常用基本求导公式与法则（超详细推导版——上）

常用基本求导公式与法则（超详细推导版------上）

说明：本文档从导数的极限定义 f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x) 出发，对常用基本求导公式与法则进行逐步骤拆解推导。

常用基本求导公式与法则（超详细推导版------下）

文章目录

常用基本求导公式与法则（超详细推导版------上）
- 第一部分：六类基本初等函数的极限推导
- - [1. 常数函数 f ( x ) = C f(x) = C f(x)=C](#1. 常数函数 f ( x ) = C f(x) = C f(x)=C)
  - [2. 正弦函数 f ( x ) = sin ⁡ x f(x) = \sin x f(x)=sinx](#2. 正弦函数 f ( x ) = sin ⁡ x f(x) = \sin x f(x)=sinx)
  - [3. 余弦函数 f ( x ) = cos ⁡ x f(x) = \cos x f(x)=cosx](#3. 余弦函数 f ( x ) = cos ⁡ x f(x) = \cos x f(x)=cosx)
  - [4. 指数函数 f ( x ) = a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) f(x) = a^x \quad (a>0, a\neq 1) f(x)=ax(a>0,a=1)](#4. 指数函数 f ( x ) = a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) f(x) = a^x \quad (a>0, a\neq 1) f(x)=ax(a>0,a=1))
  - [5. 对数函数 f ( x ) = log ⁡ a x ( a > 0 , a ≠ 1 , x > 0 ) f(x) = \log_a x \quad (a>0, a\neq 1, x>0) f(x)=logax(a>0,a=1,x>0)](#5. 对数函数 f ( x ) = log ⁡ a x ( a > 0 , a ≠ 1 , x > 0 ) f(x) = \log_a x \quad (a>0, a\neq 1, x>0) f(x)=logax(a>0,a=1,x>0))
  - [6. 幂函数 f ( x ) = x N ( N ∈ R , x > 0 ) f(x) = x^N \quad (N \in \mathbb{R}, x>0) f(x)=xN(N∈R,x>0)](#6. 幂函数 f ( x ) = x N ( N ∈ R , x > 0 ) f(x) = x^N \quad (N \in \mathbb{R}, x>0) f(x)=xN(N∈R,x>0))
  - [7. 正切函数 f ( x ) = tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} f(x)=tanx=cosxsinx](#7. 正切函数 f ( x ) = tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} f(x)=tanx=cosxsinx)
  - [8. 余切函数 f ( x ) = cot ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x f(x) = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} f(x)=cotx=sinxcosx](#8. 余切函数 f ( x ) = cot ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x f(x) = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} f(x)=cotx=sinxcosx)
  - [9. 正割函数 f ( x ) = sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x} f(x)=secx=cosx1](#9. 正割函数 f ( x ) = sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x} f(x)=secx=cosx1)
  - [10. 余割函数 f ( x ) = csc ⁡ x = 1 sin ⁡ x f(x) = \csc x = \frac{1}{\sin x} f(x)=cscx=sinx1](#10. 余割函数 f ( x ) = csc ⁡ x = 1 sin ⁡ x f(x) = \csc x = \frac{1}{\sin x} f(x)=cscx=sinx1)
  - 常见易错点汇总与终极对比
- 第二部分：反三角函数求导
- - [1. 反正弦函数 y = arcsin ⁡ x ( ∣ x ∣ < 1 ) y = \arcsin x \quad (|x|<1) y=arcsinx(∣x∣<1)](#1. 反正弦函数 y = arcsin ⁡ x ( ∣ x ∣ < 1 ) y = \arcsin x \quad (|x|<1) y=arcsinx(∣x∣<1))
  - [2. 反余弦函数 y = arccos ⁡ x ( ∣ x ∣ < 1 ) y = \arccos x \quad (|x|<1) y=arccosx(∣x∣<1)](#2. 反余弦函数 y = arccos ⁡ x ( ∣ x ∣ < 1 ) y = \arccos x \quad (|x|<1) y=arccosx(∣x∣<1))
  - [3. 反正切函数 y = arctan ⁡ x y = \arctan x y=arctanx](#3. 反正切函数 y = arctan ⁡ x y = \arctan x y=arctanx)
  - [4. 反余切函数 y = arccot ⁡ x y = \operatorname{arccot} x y=arccotx](#4. 反余切函数 y = arccot ⁡ x y = \operatorname{arccot} x y=arccotx)
  - [5. 反正割函数 y = arcsec ⁡ x ( ∣ x ∣ ≥ 1 ) y = \operatorname{arcsec} x \quad (|x| \ge 1) y=arcsecx(∣x∣≥1)](#5. 反正割函数 y = arcsec ⁡ x ( ∣ x ∣ ≥ 1 ) y = \operatorname{arcsec} x \quad (|x| \ge 1) y=arcsecx(∣x∣≥1))
  - [6. 反余割函数 y = arccsc ⁡ x ( ∣ x ∣ ≥ 1 ) y = \operatorname{arccsc} x \quad (|x| \ge 1) y=arccscx(∣x∣≥1)](#6. 反余割函数 y = arccsc ⁡ x ( ∣ x ∣ ≥ 1 ) y = \operatorname{arccsc} x \quad (|x| \ge 1) y=arccscx(∣x∣≥1))
- 第三部分：双曲函数求导（从定义出发）
- - [1. 双曲正弦](#1. 双曲正弦)
  - [2. 双曲余弦](#2. 双曲余弦)
  - [3. 双曲正切（ tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} tanhx=coshxsinhx）](#3. 双曲正切（ tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} tanhx=coshxsinhx）)
- 第四部分：参数方程求导
- - [1. 一阶导数 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy](#1. 一阶导数 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy)
  - [2. 二阶导数 d 2 y d x 2 \frac{d^2 y}{dx^2} dx2d2y（易错点）](#2. 二阶导数 d 2 y d x 2 \frac{d^2 y}{dx^2} dx2d2y（易错点）)
  - [3. 参数方程的三阶导数 d 3 y d x 3 \frac{d^3 y}{dx^3} dx3d3y](#3. 参数方程的三阶导数 d 3 y d x 3 \frac{d^3 y}{dx^3} dx3d3y)
- 第五部分：莱布尼茨公式（高阶导数推广）
- - 公式推导（数学归纳法思想）
- 第六部分：对数求导法（推导示例）
- 第七部分：实战综合例题（验证详细推导）

