2009年考研数学一真题解析（二）：第2题-选择题

系列说明：本系列对2009年考研数学一真题进行逐题详解，帮助考生理解解题思路、掌握核心知识点、避开常见陷阱。

📋 前言

本题概况

年份：2009年
题号：选择题第(2)题
分值：4分
难度：★★★☆☆（中等）
核心考点：二重积分的对称性

命题特点

本题不需要真正算出四个积分的值，利用区域的对称性和被积函数的奇偶性，可以快速判断部分积分为0，再判断其他积分的符号即可完成比较。属于"考思维不考计算"的典型题。

第(2)题（二重积分·对称性比较大小）

📝 题目

（2） 如图，正方形 { ( x , y ) ∣ ∣ x ∣ ≤ 1 , ∣ y ∣ ≤ 1 } \{(x,y) \mid |x| \leq 1, |y| \leq 1\} {(x,y)∣∣x∣≤1,∣y∣≤1} 被其对角线划分为四个区域 D k ( k = 1 , 2 , 3 , 4 ) D_k (k=1,2,3,4) Dk(k=1,2,3,4)， I k = ∬ D k y cos ⁡ x d x d y I_k = \iint_{D_k} y \cos x \, dx dy Ik=∬Dkycosxdxdy，则 max ⁡ 1 ≤ k ≤ 4 ∣ I k ∣ = ( ) \max_{1 \leq k \leq 4} |I_k| = (\ \ \ \ ) max1≤k≤4∣Ik∣=( )

图：正方形被对角线划分的四个区域

(A) I 1 I_1 I1　　(B) I 2 I_2 I2　　© I 3 I_3 I3　　(D) I 4 I_4 I4

难度：★★★☆☆

知识点 ：#二重积分 #对称性 #奇偶性

预计用时：3-4分钟

答案：(A)

解法一：利用对称性直接判断

解题思路

观察积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，利用二重积分的对称性质快速判断各积分值。

详细步骤

第一步：识别区域对称性

根据正方形 { ( x , y ) ∣ ∣ x ∣ ≤ 1 , ∣ y ∣ ≤ 1 } \{(x,y) \mid |x| \leq 1, |y| \leq 1\} {(x,y)∣∣x∣≤1,∣y∣≤1} 被对角线 y = x y = x y=x 和 y = − x y = -x y=−x 划分，四个区域为：

D 1 D_1 D1（上三角）： { ( x , y ) ∣ − 1 ≤ x ≤ 1 , ∣ x ∣ < y ≤ 1 } \{(x,y) \mid -1 \leq x \leq 1, |x| < y \leq 1\} {(x,y)∣−1≤x≤1,∣x∣<y≤1}
D 2 D_2 D2（左三角）： { ( x , y ) ∣ − 1 ≤ x < − ∣ y ∣ , − 1 ≤ y ≤ 1 } \{(x,y) \mid -1 \leq x < -|y|, -1 \leq y \leq 1\} {(x,y)∣−1≤x<−∣y∣,−1≤y≤1}
D 3 D_3 D3（下三角）： { ( x , y ) ∣ − 1 ≤ x ≤ 1 , − 1 ≤ y < − ∣ x ∣ } \{(x,y) \mid -1 \leq x \leq 1, -1 \leq y < -|x|\} {(x,y)∣−1≤x≤1,−1≤y<−∣x∣}
D 4 D_4 D4（右三角）： { ( x , y ) ∣ ∣ y ∣ < x ≤ 1 , − 1 ≤ y ≤ 1 } \{(x,y) \mid |y| < x \leq 1, -1 \leq y \leq 1\} {(x,y)∣∣y∣<x≤1,−1≤y≤1}

关键观察：

D 1 D_1 D1 和 D 3 D_3 D3 关于原点对称
D 2 D_2 D2 和 D 4 D_4 D4 各自关于 x x x 轴对称

验证 D 1 D_1 D1 和 D 3 D_3 D3 关于原点对称： D 1 D_1 D1 中点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 满足 y > ∣ x ∣ y > |x| y>∣x∣，其关于原点对称的点 ( − x , − y ) (-x,-y) (−x,−y) 满足 − y < − ∣ x ∣ = − ∣ − x ∣ -y < -|x| = -|-x| −y<−∣x∣=−∣−x∣，即 − y < ∣ − x ∣ -y < |-x| −y<∣−x∣，这正好是 D 3 D_3 D3 的条件。

