CSP202209.B何以包邮？

今天我们来看CSP202209.B何以包邮？这道题目

解题思路

问题分析

本题是一个典型的0-1背包问题变形。我们需要在 n 本书中选择若干本，使得总价格不小于 x，并且尽可能接近 x。

算法选择

暴力枚举：对于 n≤30，直接枚举所有子集的时间复杂度为 O(2^n)，会超时。
折半枚举：将书分成两半，分别枚举，时间复杂度 O(2^(n/2))，可以接受。
动态规划：使用 0-1 背包思想，时间复杂度 O(n×sum)，其中 sum 为总价格。

由于每本书价格 ai≤10^4，n≤30，所以总价格 sum≤3×10^5，动态规划完全可行。

动态规划思路

状态定义：

设 dp[j] 表示能否通过选择若干本书，使得总价格恰好为 j。

状态转移：

初始状态：dp[0] = true，其余为 false
对于每本书 a[i]，从大到小遍历 j，更新 dp[j] = dp[j] || dp[j - a[i]]

答案查找：

从 x 开始向上遍历，找到第一个 dp[j] == true 的 j，即为满足条件的最小花费

复杂度分析

时间复杂度：O(n × sum)，其中 sum 为所有书价格总和
空间复杂度：O(sum)

C++ 代码实现

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, x;
    cin >> n >> x;
    
    vector<int> a(n);
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        sum += a[i];
    }

    // dp[j] 表示能否凑出总价格恰好为 j
    vector<bool> dp(sum + 1, false);
    dp[0] = true;

    // 0-1背包：每本书只能选择一次
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 从大到小遍历，避免重复选择同一本书
        for (int j = sum; j >= a[i]; j--) {
            if (dp[j - a[i]]) {
                dp[j] = true;
            }
        }
    }

    // 从 x 开始向上找第一个能凑出的价格
    for (int j = x; j <= sum; j++) {
        if (dp[j]) {
            cout << j << "\n";
            break;
        }
    }

    return 0;
}

代码详解

1. 输入处理

cpp 复制代码

int n, x;
cin >> n >> x;
vector<int> a(n);
int sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    cin >> a[i];
    sum += a[i];  // 计算总价格，用于确定 dp 数组大小
}

2. 动态规划数组初始化

cpp 复制代码

vector<bool> dp(sum + 1, false);
dp[0] = true;  // 不选择任何书时，总价格为 0

3. 0-1背包核心代码

cpp 复制代码

for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = sum; j >= a[i]; j--) {
        if (dp[j - a[i]]) {
            dp[j] = true;  // 如果 j-a[i] 可以凑出，那么 j 也可以凑出
        }
    }
}

注意：内层循环必须从大到小遍历，这样才能保证每本书最多被选择一次（0-1背包特性）。

4. 查找答案

cpp 复制代码

for (int j = x; j <= sum; j++) {
    if (dp[j]) {
        cout << j << "\n";
        break;  // 找到第一个满足条件的就输出
    }
}

示例运行

输入示例

复制代码

运行过程

总价格 sum = 25
dp 数组大小为 26
经过动态规划后，dp $15$ = true（可以选择 5+7+3 = 15）
从 15 开始查找，找到 dp $15$ = true
输出：15

注意事项

数组大小：dp 数组大小需要设为 sum+1，因为可能的最大价格是 sum
遍历顺序：内层循环必须从大到小，避免一本书被重复选择
边界条件：题目保证 sum≥x，所以一定能找到答案
优化：可以使用 bitset 优化空间和时间，但对于本题数据范围，bool 数组已经足够

总结

本题是经典的 0-1 背包问题变体，通过动态规划可以高效求解。关键点在于：

正确理解 0-1 背包的状态转移
掌握从大到小遍历的技巧
学会从 x 开始查找满足条件的最小值

这种方法时间复杂度为 O(n×sum)，在给定数据范围内可以高效运行。