P2800 又上锁妖塔题解复盘

模块：线性动态规划 / 状态机 DP

目标：在仙术有冷却限制的情况下，求到达第 n 层的最短时间

基本信息

项目	内容
题目编号、来源	P2800 洛谷 / 又上锁妖塔
训练层级	B 变形题
知识版块	线性 DP、状态机 DP、最短时间

解题前 · 关键信号识别

维度	分析
目标、约束、底层结构	目标：到达第 `n` 层时总耗时最小。约束：可以爬一层，也可以用仙术跳一层或两层；仙术免费，但每次跳完后必须至少爬一层才能再次使用。底层结构：仅知道"当前在第几层"不够，因为还需要知道"当前是否能继续使用仙术"，因此需要额外记录状态。
数据规模	`n≤10^6`，必须使用接近 `O(n)` 的算法。
候选算法和依据	算法：状态机 DP。依据：同样到达第 `i` 层，因为"能不能继续跳"不同，后续决策不同，因此定义 `dp[i][0/1]`。
复杂度预判	时间复杂度 `O(n)`，空间复杂度 `O(n)`，还可以进一步压缩空间。

解题后 · 外化复盘

维度	内容
实现结构 / 核心思路	定义两个状态：`dp[i][0]` 表示到第 `i` 层后可以继续使用仙术的最小时间；`dp[i][1]` 表示到第 `i` 层后不能继续使用仙术的最小时间。爬一层后一定恢复体力，因此转移到状态 `0`；使用仙术跳一层或两层后进入状态 `1`。
错因回溯	1. 一开始只想到 `dp[i]`，没有记录能否使用仙术。 2. 容易把跳跃也加上 `v[i]`，但题目明确跳跃不耗时。 3. `i=1` 时直接访问 `dp[i-2]` 会越界，需要单独判断。 4. DP 初始状态不能默认全为 0，否则 `min` 会把不存在的状态当成合法状态。
边界和易错点	1. 初始在地面，即第 `0` 层，并且可以使用仙术，所以 `dp[0][0]=0`。 2. 其他状态初始化为 `INF`。 3. 跳一层来自 `dp[i-1][0]`，跳两层来自 `dp[i-2][0]`。 4. 最后到达第 `n` 层时，无论能不能继续跳都已经完成任务，因此答案取两个状态最小值。
下次看到什么信号，我应该想到这个方法	看到"同一个位置存在不同内部状态""技能冷却""是否有体力""是否持有某种东西"等条件，想到：状态机 DP，使用 `dp[i][state]` 记录额外状态。

AC 完整代码

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iomanip>
using namespace std;

int dp[1000005][2];
const int INF=1e9;

int main(){
    int n;
    cin>>n;

    int v[n+1];

    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v[i];
    }

    for(int i=0;i<=n;i++){
        dp[i][0]=INF;
        dp[i][1]=INF;
    }

    dp[0][0]=0;

    for(int i=1;i<=n;i++){

        // 跳一层到第 i 层
        dp[i][1]=min(
            dp[i][1],
            dp[i-1][0]
        );

        // 爬一层到第 i 层
        dp[i][0]=min(
            dp[i-1][1],
            dp[i-1][0]
        )+v[i];

        // 跳两层到第 i 层
        if(i>=2){
            dp[i][1]=min(
                dp[i][1],
                dp[i-2][0]
            );
        }
    }

    cout<<min(dp[n][0],dp[n][1]);

    return 0;
}

本题知识点总结

1. 为什么不能只定义 `dp[i]`

如果只写：

cpp 复制代码

dp[i]

表示到达第 i 层的最短时间，会丢失一个非常重要的信息：

text 复制代码

当前还能不能使用仙术？

例如，同样到达第 5 层：

text 复制代码

情况1：刚刚是爬上来的
→ 可以继续跳

情况2：刚刚是跳上来的
→ 不能继续跳

后续决策不同，因此这两个状态不能合并。

2. 状态定义

cpp 复制代码

dp[i][0]

表示：

到达第 i 层，并且当前可以使用仙术时的最短时间。

cpp 复制代码

dp[i][1]

表示：

到达第 i 层，并且当前不能使用仙术时的最短时间。

3. 爬一层的转移

无论之前：

text 复制代码

能跳

还是：

text 复制代码

不能跳

只要爬过一层，就满足了"休息至少一层"的要求。

所以：

cpp 复制代码

dp[i][0]
=
min(
    dp[i-1][0],
    dp[i-1][1]
)
+
v[i];

这里的：

cpp 复制代码

+v[i]

表示爬第 i 层需要花费的时间。

4. 跳一层的转移

仙术只有在当前"可以跳"的状态下才能使用。

所以：

cpp 复制代码

dp[i][1]
=
min(
    dp[i][1],
    dp[i-1][0]
);

跳跃免费，因此不需要：

cpp 复制代码

+v[i]

5. 跳两层的转移

同样必须从能使用仙术的状态过来：

cpp 复制代码

dp[i][1]
=
min(
    dp[i][1],
    dp[i-2][0]
);

但是只有：

text 复制代码

i>=2

时才存在 i-2 层，因此需要判断边界。

6. 为什么 DP 要初始化为 INF

如果数组默认都是 0：

cpp 复制代码

dp[i][0]=0;
dp[i][1]=0;

那么：

cpp 复制代码

min(...)

会错误地认为某些根本不存在的路径耗时为 0。

所以：

cpp 复制代码

dp[i][0]=INF;
dp[i][1]=INF;

表示这些状态一开始不可达。

唯一合法初始状态：

cpp 复制代码

dp[0][0]=0;

表示：

初始在地面，并且仙术可以使用。

7. 为什么最后取两个状态最小值

到达第 n 层时：

text 复制代码

可能是爬上去的

对应：

cpp 复制代码

dp[n][0]

也可能：

text 复制代码

是跳上去的

对应：

cpp 复制代码

dp[n][1]

无论是哪种情况，都已经到达塔顶。

所以答案：

cpp 复制代码

min(dp[n][0],dp[n][1])

与普通线性 DP 对比

模型	状态
最大子段和	`dp[i]`
普通爬楼梯	`dp[i]`
P2800 又上锁妖塔	`dp[i][0/1]`

区别在于：

P2800 到达同一个位置后，还有"能否使用仙术"这个额外状态，因此需要多开一维。

状态机 DP 识别信号

以后看到：

text 复制代码

有没有钥匙
有没有体力
能不能使用技能
技能是否冷却
当前持有什么货币
当前是否持股
今天工作还是休息

都要考虑：

cpp 复制代码

dp[i][state]

一句话总结

当"当前位置"不足以决定后续转移时，就把影响未来的额外信息加入 DP 状态；本题就是用 0/1 记录当前能不能继续使用仙术。

P2800 又上锁妖塔 题解复盘