第一部分：六类基本初等函数的极限推导

1. 常数函数 f ( x ) = C f(x) = C f(x)=C

推导：

f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 C − C Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 0 Δ x = 0 \begin{aligned} f'(x) &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{C - C}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} = 0 \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0limΔxC−C=Δx→0limΔx0=0

结论： ( C ) ′ = 0 \boxed{(C)' = 0} (C)′=0

2. 正弦函数 f ( x ) = sin ⁡ x f(x) = \sin x f(x)=sinx

推导（利用和差化积公式 sin ⁡ α − sin ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} sinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−β）：

f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 sin ⁡ ( x + Δ x ) − sin ⁡ x Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 2 cos ⁡ ( x + Δ x + x 2 ) sin ⁡ ( x + Δ x − x 2 ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 2 cos ⁡ ( x + Δ x 2 ) sin ⁡ ( Δ x 2 ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 cos ⁡ ( x + Δ x 2 ) ⋅ sin ⁡ ( Δ x 2 ) Δ x 2 ( 分子分母同乘 1 2 ，构造标准形式 ) \begin{aligned} f'(x) &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2\cos\left(\frac{x+\Delta x + x}{2}\right) \sin\left(\frac{x+\Delta x - x}{2}\right)}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2\cos\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \cos\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} \quad (\text{分子分母同乘 } \frac{1}{2}\text{，构造标准形式}) \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔxsin(x+Δx)−sinx=Δx→0limΔx2cos(2x+Δx+x)sin(2x+Δx−x)=Δx→0limΔx2cos(x+2Δx)sin(2Δx)=Δx→0limcos(x+2Δx)⋅2Δxsin(2Δx)(分子分母同乘 21，构造标准形式)

令 θ = Δ x 2 \theta = \frac{\Delta x}{2} θ=2Δx，当 Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δx→0 时 θ → 0 \theta \to 0 θ→0。利用重要极限 lim ⁡ θ → 0 sin ⁡ θ θ = 1 \lim\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 θ→0limθsinθ=1，且 cos ⁡ ( x + Δ x 2 ) → cos ⁡ x \cos\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \to \cos x cos(x+2Δx)→cosx，得：

f ′ ( x ) = cos ⁡ x ⋅ 1 = cos ⁡ x f'(x) = \cos x \cdot 1 = \cos x f′(x)=cosx⋅1=cosx

结论： ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x \boxed{(\sin x)' = \cos x} (sinx)′=cosx

3. 余弦函数 f ( x ) = cos ⁡ x f(x) = \cos x f(x)=cosx

推导（利用和差化积公式 cos ⁡ α − cos ⁡ β = − 2 sin ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} cosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β）：

f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 cos ⁡ ( x + Δ x ) − cos ⁡ x Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 − 2 sin ⁡ ( x + Δ x 2 ) sin ⁡ ( Δ x 2 ) Δ x = − lim ⁡ Δ x → 0 sin ⁡ ( x + Δ x 2 ) ⋅ sin ⁡ ( Δ x 2 ) Δ x 2 = − sin ⁡ x ⋅ 1 = − sin ⁡ x \begin{aligned} f'(x) &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x+\Delta x) - \cos x}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{-2\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x} \\ &= -\lim\limits_{\Delta x \to 0} \sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} \\ &= -\sin x \cdot 1 = -\sin x \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔxcos(x+Δx)−cosx=Δx→0limΔx−2sin(x+2Δx)sin(2Δx)=−Δx→0limsin(x+2Δx)⋅2Δxsin(2Δx)=−sinx⋅1=−sinx

结论： ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x \boxed{(\cos x)' = -\sin x} (cosx)′=−sinx

4. 指数函数 f ( x ) = a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) f(x) = a^x \quad (a>0, a\neq 1) f(x)=ax(a>0,a=1)

推导（核心技巧：换元法，将指数形式转化为对数形式）：

f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 a x + Δ x − a x Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 a x ( a Δ x − 1 ) Δ x = a x ⋅ lim ⁡ Δ x → 0 a Δ x − 1 Δ x \begin{aligned} f'(x) &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{a^{x+\Delta x} - a^x}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{a^x (a^{\Delta x} - 1)}{\Delta x} \\ &= a^x \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔxax+Δx−ax=Δx→0limΔxax(aΔx−1)=ax⋅Δx→0limΔxaΔx−1

关键一步 ：令 t = a Δ x − 1 t = a^{\Delta x} - 1 t=aΔx−1，则 a Δ x = 1 + t a^{\Delta x} = 1 + t aΔx=1+t。

对两边取对数（以 a a a 为底）： Δ x = log ⁡ a ( 1 + t ) \Delta x = \log_a(1 + t) Δx=loga(1+t)。

当 Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δx→0 时， a Δ x → 1 a^{\Delta x} \to 1 aΔx→1，故 t → 0 t \to 0 t→0。代入原极限式：

lim ⁡ Δ x → 0 a Δ x − 1 Δ x = lim ⁡ t → 0 t log ⁡ a ( 1 + t ) \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{\log_a(1 + t)} Δx→0limΔxaΔx−1=t→0limloga(1+t)t

利用对数换底公式 log ⁡ a ( 1 + t ) = ln ⁡ ( 1 + t ) ln ⁡ a \log_a(1+t) = \frac{\ln(1+t)}{\ln a} loga(1+t)=lnaln(1+t)，得：

= ln ⁡ a ⋅ lim ⁡ t → 0 1 ln ⁡ ( 1 + t ) t = ln ⁡ a ⋅ 1 lim ⁡ t → 0 ln ⁡ ( 1 + t ) 1 t = \ln a \cdot \lim\limits_{t \to 0} \frac{1}{\frac{\ln(1+t)}{t}} = \ln a \cdot \frac{1}{\lim\limits_{t \to 0} \ln(1+t)^{\frac{1}{t}}} =lna⋅t→0limtln(1+t)1=lna⋅t→0limln(1+t)t11

利用重要极限 lim ⁡ t → 0 ( 1 + t ) 1 t = e \lim\limits_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e t→0lim(1+t)t1=e，且 ln ⁡ e = 1 \ln e = 1 lne=1，得：

= ln ⁡ a ⋅ 1 ln ⁡ e = ln ⁡ a = \ln a \cdot \frac{1}{\ln e} = \ln a =lna⋅lne1=lna

结论： ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a \boxed{(a^x)' = a^x \ln a} (ax)′=axlna。特别地，当 a = e a = e a=e 时， ( e x ) ′ = e x \boxed{(e^x)' = e^x} (ex)′=ex。

