Leecode#4刷题之寻找两个正序数组的中位数

题目

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

示例 1：

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输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：

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输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

算法核心思想

两个有序数组 nums1（长度 m）和 nums2（长度 n），合并后总长度 total = m + n。中位数将合并数组分成两半：

左半部分 包含 half = (total + 1) / 2 个元素（奇数时多一个，中位数就是左半部分的最大值）
右半部分包含剩余元素

我们不去真正合并数组，而是对较短的数组做二分，找到一个分割位置 i（nums1 的分割点），从而推出 j = half - i（nums2 的分割点），使得：

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左半部分所有元素 ≤ 右半部分所有元素

nums1:  [ ... nums1Left ]  | [ nums1Right ... ]
nums2:  [ ... nums2Left ]  | [ nums2Right ... ]
              左半部分           右半部分

满足条件：max(nums1Left, nums2Left) ≤ min(nums1Right, nums2Right)

Java语言

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class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        if(nums1.length>nums2.length){
          int[] temp=nums1;
          nums1=nums2;
          nums2=temp;
        }
        int m=nums1.length,n=nums2.length;
        int total=m+n;
        int half=(total+1)/2;
        
        int left=0,right=m;
        while(left<=right){
            int i=(left+right)/2;
            int j=half-i;
            int nums1Left=i>0?nums1[i-1]:Integer.MIN_VALUE;
            int nums1Right=i<m?nums1[i]:Integer.MAX_VALUE;
            int nums2Left=j>0?nums2[j-1]:Integer.MIN_VALUE;
            int nums2Right=j<n?nums2[j]:Integer.MAX_VALUE;
            if(nums1Left <= nums2Right && nums2Left <= nums1Right){
                if(total%2==1){
                    return(double)Math.max(nums1Left,nums2Left);
                }
                else {
                    return (Math.max(nums1Left, nums2Left) + Math.min(nums1Right, nums2Right)) / 2.0;
                }
            } else if (nums1Left > nums2Right) {
                right = i - 1;
            } else {
                left = i + 1;
            }
        }
 
        return 0.0;
    }
}

逐行解释

1. 保证 nums1 是较短的数组

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if(nums1.length > nums2.length){

int[] temp = nums1;

nums1 = nums2;

nums2 = temp;

}

为什么要交换？ 我们只对 nums1 做二分搜索，搜索范围是 [0, m]。如果 nums1 更短，二分次数就是 O(log(min(m,n)))。同时，j = half - i 必须满足 0 ≤ j ≤ n，如果 nums1 太长，i 可能很大导致 j 变成负数，就越界了。

2. 初始化变量

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int m = nums1.length, n = nums2.length;

int total = m + n;

int half = (total + 1) / 2;

total：合并后的总元素个数
half：左半部分应包含的元素个数。用 (total + 1) / 2 而非 total / 2，是为了奇数时左半部分多一个元素，中位数直接取左半最大值即可，逻辑更统一

total	half	说明
7（奇）	4	左半 4 个，右半 3 个，中位数 = 左半最大值
8（偶）	4	左半 4 个，右半 4 个，中位数 = (左半最大 + 右半最小) / 2

3. 二分搜索

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int left = 0, right = m;

在 nums1 的分割位置上做二分。i 的范围是 [0, m]：

i = 0：nums1 的元素全在右半部分
i = m：nums1 的元素全在左半部分

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while(left <= right){

标准二分循环，left 超过 right 时说明搜索空间耗尽（正常情况下一定会提前 return，不会走到这里）。

4. 计算分割点

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int i = (left + right) / 2;

int j = half - i;

i：nums1 中有 i 个元素划入左半部分
j：nums2 中有 j 个元素划入左半部分
两者之和必须等于 half，所以 j = half - i

nums1: [0, 1, ..., i-1] | [i, i+1, ..., m-1]
nums2: [0, 1, ..., j-1] | [j, j+1, ..., n-1]
←--- left ---→ ←--- right ---→

5. 取出分割线两侧的四个关键元素

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int nums1Left = i > 0 ? nums1[i-1] : Integer.MIN_VALUE;

int nums1Right = i < m ? nums1[i] : Integer.MAX_VALUE;

int nums2Left = j > 0 ? nums2[j-1] : Integer.MIN_VALUE;

int nums2Right = j < n ? nums2[j] : Integer.MAX_VALUE;

变量	含义	边界处理
`nums1Left`	nums1 左半部分的最后一个元素	`i=0` 时左半没有元素，设为 `MIN_VALUE`（保证不干扰比较）
`nums1Right`	nums1 右半部分的第一个元素	`i=m` 时右半没有元素，设为 `MAX_VALUE`
`nums2Left`	nums2 左半部分的最后一个元素	`j=0` 时设为 `MIN_VALUE`
`nums2Right`	nums2 右半部分的第一个元素	`j=n` 时设为 `MAX_VALUE`

用 MIN_VALUE / MAX_VALUE 的原因：当某个数组全部被分到一侧时，对应的"边界元素"不存在，用极值确保后续比较逻辑不出错。

6. 判断是否找到正确的分割位置

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if(nums1Left <= nums2Right && nums2Left <= nums1Right){

这是核心判断条件。正确的分割要求：

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nums1 的左半最大 ≤ nums2 的右半最小
nums2 的左半最大 ≤ nums1 的右半最小

等价于：左半部分所有元素 ≤ 右半部分所有元素。

找到了，计算中位数：

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if(total % 2 == 1){

return (double) Math.max(nums1Left, nums2Left);

}

总长度为奇数：中位数 = 左半部分的最大值（左半比右半多一个元素）。

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else {

return (Math.max(nums1Left, nums2Left) + Math.min(nums1Right, nums2Right)) / 2.0;

}

总长度为偶数 ：中位数 = (左半最大值 + 右半最小值) / 2。/ 2.0 确保浮点除法。

没找到，调整二分边界：

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} else if (nums1Left > nums2Right) {

right = i - 1;

nums1Left > nums2Right：nums1 划进左半的元素太大了，说明 i 偏大，需要左移分割点，缩小 right。

java 复制代码

} else {

left = i + 1;

}

否则是 nums2Left > nums1Right：nums2 划进左半的元素太大了，说明 j 偏大即 i 偏小，需要右移分割点，增大 left。

7. 兜底返回

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return 0.0;

理论上不会执行到这一行。只要输入合法，循环内一定会 return。这是 Java 编译要求的语法兜底。

图解示例

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nums1 = [1, 3]    m = 2
nums2 = [2, 4, 5] n = 3
total = 5（奇数）, half = 3

二分过程：

轮次	left	right	i	j	nums1Left	nums1Right	nums2Left	nums2Right	判断
1	0	2	1	2	1	3	4	5	nums2Left(4) > nums1Right(3) → left=2
2	2	2	2	1	3	MAX	2	4	3≤4 且 2≤MAX → 找到

奇数，返回 max(3, 2) = 3.0，即中位数 3。合并后 [1,2,3,4,5]，中位数确实是 3。