{THE TOWER OF HANOI}$ THE TOWER OF HANOI 里，看到了相关的分析。按照我的理解，转述如下（有兴趣的读者朋友，可以看看原文）。

我们将汉诺塔问题进行一般化：记盘子的数量为 $nn$ n（ $nn$ n 是正整数），三根柱子分别称为 $A,B,CA,B,C$ A,B,C，我们想把 $nn$ n 个盘子从 $AA$ A 移动到另一个柱子 $BB$ B 或者 $CC$ C，将所需要的最小移动次数称为 $Tn T_n$ Tn。

先观察最简单的情况。

$n=1n=1$ n=1 时，把这个盘子从 $AA$ A 移动到 $BB$ B 或者 $CC$ C 即可，所以 $T1=1 T_1=1$ T1=1。
n=2n=2 n=2 时
- 只操作一次，肯定不行（因为两个盘子至少都得移动一次）
- 只操作两次，也做不到（暴力枚举即可，因为可行的操作非常有限）
- 操作三次是可以的(如果目标柱子是 $CC$ C，那么可以这样操作：较小的盘子 $A→BA\to B$ A→B，然后较大的盘子 $A→CA\to C$ A→C，然后较小的盘子 $B→CB\to C$ B→C)，所以 $T2=3 T_2=3$ T2=3。

当 $nn$ n 更大时，我们总是可以使用如下的三大步策略（假设目标柱子是 $CC$ C）。

将除了最大盘子之外，其他 $n−1n-1$ n−1 个盘子从 $AA$ A 移动到 $BB$ B （通过 $Tn−1 T_{n-1}$ Tn−1 次移动可以做到）
将最大的盘子从 $AA$ A 移动到 $CC$ C （通过 $11$ 1 次移动可以做到）
将除了最大盘子之外，其他 $n−1n-1$ n−1 个盘子从 $BB$ B 移动到 $CC$ C （通过 $Tn−1 T_{n-1}$ Tn−1 次移动可以做到）

因为我们这个策略只是可行策略之一，所以可以得出以下不等式 ⬇️

所以 $Tn≤ Tn−1 +1+ Tn−1 T_n \le T_{n-1} + 1 + T_{n-1}$ Tn≤Tn−1+1+Tn−1，即 $Tn≤2 Tn−1 +1 T_n \le 2 T_{n-1} + 1$ Tn≤2Tn−1+1

至此，我们得到了 $Tn T_n$ Tn 的上界。那么这个策略是不是最优的策略呢？（即，这个策略所需要的移动步数是最少的吗？）。我们来分析一下。

对任意一个成功将 $nn$ n 个盘子从 $AA$ A 移动到 $CC$ C 的完整流程而言，这个流程一定需要移动最大的那个盘子 $Pbiggest P_{biggest}$ Pbiggest。那么以下推断都成立 ⬇️

在第一次移动 $Pbiggest P_{biggest}$ Pbiggest 之前，我们已经将其余 $n−1n-1$ n−1 个盘子移动到 $BB$ B 或者 $CC$ C 上了（按照规则，一个盘子在移动时，其上方不能有其他盘子）
我们至少需要移动 $Pbiggest P_{biggest}$ Pbiggest 一次（否则这个盘子不可能到目标柱子上）
在最后一次移动 $Pbiggest P_{biggest}$ Pbiggest 之后，我们一定需要将其余 $n−1n-1$ n−1 个盘子移动到 $CC$ C 上

所以，对这个完整流程而言，它的移动次数至少是 $Tn−1 +1+ Tn−1 =2 Tn−1 +1 T_{n-1} + 1 + T_{n-1}=2T_{n-1}+1$ Tn−1+1+Tn−1=2Tn−1+1。

于是我们得到 $Tn≥2 Tn−1 +1 T_n \ge 2 T_{n-1} + 1$ Tn≥2Tn−1+1 （即， $nn$ n 个盘子时的最优操作数至少是 $2 Tn−1 +1 2T_{n-1}+1$ 2Tn−1+1）

既然以下两个不等式都成立
$Tn≤2 Tn−1 +1 T_n \le 2 T_{n-1} + 1$ Tn≤2Tn−1+1
$Tn≥2 Tn−1 +1 T_n \ge 2 T_{n-1} + 1$ Tn≥2Tn−1+1

那么，可以得出 $Tn=2 Tn−1 +1 T_n = 2 T_{n-1} + 1$ Tn=2Tn−1+1。

利用高中时学的数列小技巧，我们可以推出 $Tn T_n$ Tn 的通项公式。具体过程如下 ⬇️

在 $Tn=2 Tn−1 +1 T_n = 2 T_{n-1} + 1$ Tn=2Tn−1+1 这个等式两边各自加 $11$ 1，得到
$Tn+1=2( Tn−1 +1) T_n + 1 = 2 (T_{n-1} + 1)$ Tn+1=2(Tn−1+1)

记 $Un=Tn+1 U_n=T_n+1$ Un=Tn+1，那么 $Un U_n$ Un 是以 $22$ 2 为首项， $22$ 2 为公比的等比数列，所以 $Un U_n$ Un 的通项公式为
$Un=2n U_n=2^n$ Un=2n

那么 $Tn=Un−1=2n−1 T_n=U_n-1=2^n-1$ Tn=Un−1=2n−1。也就是说，当 $AA$ A 柱子上有 $nn$ n 个盘子时，我们需要 $2n−12^n-1$ 2n−1 次移动操作，才能将这 $nn$ n 个盘子移动到 $BB$ B 柱子上（或者 $CC$ C 柱子上）。