5. 对数函数 f ( x ) = log ⁡ a x ( a > 0 , a ≠ 1 , x > 0 ) f(x) = \log_a x \quad (a>0, a\neq 1, x>0) f(x)=logax(a>0,a=1,x>0)

推导（核心技巧：凑项法，强行构造 Δ x x \frac{\Delta x}{x} xΔx）：

f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 log ⁡ a ( x + Δ x ) − log ⁡ a x Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 log ⁡ a ( x + Δ x x ) Δ x ( 对数减法性质： log ⁡ a A − log ⁡ a B = log ⁡ a A B ) = lim ⁡ Δ x → 0 log ⁡ a ( 1 + Δ x x ) Δ x \begin{aligned} f'(x) &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a(x+\Delta x) - \log_a x}{\Delta x} \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)}{\Delta x} \quad (\text{对数减法性质：} \log_a A - \log_a B = \log_a \frac{A}{B}) \\ &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)}{\Delta x} \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔxloga(x+Δx)−logax=Δx→0limΔxloga(xx+Δx)(对数减法性质：logaA−logaB=logaBA)=Δx→0limΔxloga(1+xΔx)

凑项：为了利用对数极限，分子分母同乘 1 x \frac{1}{x} x1：

= lim ⁡ Δ x → 0 1 x ⋅ log ⁡ a ( 1 + Δ x x ) Δ x x = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{\log_a\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)}{\frac{\Delta x}{x}} =Δx→0limx1⋅xΔxloga(1+xΔx)

令 u = Δ x x u = \frac{\Delta x}{x} u=xΔx，当 Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δx→0 时 u → 0 u \to 0 u→0。代入得：

= 1 x ⋅ lim ⁡ u → 0 log ⁡ a ( 1 + u ) u = \frac{1}{x} \cdot \lim\limits_{u \to 0} \frac{\log_a(1+u)}{u} =x1⋅u→0limuloga(1+u)

利用极限 lim ⁡ u → 0 log ⁡ a ( 1 + u ) u = 1 ln ⁡ a \lim\limits_{u \to 0} \frac{\log_a(1+u)}{u} = \frac{1}{\ln a} u→0limuloga(1+u)=lna1（推导同上文指数部分类似，这里直接用换底公式即可证明），得：

= 1 x ⋅ 1 ln ⁡ a = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln a} =x1⋅lna1

结论： ( log ⁡ a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a \boxed{(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}} (logax)′=xlna1。特别地，当 a = e a = e a=e 时， ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x \boxed{(\ln x)' = \frac{1}{x}} (lnx)′=x1。

6. 幂函数 f ( x ) = x N ( N ∈ R , x > 0 ) f(x) = x^N \quad (N \in \mathbb{R}, x>0) f(x)=xN(N∈R,x>0)

推导（利用指数与对数的转化 α β = e β ln ⁡ α \alpha^\beta = e^{\beta \ln \alpha} αβ=eβlnα）：

f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 ( x + Δ x ) N − x N Δ x = x N ⋅ lim ⁡ Δ x → 0 ( 1 + Δ x x ) N − 1 Δ x ( 提取 x N ) = x N ⋅ lim ⁡ Δ x → 0 ( 1 + Δ x x ) N − 1 Δ x x ⋅ 1 x ( 凑出分母 Δ x x ) = x N − 1 ⋅ lim ⁡ u → 0 ( 1 + u ) N − 1 u ( 令 u = Δ x x ) \begin{aligned} f'(x) &= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^N - x^N}{\Delta x} \\ &= x^N \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^N - 1}{\Delta x} \quad (\text{提取 } x^N) \\ &= x^N \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^N - 1}{\frac{\Delta x}{x}} \cdot \frac{1}{x} \quad (\text{凑出分母 } \frac{\Delta x}{x}) \\ &= x^{N-1} \cdot \lim\limits_{u \to 0} \frac{(1+u)^N - 1}{u} \quad (\text{令 } u = \frac{\Delta x}{x}) \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔx(x+Δx)N−xN=xN⋅Δx→0limΔx(1+xΔx)N−1(提取 xN)=xN⋅Δx→0limxΔx(1+xΔx)N−1⋅x1(凑出分母 xΔx)=xN−1⋅u→0limu(1+u)N−1(令 u=xΔx)

关键步骤 ：证明 lim ⁡ u → 0 ( 1 + u ) N − 1 u = N \lim\limits_{u \to 0} \frac{(1+u)^N - 1}{u} = N u→0limu(1+u)N−1=N。

利用恒等式 A N − 1 = e N ln ⁡ A − 1 A^N - 1 = e^{N\ln A} - 1 AN−1=eNlnA−1，令 A = 1 + u A = 1+u A=1+u，则：

( 1 + u ) N − 1 u = e N ln ⁡ ( 1 + u ) − 1 u = e N ln ⁡ ( 1 + u ) − 1 N ln ⁡ ( 1 + u ) ⋅ N ln ⁡ ( 1 + u ) u \frac{(1+u)^N - 1}{u} = \frac{e^{N\ln(1+u)} - 1}{u} = \frac{e^{N\ln(1+u)} - 1}{N\ln(1+u)} \cdot \frac{N\ln(1+u)}{u} u(1+u)N−1=ueNln(1+u)−1=Nln(1+u)eNln(1+u)−1⋅uNln(1+u)

当 u → 0 u \to 0 u→0 时， ln ⁡ ( 1 + u ) → 0 \ln(1+u) \to 0 ln(1+u)→0。利用极限 lim ⁡ t → 0 e t − 1 t = 1 \lim\limits_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1 t→0limtet−1=1（即指数函数导数的特例），且 lim ⁡ u → 0 ln ⁡ ( 1 + u ) u = 1 \lim\limits_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1 u→0limuln(1+u)=1，得：

lim ⁡ u → 0 ( 1 + u ) N − 1 u = 1 ⋅ N ⋅ 1 = N \lim\limits_{u \to 0} \frac{(1+u)^N - 1}{u} = 1 \cdot N \cdot 1 = N u→0limu(1+u)N−1=1⋅N⋅1=N

结论： ( x N ) ′ = N x N − 1 \boxed{(x^N)' = N x^{N-1}} (xN)′=NxN−1。

7. 正切函数 f ( x ) = tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} f(x)=tanx=cosxsinx