验证 D 2 D_2 D2 关于 x x x 轴对称： D 2 D_2 D2 中点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 满足 x < − ∣ y ∣ x < -|y| x<−∣y∣，其关于 x x x 轴对称的点 ( x , − y ) (x,-y) (x,−y) 满足 x < − ∣ − y ∣ = − ∣ y ∣ x < -|-y| = -|y| x<−∣−y∣=−∣y∣，仍在 D 2 D_2 D2 中。

验证 D 4 D_4 D4 关于 x x x 轴对称： D 4 D_4 D4 中点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 满足 x > ∣ y ∣ x > |y| x>∣y∣，其关于 x x x 轴对称的点 ( x , − y ) (x,-y) (x,−y) 满足 x > ∣ − y ∣ = ∣ y ∣ x > |-y| = |y| x>∣−y∣=∣y∣，仍在 D 4 D_4 D4 中。

第二步：利用被积函数关于 y y y 的奇偶性

被积函数 f ( x , y ) = y cos ⁡ x f(x,y) = y \cos x f(x,y)=ycosx 满足：

f ( x , − y ) = ( − y ) cos ⁡ x = − y cos ⁡ x = − f ( x , y ) f(x, -y) = (-y) \cos x = -y \cos x = -f(x,y) f(x,−y)=(−y)cosx=−ycosx=−f(x,y)

即 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 关于 y y y 为奇函数。

根据对称性定理：若区域 D D D 关于 x x x 轴对称，被积函数 f ( x , − y ) = − f ( x , y ) f(x,-y) = -f(x,y) f(x,−y)=−f(x,y)，则 ∬ D f d σ = 0 \iint_D f \, d\sigma = 0 ∬Dfdσ=0。

因此：

D 2 D_2 D2 关于 x x x 轴对称 ⇒ \Rightarrow ⇒ I 2 = 0 I_2 = 0 I2=0
D 4 D_4 D4 关于 x x x 轴对称 ⇒ \Rightarrow ⇒ I 4 = 0 I_4 = 0 I4=0

第三步：判断 I 1 I_1 I1 的符号

区域 D 1 = { ( x , y ) ∣ − 1 ≤ x ≤ 1 , ∣ x ∣ < y ≤ 1 } D_1 = \{(x,y) \mid -1 \leq x \leq 1, |x| < y \leq 1\} D1={(x,y)∣−1≤x≤1,∣x∣<y≤1}

在 D 1 D_1 D1 中：

对于 x ∈ $0 , 1$ x \in $0, 1$ x∈ $0,1$ ： y > x ≥ 0 y > x \geq 0 y>x≥0，所以 y > 0 y > 0 y>0
对于 x ∈ $- 1 , 0$ x \in $-1, 0$ x∈ $-1,0$ ： y > − x ≥ 0 y > -x \geq 0 y>−x≥0，所以 y > 0 y > 0 y>0
对于 x ∈ $- 1 , 1$ x \in $-1, 1$ x∈ $-1,1$ ： ∣ x ∣ ≤ 1 < π 2 |x| \leq 1 < \frac{\pi}{2} ∣x∣≤1<2π，所以 cos ⁡ x > 0 \cos x > 0 cosx>0

因此在整个 D 1 D_1 D1 中， y > 0 y > 0 y>0 且 cos ⁡ x > 0 \cos x > 0 cosx>0，所以 y cos ⁡ x > 0 y \cos x > 0 ycosx>0。

故 I 1 > 0 I_1 > 0 I1>0。

第四步：判断 I 3 I_3 I3 的符号

区域 D 3 = { ( x , y ) ∣ − 1 ≤ x ≤ 1 , − 1 ≤ y < − ∣ x ∣ } D_3 = \{(x,y) \mid -1 \leq x \leq 1, -1 \leq y < -|x|\} D3={(x,y)∣−1≤x≤1,−1≤y<−∣x∣}

