前缀和：中心下标与数组乘积

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一、左右信息的统一视角

对于下标 i，可以把数组拆成三部分：

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[0, i) + nums[i] + (i, n)

中心下标比较左右两侧的和；除自身以外数组的乘积则把左右两侧的乘积相乘。两题的共同点是都不需要在处理每个 i 时重新扫描左右区间。

二、寻找数组的中心下标

LeetCode 724. 寻找数组的中心下标

设 dp[i] 表示下标 i 左侧所有元素的和，那么 dp[nums.length] 就是整个数组的总和。

如果 i 是中心下标，则有：

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左侧和 = 右侧和
dp[i] = dp[nums.length] - dp[i] - nums[i]

移项后可以直接判断：

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dp[i] * 2 + nums[i] == dp[nums.length]

这样只需要一个前缀和数组，不必再建立后缀和数组。代码从左向右检查，因此找到的第一个结果自然是最靠左的中心下标。

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class Solution {
    public int pivotIndex(int[] nums) {
        long[] dp = new long[nums.length + 1];
        for (int i = 1; i < nums.length + 1; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + nums[i - 1];
        }

        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (dp[i] * 2 + nums[i] == dp[nums.length]) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
}

时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(n)。按照本题约束，int 足以保存总和；这里使用 long 可以降低代码对数值范围的依赖。

三、除了自身以外数组的乘积

LeetCode 238. 除了自身以外数组的乘积

如果先求全部元素的乘积，再除以 nums[i]，遇到 0 时就无法处理，而且题目本身也要求不使用除法。可以分别保存左侧前缀积和右侧后缀积：

dpleft[i]：下标 0 到 i - 1 的元素乘积；
dpright[i]：下标 i 到 len - 1 的元素乘积。

因此，下标 i 的答案为：

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ret[i] = dpleft[i] * dpright[i + 1]

数组两端没有元素的一侧按乘法单位元 1 处理，所以初始化 dpleft[0] = 1、dpright[len] = 1。

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class Solution {
    public int[] productExceptSelf(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int[] dpleft = new int[len + 1];
        int[] dpright = new int[len + 1];

        dpleft[0] = 1;
        dpright[len] = 1;
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            dpleft[i + 1] = dpleft[i] * nums[i];
        }
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            dpright[i] = dpright[i + 1] * nums[i];
        }

        int[] ret = new int[len];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            ret[i] = dpleft[i] * dpright[i + 1];
        }
        return ret;
    }
}

题目保证相关前缀积、后缀积与答案都在 32 位整数范围内，因此可以使用 int[]。时间复杂度为 O(n)，额外空间复杂度为 O(n)。