推导（利用商法则） ：

( tan ⁡ x ) ′ = ( sin ⁡ x cos ⁡ x ) ′ = ( sin ⁡ x ) ′ cos ⁡ x − sin ⁡ x ( cos ⁡ x ) ′ cos ⁡ 2 x = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x − sin ⁡ x ⋅ ( − sin ⁡ x ) cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x + sin ⁡ 2 x cos ⁡ 2 x = 1 cos ⁡ 2 x = sec ⁡ 2 x \begin{aligned} (\tan x)' &= \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)' \\ &= \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \end{aligned} (tanx)′=(cosxsinx)′=cos2x(sinx)′cosx−sinx(cosx)′=cos2xcosx⋅cosx−sinx⋅(−sinx)=cos2xcos2x+sin2x=cos2x1=sec2x

结论： ( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x \boxed{(\tan x)' = \sec^2 x} (tanx)′=sec2x

8. 余切函数 f ( x ) = cot ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x f(x) = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} f(x)=cotx=sinxcosx

推导（利用商法则） ：

( cot ⁡ x ) ′ = ( cos ⁡ x sin ⁡ x ) ′ = ( cos ⁡ x ) ′ sin ⁡ x − cos ⁡ x ( sin ⁡ x ) ′ sin ⁡ 2 x = − sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ x − cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x sin ⁡ 2 x = − sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x sin ⁡ 2 x = − 1 sin ⁡ 2 x = − csc ⁡ 2 x \begin{aligned} (\cot x)' &= \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)' \\ &= \frac{(\cos x)' \sin x - \cos x (\sin x)'}{\sin^2 x} \\ &= \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} \\ &= -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \end{aligned} (cotx)′=(sinxcosx)′=sin2x(cosx)′sinx−cosx(sinx)′=sin2x−sinx⋅sinx−cosx⋅cosx=−sin2xsin2x+cos2x=−sin2x1=−csc2x

结论： ( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 x \boxed{(\cot x)' = -\csc^2 x} (cotx)′=−csc2x

9. 正割函数 f ( x ) = sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x} f(x)=secx=cosx1

推导（利用链式法则，视 sec ⁡ x = ( cos ⁡ x ) − 1 \sec x = (\cos x)^{-1} secx=(cosx)−1） ：

( sec ⁡ x ) ′ = d d x $( cos x ) - 1$ = − 1 ⋅ ( cos ⁡ x ) − 2 ⋅ ( cos ⁡ x ) ′ ( 链式法则 ) = − − sin ⁡ x cos ⁡ 2 x = sin ⁡ x cos ⁡ 2 x = 1 cos ⁡ x ⋅ sin ⁡ x cos ⁡ x = sec ⁡ x tan ⁡ x \begin{aligned} (\sec x)' &= \frac{d}{dx} $(\\cos x)\^{-1}$ \\ &= -1 \cdot (\cos x)^{-2} \cdot (\cos x)' \quad (\text{链式法则}) \\ &= -\frac{-\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sec x \tan x \end{aligned} (secx)′=dxd $(cosx)-1$ =−1⋅(cosx)−2⋅(cosx)′(链式法则)=−cos2x−sinx=cos2xsinx=cosx1⋅cosxsinx=secxtanx

结论： ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x \boxed{(\sec x)' = \sec x \tan x} (secx)′=secxtanx

10. 余割函数 f ( x ) = csc ⁡ x = 1 sin ⁡ x f(x) = \csc x = \frac{1}{\sin x} f(x)=cscx=sinx1

推导（利用链式法则） ：

( csc ⁡ x ) ′ = d d x $( sin x ) - 1$ = − 1 ⋅ ( sin ⁡ x ) − 2 ⋅ ( sin ⁡ x ) ′ = − cos ⁡ x sin ⁡ 2 x = − 1 sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ x sin ⁡ x = − csc ⁡ x cot ⁡ x \begin{aligned} (\csc x)' &= \frac{d}{dx} $(\\sin x)\^{-1}$ \\ &= -1 \cdot (\sin x)^{-2} \cdot (\sin x)' \\ &= -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x \cot x \end{aligned} (cscx)′=dxd $(sinx)-1$ =−1⋅(sinx)−2⋅(sinx)′=−sin2xcosx=−sinx1⋅sinxcosx=−cscxcotx

结论： ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x \boxed{(\csc x)' = -\csc x \cot x} (cscx)′=−cscxcotx

常见易错点汇总与终极对比

为了更清晰地记忆，此处补充一个导数形式对比表，区分不同底数和指数的求导规则：

函数形式	导数结果	记忆口诀
指数型 a x a^x ax	a x ln ⁡ a a^x \ln a axlna	底数不变，乘上底数的自然对数
指数型 e x e^x ex	e x e^x ex	自身不变（特例）
幂函数型 x a x^a xa	a x a − 1 a x^{a-1} axa−1	降幂一次，乘上原指数
幂指函数 x x x^x xx	x x ( ln ⁡ x + 1 ) x^x (\ln x + 1) xx(lnx+1)	不能直接套公式，必须取对数求导
对数型 log ⁡ a x \log_a x logax	1 x ln ⁡ a \frac{1}{x \ln a} xlna1	乘以底数对数的倒数
自然对数 ln ⁡ x \ln x lnx	1 x \frac{1}{x} x1	特例，分母无系数

终极技巧 ：遇到形如 y = ( u ( x ) ) v ( x ) y = (u(x))^{v(x)} y=(u(x))v(x) 的函数，一律先取对数 （即对数求导法），切勿将其混同于 a x a^x ax 或 x a x^a xa。

第二部分：反三角函数求导

1. 反正弦函数 y = arcsin ⁡ x ( ∣ x ∣ < 1 ) y = \arcsin x \quad (|x|<1) y=arcsinx(∣x∣<1)

推导：令 y = arcsin ⁡ x y = \arcsin x y=arcsinx，则等价于 x = sin ⁡ y x = \sin y x=siny。注意，此时 y ∈ $- π 2 , π 2$ y \in \left $-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}\\right$ y∈ $-2π,2π$ ，故 cos ⁡ y ≥ 0 \cos y \ge 0 cosy≥0。

两边对 x x x 求导（视 y y y 为 x x x 的函数，使用链式法则）：

d d x ( x ) = d d x ( sin ⁡ y ) ⟹ 1 = cos ⁡ y ⋅ d y d x \frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\sin y) \implies 1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx} dxd(x)=dxd(siny)⟹1=cosy⋅dxdy