在 D 3 D_3 D3 中：

对于 x ∈ $0 , 1$ x \in $0, 1$ x∈ $0,1$ ： y < − x ≤ 0 y < -x \leq 0 y<−x≤0，所以 y < 0 y < 0 y<0
对于 x ∈ $- 1 , 0$ x \in $-1, 0$ x∈ $-1,0$ ： y < − ( − x ) = x ≤ 0 y < -(-x) = x \leq 0 y<−(−x)=x≤0，所以 y < 0 y < 0 y<0
对于 x ∈ $- 1 , 1$ x \in $-1, 1$ x∈ $-1,1$ ： ∣ x ∣ ≤ 1 < π 2 |x| \leq 1 < \frac{\pi}{2} ∣x∣≤1<2π，所以 cos ⁡ x > 0 \cos x > 0 cosx>0

因此在整个 D 3 D_3 D3 中， y < 0 y < 0 y<0 且 cos ⁡ x > 0 \cos x > 0 cosx>0，所以 y cos ⁡ x < 0 y \cos x < 0 ycosx<0。

故 I 3 < 0 I_3 < 0 I3<0。

第五步：比较大小

由于 D 1 D_1 D1 和 D 3 D_3 D3 关于原点对称，且 f ( − x , − y ) = − f ( x , y ) f(-x,-y) = -f(x,y) f(−x,−y)=−f(x,y)，根据对称性有 I 1 = − I 3 I_1 = -I_3 I1=−I3，即 ∣ I 1 ∣ = ∣ I 3 ∣ |I_1| = |I_3| ∣I1∣=∣I3∣。

已知：

I 2 = 0 I_2 = 0 I2=0， I 4 = 0 I_4 = 0 I4=0
I 1 > 0 I_1 > 0 I1>0， I 3 < 0 I_3 < 0 I3<0， ∣ I 1 ∣ = ∣ I 3 ∣ |I_1| = |I_3| ∣I1∣=∣I3∣

因此：

∣ I 1 ∣ = ∣ I 3 ∣ > 0 = ∣ I 2 ∣ = ∣ I 4 ∣ |I_1| = |I_3| > 0 = |I_2| = |I_4| ∣I1∣=∣I3∣>0=∣I2∣=∣I4∣

所以 max ⁡ 1 ≤ k ≤ 4 ∣ I k ∣ = I 1 \max_{1 \leq k \leq 4} |I_k| = I_1 max1≤k≤4∣Ik∣=I1。

答案：(A)

✅ 答案

A. I 1 I_1 I1

🎯 关键要点

核心技巧：
1. 识别 D 2 D_2 D2 和 D 4 D_4 D4（左、右三角）各自关于 x x x 轴对称
2. 识别 D 1 D_1 D1 和 D 3 D_3 D3（上、下三角）关于原点对称
3. 利用被积函数 f ( x , − y ) = − f ( x , y ) f(x,-y) = -f(x,y) f(x,−y)=−f(x,y) 的奇函数性质，直接得出 I 2 = I 4 = 0 I_2 = I_4 = 0 I2=I4=0
4. 分别判断 I 1 I_1 I1 和 I 3 I_3 I3 的符号，利用原点对称性得 ∣ I 1 ∣ = ∣ I 3 ∣ |I_1| = |I_3| ∣I1∣=∣I3∣
易错点：
1. 区域划分错误：误认为是四个小三角形而非上下左右四个大三角形
2. 对称性判断错误：误认为 D 1 D_1 D1 和 D 3 D_3 D3 关于 x x x 轴对称，实际上它们关于原点对称
3. 没有识别出 D 2 D_2 D2 和 D 4 D_4 D4 各自关于 x x x 轴对称，从而错误地认为 I 2 , I 4 ≠ 0 I_2, I_4 \neq 0 I2,I4=0
时间优化 ：识别对称性后 1-2 分钟内可出答案，关键是正确识别哪些区域自身关于 x x x 轴对称、哪些区域关于原点对称

