AcWing 891：Nim游戏 ← SG函数 + Nim博弈

【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/893/

【题目描述】
给定 n 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。
问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

【输入格式】
第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个数字，其中第 i 个数字表示第 i 堆石子的数量。

【输出格式】
如果先手方必胜，则输出 Yes。
否则，输出 No。

【输入样例】
2
2 3

【输出样例】
Yes

【数据范围】
1≤n≤10^5，
1≤每堆石子数≤10^9

【算法分析】
● Nim 博弈定理 ：对于任意的 {a1, a2, a3, ..., an}，++若++ ++S=a1⊕a2⊕a3⊕⋯⊕an++ ++的值不等于 0，先手必胜++ ，记为 N-position（先手必胜态）。++若 S=a1⊕a2⊕a3⊕⋯⊕an 的值等于 0，先手必败++ ，记为 P-position（先手必败态）。

● 标准 Nim 堆的 SG 函数值
对于标准 Nim 的单堆石子，状态 x 表示堆内有 x 枚石子。
取走任意非零（1~x）枚石子，可得状态 x 的后继集合为 {0, 1, ..., x-1}。
故，sg(x)=mex{sg(0), sg(1), ..., sg(x-1)}。

cpp 复制代码

x=1：后继为 1-1=0，后继 SG 集合为 {SG(0)}={0}，则得 SG(1)=mex{0}=1
x=2：后继为 2-1=1，2-2=0，后继 SG 集合为 {SG(1),SG(0)}={1,0}，则得 SG(2)=mex{0,1}=2
x=3：后继为 3-1=2，3-2=1，3-3=0，后继 SG 集合为 {SG(2),SG(1),SG(0)}={2,1,0}，则得 SG(3)=mex{0,1,2}=3
x=4：后继为 4-1=3，4-2=2，4-3=1，4-4=0，后继 SG 集合为 {SG(3),SG(2),SG(1),SG(0)}={3,2,1,0}，则得 SG(4)=mex{0,1,2,3}=4
......
猜想一般式：SG(x)=x。

故数学归纳可得，标准 Nim 堆的 SG 函数为：sg(x)=x。

【算法代码一：SG函数写法】

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int SG(int x) {
    return x;
}

int main() {
    int n,t=0;
    cin>>n;
    while(n--) {
        int x;
        cin>>x;
        t^=SG(x);
    }
    if(t==0) cout<<"No";
    else cout<<"Yes";

    return 0;
}

/*
in:
2
2 3

out:
Yes
*/

【算法代码二：非SG函数写法】

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n,t=0;
    cin>>n;
    while(n--) {
        int x;
        cin>>x;
        t^=x;
    }
    if(t==0) cout<<"No";
    else cout<<"Yes";

    return 0;
}

/*
in:
2
2 3

out:
Yes
*/

【参考文献】

https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/158704426

https://www.acwing.com/file_system/file/content/whole/index/content/12084580/