解得 d y d x = 1 cos ⁡ y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} dxdy=cosy1。

利用三角恒等式 cos ⁡ 2 y = 1 − sin ⁡ 2 y \cos^2 y = 1 - \sin^2 y cos2y=1−sin2y，且 cos ⁡ y ≥ 0 \cos y \ge 0 cosy≥0，得：

cos ⁡ y = 1 − sin ⁡ 2 y = 1 − x 2 \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2} cosy=1−sin2y =1−x2

结论： ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 \boxed{(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} (arcsinx)′=1−x2 1

2. 反余弦函数 y = arccos ⁡ x ( ∣ x ∣ < 1 ) y = \arccos x \quad (|x|<1) y=arccosx(∣x∣<1)

推导：令 y = arccos ⁡ x y = \arccos x y=arccosx，则 x = cos ⁡ y x = \cos y x=cosy。此时 y ∈ $0 , π$ y \in $0, \\pi$ y∈ $0,π$ ，故 sin ⁡ y ≥ 0 \sin y \ge 0 siny≥0。

两边对 x x x 求导：

1 = − sin ⁡ y ⋅ d y d x ⟹ d y d x = − 1 sin ⁡ y 1 = -\sin y \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sin y} 1=−siny⋅dxdy⟹dxdy=siny−1

利用 sin ⁡ 2 y = 1 − cos ⁡ 2 y \sin^2 y = 1 - \cos^2 y sin2y=1−cos2y，且 sin ⁡ y ≥ 0 \sin y \ge 0 siny≥0，得：

sin ⁡ y = 1 − x 2 \sin y = \sqrt{1 - x^2} siny=1−x2

结论： ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 \boxed{(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} (arccosx)′=−1−x2 1

3. 反正切函数 y = arctan ⁡ x y = \arctan x y=arctanx

推导：令 y = arctan ⁡ x y = \arctan x y=arctanx，则 x = tan ⁡ y x = \tan y x=tany。此时 y ∈ ( − π 2 , π 2 ) y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) y∈(−2π,2π)。

两边对 x x x 求导：

1 = sec ⁡ 2 y ⋅ d y d x ⟹ d y d x = 1 sec ⁡ 2 y 1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} 1=sec2y⋅dxdy⟹dxdy=sec2y1

利用恒等式 sec ⁡ 2 y = 1 + tan ⁡ 2 y \sec^2 y = 1 + \tan^2 y sec2y=1+tan2y，代入 tan ⁡ y = x \tan y = x tany=x：

sec ⁡ 2 y = 1 + x 2 \sec^2 y = 1 + x^2 sec2y=1+x2

结论： ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 \boxed{(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}} (arctanx)′=1+x21

4. 反余切函数 y = arccot ⁡ x y = \operatorname{arccot} x y=arccotx

推导：令 y = arccot ⁡ x y = \operatorname{arccot} x y=arccotx，则 x = cot ⁡ y x = \cot y x=coty。

两边对 x x x 求导：

1 = − csc ⁡ 2 y ⋅ d y d x ⟹ d y d x = − 1 csc ⁡ 2 y 1 = -\csc^2 y \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^2 y} 1=−csc2y⋅dxdy⟹dxdy=−csc2y1

利用 csc ⁡ 2 y = 1 + cot ⁡ 2 y \csc^2 y = 1 + \cot^2 y csc2y=1+cot2y，代入 cot ⁡ y = x \cot y = x coty=x：

csc ⁡ 2 y = 1 + x 2 \csc^2 y = 1 + x^2 csc2y=1+x2

结论： ( arccot ⁡ x ) ′ = − 1 1 + x 2 \boxed{(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2}} (arccotx)′=−1+x21

5. 反正割函数 y = arcsec ⁡ x ( ∣ x ∣ ≥ 1 ) y = \operatorname{arcsec} x \quad (|x| \ge 1) y=arcsecx(∣x∣≥1)

推导：令 y = arcsec ⁡ x y = \operatorname{arcsec} x y=arcsecx，则 x = sec ⁡ y x = \sec y x=secy，且 y ∈ $0 , π$ , y ≠ π 2 y \in $0, \\pi$ , y \neq \frac{\pi}{2} y∈ $0,π$ ,y=2π。

两边对 x x x 求导：

1 = sec ⁡ y tan ⁡ y ⋅ d y d x ⟹ d y d x = 1 sec ⁡ y tan ⁡ y 1 = \sec y \tan y \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec y \tan y} 1=secytany⋅dxdy⟹dxdy=secytany1

关键点在于处理绝对值符号：

利用 tan ⁡ 2 y = sec ⁡ 2 y − 1 \tan^2 y = \sec^2 y - 1 tan2y=sec2y−1，得 tan ⁡ y = ± x 2 − 1 \tan y = \pm\sqrt{x^2 - 1} tany=±x2−1 。
因为 y ∈ $0 , π$ y \in $0, \\pi$ y∈ $0,π$ ，当 y ∈ [ 0 , π 2 ) y \in [0, \frac{\pi}{2}) y∈[0,2π) 时， x = sec ⁡ y ≥ 1 x = \sec y \ge 1 x=secy≥1， tan ⁡ y ≥ 0 \tan y \ge 0 tany≥0，此时 tan ⁡ y = x 2 − 1 \tan y = \sqrt{x^2-1} tany=x2−1 ，导数为 1 x x 2 − 1 \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} xx2−1 1（正数）。
当 y ∈ ( π 2 , π ] y \in (\frac{\pi}{2}, \pi] y∈(2π,π] 时， x = sec ⁡ y ≤ − 1 x = \sec y \le -1 x=secy≤−1， tan ⁡ y ≤ 0 \tan y \le 0 tany≤0，此时 tan ⁡ y = − x 2 − 1 \tan y = -\sqrt{x^2-1} tany=−x2−1 ，代入得：

d y d x = 1 x ⋅ ( − x 2 − 1 ) = − 1 x x 2 − 1 \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \cdot (-\sqrt{x^2-1})} = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dxdy=x⋅(−x2−1 )1=−xx2−1 1

由于 x x x 为负， − 1 x -\frac{1}{x} −x1 正好等于 1 ∣ x ∣ \frac{1}{|x|} ∣x∣1，所以导数依然为正。

统一结论 （用绝对值消除分段讨论）：

( arcsec ⁡ x ) ′ = 1 ∣ x ∣ x 2 − 1 \boxed{(\operatorname{arcsec} x)' = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}} (arcsecx)′=∣x∣x2−1 1