核心知识点

1. 二重积分的对称性

定理 1（关于坐标轴对称）：

设 D D D 关于 y y y 轴对称， D 1 D_1 D1 为 D D D 在右半平面的部分，则：

若 f ( − x , y ) = − f ( x , y ) f(-x, y) = -f(x, y) f(−x,y)=−f(x,y)（关于 x x x 为奇函数），则 ∬ D f ( x , y ) d σ = 0 \iint_D f(x,y) \, d\sigma = 0 ∬Df(x,y)dσ=0
若 f ( − x , y ) = f ( x , y ) f(-x, y) = f(x, y) f(−x,y)=f(x,y)（关于 x x x 为偶函数），则 ∬ D f ( x , y ) d σ = 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ \iint_D f(x,y) \, d\sigma = 2 \iint_{D_1} f(x,y) \, d\sigma ∬Df(x,y)dσ=2∬D1f(x,y)dσ

设 D D D 关于 x x x 轴对称， D 1 D_1 D1 为 D D D 在上半平面的部分，则：

若 f ( x , − y ) = − f ( x , y ) f(x, -y) = -f(x, y) f(x,−y)=−f(x,y)（关于 y y y 为奇函数），则 ∬ D f ( x , y ) d σ = 0 \iint_D f(x,y) \, d\sigma = 0 ∬Df(x,y)dσ=0
若 f ( x , − y ) = f ( x , y ) f(x, -y) = f(x, y) f(x,−y)=f(x,y)（关于 y y y 为偶函数），则 ∬ D f ( x , y ) d σ = 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ \iint_D f(x,y) \, d\sigma = 2 \iint_{D_1} f(x,y) \, d\sigma ∬Df(x,y)dσ=2∬D1f(x,y)dσ

定理 2（关于原点对称）：

设 D D D 关于原点对称，则：

若 f ( − x , − y ) = − f ( x , y ) f(-x, -y) = -f(x, y) f(−x,−y)=−f(x,y)（奇函数），则 ∬ D f ( x , y ) d σ = 0 \iint_D f(x,y) \, d\sigma = 0 ∬Df(x,y)dσ=0
若 f ( − x , − y ) = f ( x , y ) f(-x, -y) = f(x, y) f(−x,−y)=f(x,y)（偶函数），则积分不为零

2. 本题应用

被积函数： f ( x , y ) = y cos ⁡ x f(x,y) = y \cos x f(x,y)=ycosx
检验关于 y y y 的奇偶性： f ( x , − y ) = ( − y ) cos ⁡ x = − y cos ⁡ x = − f ( x , y ) f(x, -y) = (-y) \cos x = -y \cos x = -f(x,y) f(x,−y)=(−y)cosx=−ycosx=−f(x,y)（关于 y y y 为奇函数）
检验关于原点的奇偶性： f ( − x , − y ) = ( − y ) cos ⁡ ( − x ) = − y cos ⁡ x = − f ( x , y ) f(-x, -y) = (-y) \cos(-x) = -y \cos x = -f(x,y) f(−x,−y)=(−y)cos(−x)=−ycosx=−f(x,y)（关于原点为奇函数）
D 2 D_2 D2 和 D 4 D_4 D4 各自关于 x x x 轴对称 ⇒ \Rightarrow ⇒ I 2 = I 4 = 0 I_2 = I_4 = 0 I2=I4=0
D 1 D_1 D1 和 D 3 D_3 D3 关于原点对称 ⇒ \Rightarrow ⇒ ∣ I 1 ∣ = ∣ I 3 ∣ |I_1| = |I_3| ∣I1∣=∣I3∣

常见错误

错误1：区域划分错误

❌ 错误地认为四个区域是四个小的直角三角形。

✅ 正确：四个区域是上、下、左、右四个大三角形，其中左右三角形各自关于 x x x 轴对称。

错误2：对称性判断错误

❌ 误认为 D 1 D_1 D1 和 D 3 D_3 D3 关于 x x x 轴对称，从而用 I 1 + I 3 = 0 I_1 + I_3 = 0 I1+I3=0 推导。

