二维费用01背包

P1855 榨取kkksc03 题解复盘

模块：动态规划

目标：在金钱和时间都有限的情况下，最多完成多少个愿望

基本信息

项目	内容
题目编号、来源	P1855 洛谷 / 榨取kkksc03
训练层级	B 变形题
知识版块	二维费用背包、01背包、动态规划

解题前 · 关键信号识别

维度	分析
目标、约束、底层结构	目标 ：在总金钱不超过 M、总时间不超过 T 的情况下，尽可能完成更多愿望。 约束 ：每个愿望只能完成一次。 底层结构：每个物品有两个费用限制（金钱、时间），属于二维费用 01 背包。
数据规模	n≤100，M,T≤200，使用 O(nMT) 可以通过。
候选算法和依据	算法：二维费用 01 背包。 依据：每个愿望只能选择一次，同时消耗两种资源，因此需要用二维状态记录金钱和时间。
复杂度预判	时间复杂度 O(n×M×T)，空间复杂度 O(M×T)。

解题后 · 外化复盘

维度	内容
实现结构 / 核心思路	定义 dp[j][k] 表示使用不超过 j 元钱和 k 分钟时间时，最多可以完成的愿望数。枚举每个愿望，再分别倒序枚举金钱和时间，使用 dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-m][k-t]+1) 更新答案。
错因回溯	1. 容易把二维费用背包误写成一维背包，只记录一种资源。 2. 容易把金钱或时间正序枚举，导致同一个愿望在同一轮被重复选择。 3. 输入愿望数量时应枚举 n，不能误写成 M 或 T。
边界和易错点	1. 每个愿望只能完成一次，因此两个容量都必须倒序枚举。 2. dp 初始值默认为 0 即可，因为什么都不选时完成愿望数为 0。 3. 最终答案是 dp[M][T]。
下次看到什么信号，我应该想到这个方法	看到"每件物品只能选一次 + 有两个容量限制 + 求最大价值/最多数量"，想到：二维费用 01 背包。

AC 完整代码

#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iomanip>
using namespace std;

struct node{
    int m,t;
};

int dp[205][205];

int main(){
    int n,M,T;
    cin>>n>>M>>T;

    node v[105];

    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v[i].m>>v[i].t;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=M;j>=v[i].m;j--){
            for(int k=T;k>=v[i].t;k--){
                dp[j][k]=max(
                    dp[j][k],
                    dp[j-v[i].m][k-v[i].t]+1
                );
            }
        }
    }

    cout<<dp[M][T];

    return 0;
}

本题知识点总结

1. 状态定义

dp[j][k]

表示：

在金钱不超过 j、时间不超过 k 的情况下，最多可以完成多少个愿望。

普通 01 背包只有一个容量：

dp[j]

这题有两个限制：

金钱
时间

所以状态增加一维：

dp[j][k]

---

2. 状态转移

对于当前愿望：

需要金钱：m
需要时间：t

如果选择它：

dp[j-m][k-t]+1

如果不选择：

dp[j][k]

因此：

dp[j][k]=max(
    dp[j][k],
    dp[j-m][k-t]+1
);

---

3. 为什么两个容量都倒序？

因为：

每个愿望只能完成一次。

如果金钱或时间正序枚举，本轮刚刚更新出的状态可能继续参与后面的转移，相当于同一个愿望被重复使用。

因此必须：

for(int j=M;j>=m;j--)
{
    for(int k=T;k>=t;k--)
    {
        ...
    }
}

---

4. 与普通01背包对比

普通 01 背包：

一个容量限制

状态：

dp[j]

转移：

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w]+v);

二维费用背包：

两个容量限制

状态：

dp[j][k]

转移：

dp[j][k]=max(
    dp[j][k],
    dp[j-w1][k-w2]+value
);

---

5. 为什么这题价值是 +1？

因为每完成一个愿望，答案增加一个。

所以：

dp[j-v[i].m][k-v[i].t]+1

这里的：

+1

就是：

再完成当前这个愿望。

如果题目改成每个愿望还有一个价值 w[i]，那就会变成：

dp[j][k]=max(
    dp[j][k],
    dp[j-m][k-t]+w[i]
);

模型对比

模型	资源限制	每件物品次数	状态
01背包	1种	一次	dp[j]
完全背包	1种	无限次	dp[j]
二维费用01背包	2种	一次	dp[j][k]