6. 反余割函数 y = arccsc ⁡ x ( ∣ x ∣ ≥ 1 ) y = \operatorname{arccsc} x \quad (|x| \ge 1) y=arccscx(∣x∣≥1)

推导：令 y = arccsc ⁡ x y = \operatorname{arccsc} x y=arccscx，则 x = csc ⁡ y x = \csc y x=cscy。两边对 x x x 求导：

1 = − csc ⁡ y cot ⁡ y ⋅ d y d x ⟹ d y d x = − 1 csc ⁡ y cot ⁡ y 1 = -\csc y \cot y \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc y \cot y} 1=−cscycoty⋅dxdy⟹dxdy=−cscycoty1

同理，根据 y ∈ $- π 2 , 0 ) \cup ( 0 , π 2$ y \in $-\\frac{\\pi}{2}, 0) \\cup (0, \\frac{\\pi}{2}$ y∈ $-2π,0)\cup(0,2π$ ，对 cot ⁡ y \cot y coty 的符号进行分段处理后，引入绝对值：

( arccsc ⁡ x ) ′ = − 1 ∣ x ∣ x 2 − 1 \boxed{(\operatorname{arccsc} x)' = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}} (arccscx)′=−∣x∣x2−1 1

第三部分：双曲函数求导（从定义出发）

双曲正弦 sinh ⁡ x = e x − e − x 2 \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} sinhx=2ex−e−x，双曲余弦 cosh ⁡ x = e x + e − x 2 \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} coshx=2ex+e−x。

1. 双曲正弦

( sinh ⁡ x ) ′ = d d x ( e x − e − x 2 ) = 1 2 ⋅ d d x ( e x − e − x ) = 1 2 ( e x − ( − 1 ) e − x ) ( 链式法则： ( e − x ) ′ = e − x ⋅ ( − 1 ) ) = e x + e − x 2 = cosh ⁡ x \begin{aligned} (\sinh x)' &= \frac{d}{dx}\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) \\ &= \frac{1}{2} \left( e^x - (-1)e^{-x} \right) \quad (\text{链式法则：}(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-1)) \\ &= \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x \end{aligned} (sinhx)′=dxd(2ex−e−x)=21⋅dxd(ex−e−x)=21(ex−(−1)e−x)(链式法则：(e−x)′=e−x⋅(−1))=2ex+e−x=coshx

结论： ( sinh ⁡ x ) ′ = cosh ⁡ x \boxed{(\sinh x)' = \cosh x} (sinhx)′=coshx

2. 双曲余弦

( cosh ⁡ x ) ′ = d d x ( e x + e − x 2 ) = 1 2 ( e x + ( − 1 ) e − x ) = e x − e − x 2 = sinh ⁡ x \begin{aligned} (\cosh x)' &= \frac{d}{dx}\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) \\ &= \frac{1}{2} \left( e^x + (-1)e^{-x} \right) \\ &= \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x \end{aligned} (coshx)′=dxd(2ex+e−x)=21(ex+(−1)e−x)=2ex−e−x=sinhx

结论： ( cosh ⁡ x ) ′ = sinh ⁡ x \boxed{(\cosh x)' = \sinh x} (coshx)′=sinhx

3. 双曲正切（ tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} tanhx=coshxsinhx）

利用商法则 ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} (vu)′=v2u′v−uv′：

( tanh ⁡ x ) ′ = ( sinh ⁡ x ) ′ cosh ⁡ x − sinh ⁡ x ( cosh ⁡ x ) ′ cosh ⁡ 2 x = cosh ⁡ x ⋅ cosh ⁡ x − sinh ⁡ x ⋅ sinh ⁡ x cosh ⁡ 2 x = cosh ⁡ 2 x − sinh ⁡ 2 x cosh ⁡ 2 x \begin{aligned} (\tanh x)' &= \frac{(\sinh x)' \cosh x - \sinh x (\cosh x)'}{\cosh^2 x} \\ &= \frac{\cosh x \cdot \cosh x - \sinh x \cdot \sinh x}{\cosh^2 x} \\ &= \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} \end{aligned} (tanhx)′=cosh2x(sinhx)′coshx−sinhx(coshx)′=cosh2xcoshx⋅coshx−sinhx⋅sinhx=cosh2xcosh2x−sinh2x

利用双曲恒等式 cosh ⁡ 2 x − sinh ⁡ 2 x = 1 \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 cosh2x−sinh2x=1，得：

= 1 cosh ⁡ 2 x = sech ⁡ 2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x =cosh2x1=sech2x

结论： ( tanh ⁡ x ) ′ = sech ⁡ 2 x \boxed{(\tanh x)' = \operatorname{sech}^2 x} (tanhx)′=sech2x

第四部分：参数方程求导

若曲线由 { x = x ( t ) y = y ( t ) \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} {x=x(t)y=y(t) 给出，且 x ′ ( t ) ≠ 0 x'(t) \neq 0 x′(t)=0。

1. 一阶导数 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy

推导：根据链式法则， d y d x = d y d t ⋅ d t d x \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} dxdy=dtdy⋅dxdt。

由于 d t d x = 1 d x d t \frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}} dxdt=dtdx1，所以：

d y d x = d y d t d x d t = y ′ ( t ) x ′ ( t ) \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{y'(t)}{x'(t)} dxdy=dtdxdtdy=x′(t)y′(t)

2. 二阶导数 d 2 y d x 2 \frac{d^2 y}{dx^2} dx2d2y（易错点）

推导：二阶导数是对一阶导数的结果再次对 x x x 求导。即：

d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) = d d x ( y ′ ( t ) x ′ ( t ) ) \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dx}\left( \frac{y'(t)}{x'(t)} \right) dx2d2y=dxd(dxdy)=dxd(x′(t)y′(t))

此时 y ′ ( t ) x ′ ( t ) \frac{y'(t)}{x'(t)} x′(t)y′(t) 仍是 t t t 的函数，不能直接对 t t t 求导，必须利用链式法则转化：

d d x ( y ′ ( t ) x ′ ( t ) ) = d d t ( y ′ ( t ) x ′ ( t ) ) ⋅ d t d x = d d t ( y ′ ( t ) x ′ ( t ) ) x ′ ( t ) \frac{d}{dx}\left( \frac{y'(t)}{x'(t)} \right) = \frac{d}{dt}\left( \frac{y'(t)}{x'(t)} \right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{ \frac{d}{dt}\left( \frac{y'(t)}{x'(t)} \right) }{x'(t)} dxd(x′(t)y′(t))=dtd(x′(t)y′(t))⋅dxdt=x′(t)dtd(x′(t)y′(t))