✅ 正确： D 1 D_1 D1 和 D 3 D_3 D3 关于原点对称 （不是关于 x x x 轴对称）；应分别判断 I 1 I_1 I1 和 I 3 I_3 I3 的符号，再利用原点对称性得出 ∣ I 1 ∣ = ∣ I 3 ∣ |I_1| = |I_3| ∣I1∣=∣I3∣。

错误3：奇偶性应用错误

❌ 检验 f ( − x , − y ) f(-x,-y) f(−x,−y) 而非 f ( x , − y ) f(x,-y) f(x,−y)。

✅ 正确：关于 x x x 轴对称时，应检验 f ( x , − y ) = − f ( x , y ) f(x,-y) = -f(x,y) f(x,−y)=−f(x,y)（关于 y y y 的奇偶性）。

解题技巧

优先考虑对称性：二重积分计算前，务必检查区域和被积函数的对称性。
关于 x x x 轴对称的判断 ：区域 D D D 中点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 的对称点 ( x , − y ) (x,-y) (x,−y) 是否也在 D D D 中。
奇偶性判断 ：关于 x x x 轴对称时检验 f ( x , − y ) = ± f ( x , y ) f(x,-y) = \pm f(x,y) f(x,−y)=±f(x,y)；关于 y y y 轴对称时检验 f ( − x , y ) = ± f ( x , y ) f(-x,y) = \pm f(x,y) f(−x,y)=±f(x,y)。
几何直观 ：画出区域示意图，识别左右三角形各自关于 x x x 轴对称，上下三角形关于原点对称。

举一反三

变式1： 若被积函数改为 x sin ⁡ y x \sin y xsiny，哪些积分为 0 0 0？

提示： 检验 f ( x , − y ) = x sin ⁡ ( − y ) = − x sin ⁡ y = − f ( x , y ) f(x, -y) = x \sin(-y) = -x \sin y = -f(x,y) f(x,−y)=xsin(−y)=−xsiny=−f(x,y)，关于 y y y 为奇函数，因此 D 2 D_2 D2、 D 4 D_4 D4 各自关于 x x x 轴对称的区域积分为 0 0 0，即 I 2 = I 4 = 0 I_2 = I_4 = 0 I2=I4=0。

变式2： 若被积函数改为 x y xy xy，哪些积分为 0 0 0？

提示： f ( x , − y ) = x ⋅ ( − y ) = − x y = − f ( x , y ) f(x, -y) = x \cdot (-y) = -xy = -f(x,y) f(x,−y)=x⋅(−y)=−xy=−f(x,y)，关于 y y y 为奇函数，同样 I 2 = I 4 = 0 I_2 = I_4 = 0 I2=I4=0。

难度评估

⭐⭐⭐☆☆（中等）

考点分布：

二重积分计算（40%）
对称性应用（50%）
大小比较（10%）

时间建议： 3-4分钟

🔗 相关知识

二重积分对称性三条结论 ：
- D D D 关于 y y y 轴对称： f ( − x , y ) = − f ( x , y ) ⇒ ∬ D f = 0 f(-x,y) = -f(x,y) \Rightarrow \iint_D f = 0 f(−x,y)=−f(x,y)⇒∬Df=0
- D D D 关于 x x x 轴对称： f ( x , − y ) = − f ( x , y ) ⇒ ∬ D f = 0 f(x,-y) = -f(x,y) \Rightarrow \iint_D f = 0 f(x,−y)=−f(x,y)⇒∬Df=0
- D D D 关于原点对称： f ( − x , − y ) = − f ( x , y ) ⇒ ∬ D f = 0 f(-x,-y) = -f(x,y) \Rightarrow \iint_D f = 0 f(−x,−y)=−f(x,y)⇒∬Df=0（本题用的是这条）
轮换对称性 ： D D D 关于 y = x y = x y=x 对称时， ∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D f ( y , x ) d σ \iint_D f(x,y)\,d\sigma = \iint_D f(y,x)\,d\sigma ∬Df(x,y)dσ=∬Df(y,x)dσ
大纲章节：高等数学 > 六、多元函数积分学

2009年考研数学一真题解析（二）：第2题-选择题