题目链接
洛谷链接： https://www.luogu.com.cn/problem/P2868
AcWing链接： https://www.acwing.com/problem/content/363/
涉及知识
SPFA 求负环（正环）
概念解析
01分数规划是一类求最优比率的优化问题，目的在于求出某一比值的最大值或者最小值。对于给定的每一个点和每一条边，要么选，要么不选。
此类问题通常有以下几种变种：
1、基础01分数规划 ：从n个物品中选k个
2、最优比率生成树： 图上选n-1条边构成生成树 ，使花费/收益比最优。
3、最优比率环： 图上找一个环 ，使环上收益和/代价和比最优。
4、匹配类： 如新生舞会问题，二分图匹配中求最大平均值。
求解此类题目的核心做法，核心在于将分式转化为整式，达到线性求解的目的。然后运用二分法，对于每一个 m i d mid mid 值跑一遍 SPFA 算法，检查其是否满足条件，找到最值。
思路分析
本文主要聚焦最优比率环 问题。
观光奶牛一题要求我们求出最大单位时间乐趣值，而乐趣值的来源是在每一个地标（点）的停留，时间花费在牛道（边），因此"最大单位时间乐趣值"实际上就是求分式 Σ f i Σ t i \frac{\Sigma f_i}{\Sigma t_i} ΣtiΣfi 的最大值。而此题又要求最后需要回到起始地标，因此此题在最大比率的基础上多了环的要求，即成为 "最优比率环"问题。
求最大值，我们可以采用二分法，每次判断 m i d mid mid 是否符合题意，即得分式：
Σ f i Σ t i > m i d \frac{\Sigma f_i}{\Sigma t_i}>mid ΣtiΣfi>mid
然后，我们将其进行处理，得到：
Σ f i − m i d Σ t i > 0 \Sigma f_i-mid \Sigma t_i>0 Σfi−midΣti>0
这时候，我们相当于虚拟出一张边权为 f i − m i d Σ t i f_i-mid \Sigma t_i fi−midΣti 的图，判断其是否存在正环即可。（反之，如果求最小值，则是判断是否存在负环）
判断是否存在负环，可以判断到某点时走过的路径条数是否超过 n − 1 n-1 n−1，时间复杂度属于线性，较低。
AC代码
cpp
//01分数规划
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1100, M = 2e4 + 10;
int n, m;
double dis[N], wf[N], wt[M];
int st[N], cnt[N];
int e[M], ne[M], h[N], idx;
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b;
wt[idx] = c;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
return;
}
bool check(double mid)
{
memset(dis, 0, sizeof dis);
memset(st, 0, sizeof st);
memset(cnt, 0, sizeof cnt);
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (!q.empty())
{
int now = q.front();
q.pop();
st[now] = false;
for (int i = h[now]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dis[j] < dis[now] + wf[now] - mid * wt[i])
{
dis[j] = dis[now] + wf[now] - mid * wt[i];
cnt[j] = cnt[now] + 1;
if (cnt[j] >= n) return true;
if (!st[j])
{
st[j] = true;
q.push(j);
}
}
}
}
return false;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> wf[i];
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int a, b;
double c;
cin >> a >> b >> c;
add(a, b, c);
}
double l = 0, r = 1e4;
while (r - l > 1e-4)
{
double mid = (l + r) / 2;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid;
}
printf("%.2lf", r);
return 0;
}