现在对括号内使用商法则（对 t t t 求导）：

d d t ( y ′ ( t ) x ′ ( t ) ) = y ′ ′ ( t ) x ′ ( t ) − y ′ ( t ) x ′ ′ ( t ) $x ' ( t )$ 2 \frac{d}{dt}\left( \frac{y'(t)}{x'(t)} \right) = \frac{y''(t) x'(t) - y'(t) x''(t)}{ $x'(t)$ ^2} dtd(x′(t)y′(t))= $x'(t)$ 2y′′(t)x′(t)−y′(t)x′′(t)

代回得最终公式：

d 2 y d x 2 = y ′ ′ ( t ) x ′ ( t ) − y ′ ( t ) x ′ ′ ( t ) $x ' ( t )$ 3 \boxed{\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{y''(t) x'(t) - y'(t) x''(t)}{ $x'(t)$ ^3}} dx2d2y= $x'(t)$ 3y′′(t)x′(t)−y′(t)x′′(t)

3. 参数方程的三阶导数 d 3 y d x 3 \frac{d^3 y}{dx^3} dx3d3y

此处推导三阶导数（在二阶导数基础上再次求导）。

推导：

已知 d 2 y d x 2 = d d t ( y ′ ( t ) x ′ ( t ) ) ⋅ 1 x ′ ( t ) \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left( \frac{y'(t)}{x'(t)} \right) \cdot \frac{1}{x'(t)} dx2d2y=dtd(x′(t)y′(t))⋅x′(t)1。

我们令 A ( t ) = d d t ( y ′ ( t ) x ′ ( t ) ) = y ′ ′ ( t ) x ′ ( t ) − y ′ ( t ) x ′ ′ ( t ) $x ' ( t )$ 2 A(t) = \frac{d}{dt}\left( \frac{y'(t)}{x'(t)} \right) = \frac{y''(t) x'(t) - y'(t) x''(t)}{ $x'(t)$ ^2} A(t)=dtd(x′(t)y′(t))= $x'(t)$ 2y′′(t)x′(t)−y′(t)x′′(t)。

则 d 2 y d x 2 = A ( t ) x ′ ( t ) \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{A(t)}{x'(t)} dx2d2y=x′(t)A(t)。

求三阶导数 ：

d 3 y d x 3 = d d x ( d 2 y d x 2 ) = d d t ( A ( t ) x ′ ( t ) ) ⋅ d t d x = d d t ( A ( t ) x ′ ( t ) ) x ′ ( t ) \frac{d^3 y}{dx^3} = \frac{d}{dx} \left( \frac{d^2 y}{dx^2} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{A(t)}{x'(t)} \right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{ \frac{d}{dt} \left( \frac{A(t)}{x'(t)} \right) }{x'(t)} dx3d3y=dxd(dx2d2y)=dtd(x′(t)A(t))⋅dxdt=x′(t)dtd(x′(t)A(t))

利用商法则对 A ( t ) x ′ ( t ) \frac{A(t)}{x'(t)} x′(t)A(t) 求导：

d d t ( A ( t ) x ′ ( t ) ) = A ′ ( t ) x ′ ( t ) − A ( t ) x ′ ′ ( t ) $x ' ( t )$ 2 \frac{d}{dt} \left( \frac{A(t)}{x'(t)} \right) = \frac{A'(t) x'(t) - A(t) x''(t)}{ $x'(t)$ ^2} dtd(x′(t)A(t))= $x'(t)$ 2A′(t)x′(t)−A(t)x′′(t)

其中 A ′ ( t ) = d d t ( y ′ ′ ( t ) x ′ ( t ) − y ′ ( t ) x ′ ′ ( t ) $x ' ( t )$ 2 ) A'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{y''(t) x'(t) - y'(t) x''(t)}{ $x'(t)$ ^2} \right) A′(t)=dtd( $x'(t)$ 2y′′(t)x′(t)−y′(t)x′′(t))。

公式极长，实战中通常分步计算：先求出 y ′ y' y′ 和 y ′ ′ y'' y′′ 关于 t t t 的表达式，再通过 $\\frac{d^3y}{dx^3} = \\frac{\\frac{d}{dt}(\\frac{d^2y}{dx^2})}{x'(t)}$ 逐层计算。

第五部分：莱布尼茨公式（高阶导数推广）

公式推导（数学归纳法思想）

目标：求两个函数乘积 y = u ( x ) v ( x ) y = u(x)v(x) y=u(x)v(x) 的 n n n 阶导数 ( u v ) ( n ) (uv)^{(n)} (uv)(n)。

当 n = 1 n=1 n=1 时， ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)' = u'v + uv' (uv)′=u′v+uv′（乘积法则）。
假设当 n = k n=k n=k 时，公式成立： ( u v ) ( k ) = ∑ i = 0 k C k i u ( i ) v ( k − i ) (uv)^{(k)} = \sum_{i=0}^{k} C_k^i u^{(i)} v^{(k-i)} (uv)(k)=∑i=0kCkiu(i)v(k−i)。
当 n = k + 1 n=k+1 n=k+1 时，对上述结果再次求导：

( u v ) ( k + 1 ) = ∑ i = 0 k C k i $u ( i + 1 ) v ( k - i ) + u ( i ) v ( k - i + 1 )$ (uv)^{(k+1)} = \sum_{i=0}^{k} C_k^i \left $u\^{(i+1)} v\^{(k-i)} + u\^{(i)} v\^{(k-i+1)} \\right$ (uv)(k+1)=i=0∑kCki $u(i+1)v(k-i)+u(i)v(k-i+1)$

通过合并同类项（利用组合数性质 C k i + C k i − 1 = C k + 1 i C_k^i + C_k^{i-1} = C_{k+1}^i Cki+Cki−1=Ck+1i），可得：

( u v ) ( k + 1 ) = ∑ i = 0 k + 1 C k + 1 i u ( i ) v ( k + 1 − i ) (uv)^{(k+1)} = \sum_{i=0}^{k+1} C_{k+1}^i u^{(i)} v^{(k+1-i)} (uv)(k+1)=i=0∑k+1Ck+1iu(i)v(k+1−i)