一句话总结

看到"两个容量限制 + 每件物品只能选一次"，想到二维费用 01 背包；定义 dp[j][k]，两个容量全部倒序枚举。

P1507 NASA的食物计划 题解复盘

模块：动态规划

目标：在体积和质量都有限的情况下，选择若干食品，使总卡路里最大

基本信息

项目	内容
题目编号、来源	P1507 洛谷 / NASA的食物计划
训练层级	B 变形题
知识版块	二维费用背包、01背包、动态规划

解题前 · 关键信号识别

维度	分析
目标、约束、底层结构	目标 ：在总体积不超过 H、总质量不超过 T 的情况下，使所选食品的总卡路里最大。 约束 ：每个食品只能选择一次。 底层结构：每件物品同时消耗体积和质量两种资源，因此属于二维费用 01 背包。
数据规模	H,T≤400，n≤50，使用 O(nHT) 可以通过。
候选算法和依据	算法：二维费用 01 背包。 依据：每件食品只能选择一次，并且有体积、质量两个容量限制。
复杂度预判	时间复杂度 O(n×H×T)，空间复杂度 O(H×T)。

解题后 · 外化复盘

维度	内容
实现结构 / 核心思路	定义 dp[j][k] 表示在体积不超过 j、质量不超过 k 的情况下能够获得的最大卡路里。枚举每件食品，再倒序枚举体积和质量，使用 dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-h][k-t]+x) 更新答案。
错因回溯	1. 容易把二维费用背包写成普通一维 01 背包，漏掉质量或体积其中一个限制。 2. 如果体积或质量正序枚举，会导致同一件食品在同一轮被重复选择。 3. 容易把第三个属性卡路里误当成容量，而实际上它是价值。
边界和易错点	1. 每件食品只能使用一次，因此两个容量都必须倒序。 2. dp 初始值为 0 即可，因为可以什么都不选。 3. 最终答案是 dp[H][T]。
下次看到什么信号，我应该想到这个方法	看到"每件物品只能选一次 + 有两个容量限制 + 求最大价值"，想到：二维费用 01 背包。

AC 完整代码

#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iomanip>
using namespace std;

struct node{
    int h,t,x;
};

int dp[405][405];

int main(){
    int H,T,n;
    cin>>H>>T>>n;

    node v[55];

    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v[i].h>>v[i].t>>v[i].x;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=H;j>=v[i].h;j--){
            for(int k=T;k>=v[i].t;k--){
                dp[j][k]=max(
                    dp[j][k],
                    dp[j-v[i].h][k-v[i].t]+v[i].x
                );
            }
        }
    }

    cout<<dp[H][T];

    return 0;
}

本题知识点总结

1. 状态定义

dp[j][k]

表示：

在体积不超过 j、质量不超过 k 的情况下，能够获得的最大总卡路里。

这里：

j

对应体积，

k

对应质量。

---

2. 状态转移

当前食品：

体积 h
质量 t
卡路里 x

如果不选：

dp[j][k]

如果选择：

dp[j-h][k-t]+x

所以：

dp[j][k]=max(
    dp[j][k],
    dp[j-h][k-t]+x
);

---

3. 为什么两个容量都倒序？

因为每件食品只能选一次。

如果正序：

for(int j=h;j<=H;j++)

当前食品刚更新出来的状态可能继续参与本轮后面的转移，相当于：

同一件食品被使用了多次。

因此必须：

for(int j=H;j>=h;j--)
{
    for(int k=T;k>=t;k--)
    {
        ...
    }
}

---

4. 与普通01背包对比

普通 01 背包：

一个容量限制

状态：

dp[j]

转移：

dp[j]=max(dp[j],dp[j-w]+v);

NASA 食物计划：

两个容量限制

状态：

dp[j][k]

转移：

dp[j][k]=max(
    dp[j][k],
    dp[j-h][k-t]+x
);

---

5. 与 P1855 榨取kkksc03 对比

题目	两个容量	价值
P1855 榨取kkksc03	金钱 + 时间	每完成一个愿望 +1
P1507 NASA的食物计划	体积 + 质量	每件食品有自己的卡路里 x

两题本质完全一样：

二维费用 01 背包

只是价值不同。

模型对比

模型	资源限制	每件物品次数	状态	转移
01背包	1种	一次	dp[j]	max(dp[j],dp[j-w]+v)
完全背包	1种	无限次	dp[j]	容量正序
二维费用01背包	2种	一次	dp[j][k]	两个容量都倒序

一句话总结

看到"两个容量限制 + 每件物品只能选一次 + 求最大价值"，想到二维费用 01 背包；定义 dp[j][k]，两个容量全部倒序枚举。