P3009 [USACO11JAN] Profits S 题解复盘

P3009 USACO11JAN Profits S 题解复盘

模块：线性 DP

目标：求连续子数组的最大和（最大子段和）

基本信息

项目	内容
题目编号、来源	P3009 洛谷 / USACO11JAN Profits
训练层级	A 模板题
知识版块	线性 DP、最大子段和

解题前 · 关键信号识别

维度	分析
目标、约束、底层结构	目标 ：求一个连续区间，使区间和最大。 约束 ：必须是连续区间。 底层结构：当前位置的最优答案只依赖于前一个位置，因此属于线性 DP。
数据规模	N≤10^5，必须使用 O(n) 算法。
候选算法和依据	算法：线性 DP（最大子段和）。 依据：当前位置只有两种选择：重新开始一个新区间，或者接到前面的连续区间后面。
复杂度预判	时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(n)（可优化为 O(1)）。

解题后 · 外化复盘

维度	内容
实现结构 / 核心思路	定义 dp[i] 表示以第 i 个数结尾 的最大连续子段和。当前位置可以重新开始，也可以接在前面的连续区间之后，因此：dp[i]=max(v[i],dp[i-1]+v[i])。最后遍历 dp 取最大值即可。
错因回溯	1. 一开始误认为是区间 DP，实际上与区间合并没有关系。 2. ans 初始化成 0，导致全负数数据出错。 3. 没有意识到状态必须是"以 i 结尾"，而不是任意区间。
边界和易错点	1. dp[1]=v[1]。 2. ans 初始化为 dp[1] 或一个极小值。 3. 全负数时答案仍然是最大的那个负数，而不是 0。
下次看到什么信号，我应该想到这个方法	看到"连续区间""最大和""最大利润""最大收益"，立即想到：最大子段和（Kadane）+ 线性 DP。

AC 完整代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int dp[100005];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    int v[100005];

    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>v[i];

    dp[1]=v[1];
    int ans=dp[1];

    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        dp[i]=max(dp[i-1]+v[i],v[i]);
        ans=max(ans,dp[i]);
    }

    cout<<ans;

    return 0;
}

本题知识点总结

1. 状态定义

dp[i]

表示：

以第 i 个元素结尾的最大连续子段和。

---

2. 状态转移

当前位置有两种选择：

重新开始：

v[i]

或者：

接到前面的连续区间：

dp[i-1]+v[i]

所以：

dp[i]=max(v[i],dp[i-1]+v[i]);

---

3. 为什么必须是"以 i 结尾"？

因为只有这样：

下一状态：

dp[i+1]

才能直接利用：

dp[i]

如果状态定义成：

前 i 个数中的最大子段和

就无法完成转移。

---

4. 为什么不是区间 DP？

区间 DP 一般具有：

区间合并

例如：

dp[l][r]

而最大子段和：

每个状态只依赖：

dp[i-1]

属于：

线性 DP

---

5. 空间优化

由于：

dp[i]

只依赖：

dp[i-1]

因此可以压缩成：

int cur=v[1];

空间优化到：

O(1)

一句话总结

看到"连续区间最大和"，立即想到：dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最大连续子段和，转移：dp[i]=max(v[i],dp[i-1]+v[i])。