最终结论 ：

( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( k ) v ( n − k ) \boxed{(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}} (uv)(n)=k=0∑nCnku(k)v(n−k)

记忆法：完全等同于二项式定理展开，只是把"幂次"替换为"求导阶数"。

第六部分：对数求导法（推导示例）

问题：求 y = x x ( x > 0 ) y = x^x \quad (x>0) y=xx(x>0) 的导数。

推导步骤：

两边取自然对数（化解指数）：

ln ⁡ y = ln ⁡ ( x x ) ⟹ ln ⁡ y = x ln ⁡ x \ln y = \ln(x^x) \implies \ln y = x \ln x lny=ln(xx)⟹lny=xlnx
两边对 x x x 求导（左侧用链式法则，右侧用乘积法则）：

d d x ( ln ⁡ y ) = 1 y ⋅ y ′ ( 因为 y 是 x 的函数 ) \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{1}{y} \cdot y' \quad (\text{因为 } y \text{ 是 } x \text{ 的函数}) dxd(lny)=y1⋅y′(因为 y 是 x 的函数)

d d x ( x ln ⁡ x ) = 1 ⋅ ln ⁡ x + x ⋅ 1 x = ln ⁡ x + 1 \frac{d}{dx}(x \ln x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 dxd(xlnx)=1⋅lnx+x⋅x1=lnx+1
联立得：

1 y ⋅ y ′ = ln ⁡ x + 1 ⟹ y ′ = y ( ln ⁡ x + 1 ) \frac{1}{y} \cdot y' = \ln x + 1 \implies y' = y (\ln x + 1) y1⋅y′=lnx+1⟹y′=y(lnx+1)
将 y = x x y = x^x y=xx 代回：

y ′ = x x ( ln ⁡ x + 1 ) \boxed{y' = x^x (\ln x + 1)} y′=xx(lnx+1)

第七部分：实战综合例题（验证详细推导）

例1 ：求由参数方程 { x = t 2 y = t 3 − 3 t \begin{cases} x = t^2 \\ y = t^3 - 3t \end{cases} {x=t2y=t3−3t 确定的曲线的 d 2 y d x 2 \frac{d^2 y}{dx^2} dx2d2y。

解：

先求一阶导数： x ′ ( t ) = 2 t , y ′ ( t ) = 3 t 2 − 3 x'(t) = 2t, \quad y'(t) = 3t^2 - 3 x′(t)=2t,y′(t)=3t2−3。

d y d x = 3 t 2 − 3 2 t = 3 ( t 2 − 1 ) 2 t \frac{dy}{dx} = \frac{3t^2 - 3}{2t} = \frac{3(t^2 - 1)}{2t} dxdy=2t3t2−3=2t3(t2−1)

再求二阶导数，利用公式 d 2 y d x 2 = y ′ ′ ( t ) x ′ ( t ) − y ′ ( t ) x ′ ′ ( t ) $x ' ( t )$ 3 \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{y''(t) x'(t) - y'(t) x''(t)}{ $x'(t)$ ^3} dx2d2y= $x'(t)$ 3y′′(t)x′(t)−y′(t)x′′(t)：

先求二阶导： x ′ ′ ( t ) = 2 , y ′ ′ ( t ) = 6 t x''(t) = 2, \quad y''(t) = 6t x′′(t)=2,y′′(t)=6t。

代入公式：

d 2 y d x 2 = ( 6 t ) ( 2 t ) − ( 3 t 2 − 3 ) ( 2 ) ( 2 t ) 3 = 12 t 2 − 6 t 2 + 6 8 t 3 = 6 t 2 + 6 8 t 3 = 3 ( t 2 + 1 ) 4 t 3 \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(6t)(2t) - (3t^2 - 3)(2)}{(2t)^3} = \frac{12t^2 - 6t^2 + 6}{8t^3} = \frac{6t^2 + 6}{8t^3} = \boxed{\frac{3(t^2 + 1)}{4t^3}} dx2d2y=(2t)3(6t)(2t)−(3t2−3)(2)=8t312t2−6t2+6=8t36t2+6=4t33(t2+1)

例2 ：求由方程 x 2 + y 2 = 1 x^2 + y^2 = 1 x2+y2=1 确定的 d 2 y d x 2 \frac{d^2 y}{dx^2} dx2d2y。

解：

第一步 ：两边对 x x x 求导，得一阶导数：

2 x + 2 y y ′ = 0 ⟹ y ′ = − x y 2x + 2y y' = 0 \implies y' = -\frac{x}{y} 2x+2yy′=0⟹y′=−yx

第二步 ：对等式 2 x + 2 y y ′ = 0 2x + 2y y' = 0 2x+2yy′=0 再次对 x x x 求导（注意 y y y 和 y ′ y' y′ 均为 x x x 的函数）：

d d x ( 2 x ) + d d x ( 2 y y ′ ) = 0 \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(2y y') = 0 dxd(2x)+dxd(2yy′)=0

2 + 2 ( y ′ ⋅ y ′ + y ⋅ y ′ ′ ) = 0 2 + 2(y' \cdot y' + y \cdot y'') = 0 2+2(y′⋅y′+y⋅y′′)=0

2 + 2 ( y ′ ) 2 + 2 y y ′ ′ = 0 2 + 2(y')^2 + 2y y'' = 0 2+2(y′)2+2yy′′=0

第三步 ：解出 y ′ ′ y'' y′′：

y ′ ′ = − 1 + ( y ′ ) 2 y y'' = -\frac{1 + (y')^2}{y} y′′=−y1+(y′)2

第四步 ：将 y ′ = − x y y' = -\frac{x}{y} y′=−yx 代入化简：

y ′ ′ = − 1 + ( − x y ) 2 y = − 1 + x 2 y 2 y = − y 2 + x 2 y 2 y = − x 2 + y 2 y 3 y'' = -\frac{1 + \left(-\frac{x}{y}\right)^2}{y} = -\frac{1 + \frac{x^2}{y^2}}{y} = -\frac{\frac{y^2 + x^2}{y^2}}{y} = -\frac{x^2 + y^2}{y^3} y′′=−y1+(−yx)2=−y1+y2x2=−yy2y2+x2=−y3x2+y2

由于原方程 x 2 + y 2 = 1 x^2 + y^2 = 1 x2+y2=1，所以最终结果为：

y ′ ′ = − 1 y 3 \boxed{y'' = -\frac{1}{y^3}} y′′=−y31