CSP2024-J T3小木棍

头

这题作为 JJJ 组第三题起着承前启后的作用，在往年真题里难度排行靠前，需要着一些思维

题目再现

分析题目

考虑可行性

我们思考是否存在数字无法被表示，容易发现

一位数字时需要的木棍数分别为 6,2,5,5,4,5,6,3,7,6{6,2,5,5,4,5,6,3,7,6}6,2,5,5,4,5,6,3,7,6

显然如果木棍数为 111 无法组成

显然两位可重复数字可以组成的数字有 $4,14$ $4,14$ $4,14$ （其中每个整数皆可到达）

显然我们可以在每两位数字后补一个数字，木棍数到达范围 $6,21$ $6,21$ $6,21$

从而易得，其后的每个数字都可以用木柴拼得

考虑最小

我们发现，当取尽可能多 111 时可以使组成数字尽可能大，取尽可能多 888 可以使组成数字尽可能小，根据上面的可行性证明， nnn 位数字可以取得 $2n,7n$ $2n,7n$ $2n,7n$ ，由此我们可以求得当前木棍数可以得到的最小数字位数 len=⌊(s+6)/7⌋len=\lfloor (s+6)/7 \rfloorlen=⌊(s+6)/7⌋ 。

考虑填数字

容易想到的，我们要保证每一位数字取完后，剩下的木棍数还满足 (s′+6)/7<=len−1(s'+6)/7 <=len-1(s′+6)/7<=len−1 (len为当前确认的最小位数)。

从这条思路出发，我们从头开始，对每一位数字从 0~9 进行枚举，满足上式，则取之，就可以得到最优解。

考虑下界

我们发现，此时还有 s′>=(len−1)∗2s'>=(len-1)*2s′>=(len−1)∗2 的约束，但是由于我们尽可能往最短的位数靠近，且一定满足上界的判定（开头已经取了最大）。由此，我们只要考虑最后一位数字的合法性即可。

参考代码

cpp 复制代码

//枚举 查看大致逻辑
//发现位数技巧 构造 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int f[10]={6,2,5,5,4,5,6,3,7,6};
int g[8]={0,-1,1,7,4,2,6,8};
string s;
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        s="";
        cin>>n;
        int len=(n+6)/7;
        if(n<=7)
        {
            cout<<g[n]<<endl;
            continue;
        }
        for(int i=1;i<=len;i++)
        {
            int j=(i==1?1:0);
            for(;j<=9;j++)
            {
                int now=n-f[j];
                if((now+6)/7+i>len||now<0)
                    continue;
                s+=(j+'0');
                n-=f[j];
                break;
            }   
        }
        cout<<s<<endl;
    }
     
}

巧姐

从贪心的角度去看，我们想要取尽可能多的 888 ，满足位数最少。我们发现，当取得一位 888 时，剩下的数字必然是 888 (由公式中除法可知)，所以我们的组合后面一定是一串 888 （如果有的话）。

所以我们可以对木柴数进行枚举，根据对 777 的余数进行分类讨论。

此处不多赘述，上图，可以参考洛谷题解前几篇

结尾

这题提供了多种解法，是除了 dp 之外开发思路的好的方向，考场上可以很好区分层次。

完结撒花