蓝桥杯+全国青少年信息素养大赛+电子学会PythonC/C++考级：最长公共子序列LCS解析

引言

在少儿编程的算法进阶路上，「动态规划」几乎是蓝桥杯软件赛、全国青少年信息素养大赛算法应用主题赛、以及中国电子学会 Python / C / C++ 考级的必考模块。而在序列型 DP 中，最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）又是最经典、也最容易与「最长公共子串」混淆的一题。

很多同学背过状态转移方程，却在比赛里因为下标偏移、初始化、子序列与子串分不清而丢分。今天我们用一道原创练习题，把 LCS 的状态定义、转移、方案还原、复杂度与易错点一次性讲透，并给出 C++ / Python 双语言实现。

题目：校园诗词共背挑战（原创练习题）

题目描述

校园读书节举办「诗词共背」活动。老师把两首课外诗各摘取一段，转写成由大写字母组成的字符序列 A 和 B（长度均不超过 1000）。请你求出这两个序列的最长公共子序列的长度，并还原出一种公共子序列方案。

子序列不要求连续，只要相对顺序一致即可；
若需要输出「字典序最小」的方案，请在还原时优先走字典序小的方向（本文先给出任意一种方案）。

输入样例

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A = ABCBDAB
B = BDCABA

输出

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长度：4
一种公共子序列：BCBA

考点映射

蓝桥杯（第十八届软件赛 C/C++、Python 程序设计报名 2026-10-08---12-18，省赛 2027-04）：字符串 DP 基础题型，常作为填空题或大题第一问。
全国青少年信息素养大赛·算法应用主题赛：动态规划考点大纲明确包含序列型 DP 与字符串处理。
中国电子学会 Python / C / C++ 考级（12 月场次报名进行中）：二级 / 三级的 DP 与字符串综合应用。

核心考点拆解

子序列 vs 子串：子序列不要求连续，子串必须连续------这是 LCS 与「最长公共子串」的本质区别。
状态定义 ：dp[i][j] 表示序列 A 的前 i 个字符与序列 B 的前 j 个字符的 LCS 长度。
状态转移：
若 A[i-1] == B[j-1]，则这两个字符可以同时纳入，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；
否则只能「舍弃 A 的末位」或「舍弃 B 的末位」中取较大者，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
边界初始化 ：dp[0][*] 与 dp[*][0] 全部为 0（空序列与任何序列的 LCS 长度为 0）。
复杂度：时间 O(n·m)，空间 O(n·m)，可滚动压缩到 O(min(n, m))。
方案还原 ：从 dp[n][m] 沿转移路径倒推，相等则收字符、否则走向值更大的上一格。

解法一：二维 DP 求长度（C++ / Python 双版）

C++ 实现

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    string A = "ABCBDAB", B = "BDCABA";
    int n = A.size(), m = B.size();
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (A[i - 1] == B[j - 1])
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            else
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
    cout << dp[n][m] << "\n"; // 输出 4
    return 0;
}

Python 实现

python 复制代码

def lcs_len(A: str, B: str) -> int:
    n, m = len(A), len(B)
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if A[i - 1] == B[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
    return dp[n][m]

print(lcs_len("ABCBDAB", "BDCABA"))  # 输出 4

解法二：回溯还原一种方案

光求长度不够，很多赛题要求「输出具体方案」。我们在求完 dp 后，从右下角 (n, m) 倒推：相等就把该字符收进结果并同时向左上走；不相等则走向值更大的相邻格。

C++ 实现

cpp 复制代码

string restore(const string& A, const string& B, const vector<vector<int>>& dp) {
    string res;
    int i = A.size(), j = B.size();
    while (i > 0 && j > 0) {
        if (A[i - 1] == B[j - 1]) { res += A[i - 1]; i--; j--; }
        else if (dp[i - 1][j] >= dp[i][j - 1]) i--;
        else j--;
    }
    reverse(res.begin(), res.end());
    return res;
}

Python 实现

python 复制代码

def lcs_seq(A: str, B: str) -> str:
    n, m = len(A), len(B)
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if A[i - 1] == B[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
    res = []
    i, j = n, m
    while i > 0 and j > 0:
        if A[i - 1] == B[j - 1]:
            res.append(A[i - 1]); i -= 1; j -= 1
        elif dp[i - 1][j] >= dp[i][j - 1]:
            i -= 1
        else:
            j -= 1
    return ''.join(reversed(res))

print(lcs_seq("ABCBDAB", "BDCABA"))  # 输出 BCBA

时间 / 空间复杂度

时间复杂度：O(n·m)，两层循环各扫一遍，蓝桥杯与信息素养大赛数据范围（n, m ≤ 1000）完全可在 1 秒内跑完。
空间复杂度 ：基础写法 O(n·m)；由于 dp[i] 只依赖 dp[i-1]，可压缩为两行，降到 O(min(n, m))。
方案还原：回溯一趟 O(n + m)。

易错点提醒

下标偏移 ：dp[i][j] 对应的是 A[0..i-1]、B[0..j-1]，比较字符务必用 A[i-1]、B[j-1]，直接写 A[i] 会越界或错位。
子序列 ≠ 子串 ：不相等时取 max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) 表示「二选一舍弃末位」，不要只和末尾比，那是子串的做法。
初始化漏写：第 0 行、第 0 列必须全 0，否则所有值会整体偏移 1。
还原方向 ：回溯时 i、j 从 n、m 开始，只有字符相等才同时 i--, j-- 并收字符；走错一格方案就错。
多方案要求：题目若要求「字典序最小 / 所有方案」，需额外处理（见进阶），否则任意一条合法方案即可。
数据范围 ：只求长度用 int 足够；若求「方案数」要 long long 或取模 1000000007，避免溢出。

进阶

输出所有 LCS：另开一个计数 DP 记录到达每个格的方案总数，再用记忆化 DFS 枚举全部路径。
两排列的 LCS → LIS：当 A、B 是同一集合的排列时，把 A 中元素映射到它在 B 中的下标序列，该序列的最长上升子序列长度即为 LCS 长度，复杂度降到 O(n log n)。
与编辑距离的关系 ：只允许「增 / 删」两种操作时，编辑距离 = n + m - 2 × LCS，可互相转化。
空间优化 ：dp 只保留上一行，用一维数组从后往前更新，空间降到 O(min(n, m))。
连续版本 ：把「子序列」改成「子串」，则 dp[i][j] 只在 A[i-1]==B[j-1] 时 = dp[i-1][j-1]+1，否则置 0，并随时记录最大值，即最长公共子串。
蓝桥杯变式：在求 LCS 长度的基础上，输出「方案数对 1000000007 取模」，综合考察 DP + 取模，是省赛常见加强。

小结与互动

最长公共子序列是序列型 DP 的「基本功」：记住 dp[i][j] 的语义、相等加一否则取两侧最大、下标用 i-1/j-1、空串初始化为 0，再配上回溯还原，就能稳稳拿下蓝桥杯、信息素养大赛与电子学会考级里的这类题。

你在备赛时还被哪些动态规划题卡过？欢迎在评论区聊聊，我会挑高频问题在后续文章拆解。也欢迎关注，每天一篇少儿编程算法精解，陪你一路打怪升级。

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