C++算法竞赛｜二分查找与二分答案：边界模板、浮点二分、STL

星星.7222026-08-27 14:56

文章目录

二分查找

基本概念

  • 二分查找，也称为折半查找（Binary Search），是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法。

基本思想是 将目标值与数组中间的元素进行比较，如果目标值小于中间元素，则在数组的左半部分继续查找，否则在右半部分查找

优点

  • 可以将最朴素的做法 （从头到尾的遍历数组）时间复杂度从 O（n）优化到O（logn）
  • 比较次数少，速度快，效率高

查找过程：

二分查找：在一个已知的有序数据集上进行二分地查找

二分答案：答案有一个区间，在这个区间中二分，直到找到最优答案

二分查找写法

while(l<r)

下标边界二分

向左找目标

cpp 复制代码 
//在a数组中寻找第一个>=x的数，并返回其下标
int find(ll l, ll r)
{
    while (l < r)
    {
        ll mid = l + r >> 1;//或(l+r)/2
        if (a[mid]>=x)
        {
         r = mid;
        }
        else 
         {
          l = mid + 1;
         }
    }
    return l;//因为while循环当l==r时终止，return r也可以
}

向右找目标

cpp 复制代码 
//在a数组中寻找最后一个<=x的数，并返回其下标
int find(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;//(l+r+1)/2
        if (a[mid]<=x)
        {
          l = mid;
        }
        else 
        {
         r = mid - 1;
        }
    }
    return l;
}
cpp 复制代码 
// while(l<r) 找第一个 > x
int find(ll l, ll r)
{
    while (l < r)
    {
        ll mid = l + (r - l) / 2;
        if (a[mid] > x)
        {
            r = mid;
        }
        else
        {
            l = mid + 1;
        }
    }
    return l;
}

while(l<=r)

下标二分

cpp 复制代码 
//在a数组中寻找第一个>=x的数，并返回其下标
//可以先将res设置为一个很大的数，如果while循环终止后res没变，便没找到
int find(int l, int r)
{
    int res=0x3f3f3f3f;
    while (l <= r)
    {
        int mid = l + r >> 1;//或写成(l+r)/2
        if (a[mid]>=x)
        {
        	r = mid-1;
        	res=mid;
        } 
        else 
        {
         l = mid + 1;
        }
    }
    return res;
}
cpp 复制代码 
//在a数组中寻找最后一个<=x的数，并返回其下标
int find(int l, int r)
{
	int res=-1;
    while (l <= r)
    {
        int mid = l + r >> 1;//或(l+r)/2
        if (a[mid]<=x)
        {
        	l = mid+1;
        	res=mid;
        } 
        else 
        {
         r = mid - 1;
        }
    }
    return res;
}
cpp 复制代码 
// while(l<=r)+res 找第一个 > x
int find(int l, int r)
{
    int res = 0x3f3f3f3f;
    while (l <= r)
    {
        int mid = l + (r - l) / 2;
        if (a[mid] > x)
        {
            res = mid;
            r = mid - 1;
        }
        else
        {
            l = mid + 1;
        }
    }
    return res;
}

二分答案

二分答案信号

「最大值最小化」

「最小值最大化」

「至少需要多少个」

「最多能分成多少段」

「能否在 x 时间内完成」

「求最小 / 最大的满足条件的值」

最大化最小值

cpp 复制代码 
ll l=1,r=0x3f3f3f3f;
ll ans=0;
while(l<=r)
{
	ll mid=(l+r)/2;
	if(check(mid))
	{
		ans=max(mid,ans); // mid是可行答案，记录下来
		l=mid+1;          // 尝试往更大答案搜索
	}
	else
	{
		r=mid-1;          // mid不可行，要变小
	}
}
cout<<ans;

最小化最大值

cpp 复制代码 
//最小化最大值模板
ll l=1,r=1e9;
ll ans=0;
while(l<=r)
{
    ll mid=l+(r-l)/2;
    if(check(mid))
    {
        ans=mid;
        r=mid-1; //可行，尝试找更小答案
    }
    else
    {
        l=mid+1; //不可行，放大
    }
}
cout<<ans;

区分

  1. 下标二分：答案一定是数组中已经存在的某个元素，目标求元素的位置。
  2. 二分答案：答案不一定是输入数组里面的值；可以写一个check(x)函数判断x这个候选答案是否可行；题目特征：最大化最小值、最小化最大值。
项目 while(l < r)边界二分 (lower_bound) while(l <= r)传统值查找
用途 找第一个≥x、第一个 > x（边界） 查找是否存在某确切数值
循环结束 l == r，下标重合 l > r，区间为空
边界更新 r=mid / l=mid+1，mid 不排除 r=mid‑1 / l=mid+1，mid 直接排除
数组重复元素 支持，拿到首次出现位置 找到任意一个，不一定是第一次
返回之后 必须额外判断 a l==x 找到就直接 return，不用二次判断

记忆口诀 ：while(l<=r) 时，mid 直接排除，靠 l=mid+1 或 r=mid-1 收缩；用 res 记录最近一次可行答案，循环结束后 res 即为结果。

快速识别二分答案题：

  1. 问题具备单调性：存在阈值，一侧全部不可行，另一侧全部可行。
  2. 可以实现O(n)的check(x)，快速验证候选x是否可行。
  3. 题目要求：最大化最小值 / 最小化最大值。

例题

P2249 【深基13.例1】查找 - 洛谷

模板题

cpp 复制代码 
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define ull unsigned long long
#define fi first
#define se second
#define PLL pair<string, ll>
#define YES cout<<"YES"<<endl;
#define NO cout<<"NO"<<endl;
using namespace std;
const ll MAXN=1005;
const ll mod=1e9+7;
using namespace std;
ll n,m;
ll b;
ll find(ll b,vector<ll>&a)
{
	ll l=0;
	ll r=n-1;
	while(l<r)
	{
		ll mid=(r+l)/2;
		if(a[mid]>=b)
		{
			r=mid;
		}
		else
		{
			l=mid+1;
		}
	}
	return l;
}
int main()
{
	IOS
	cin>>n>>m;
	vector<ll>a(n);
	for(ll i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	while(m--)
	{
		cin>>b;
		ll q=find(b,a);
		if(a[q]==b)
		{
			cout<<q+1<<' ';
		}
		else
		{
			cout<<-1<<' ';
		}
	}
	
//	cout<<fixed<<setprecision(x)<< ;
	return 0;
}

进击的奶牛（整型二分）

P1824 [USACO05FEB 进击的奶牛 Aggressive Cows G - 洛谷](https://www.luogu.com.cn/problem/P1824)

解题过程

  • 二分距离，判断函数check(x)：间距至少 x 时最多能放下多少头牛。排序坐标；
  • 二分区间l=1，r=最大坐标；check(mid)满足（能放下≥m 头牛），说明距离 mid 可行，尝试更大值：ans=mid,l=mid+1；不满足则缩小距离：r=mid-1

代码实现

cpp 复制代码 
//5303
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define ull unsigned long long
#define fi first
#define se second
using namespace std;
ll n,m;
vector<ll>a;
bool check(ll x)
{
	ll cnt=1;
	ll head=a[0];
	for(ll i=1;i<n;i++)
	{
		if(a[i]-head>=x)
		{
			cnt++;
			head=a[i];
		}
	}
	return cnt>=m;
}
int main()
{
	IOS
	cin>>n>>m;
	for(ll i=0;i<n;i++)
	{
		ll A;
		cin>>A;
		a.push_back(A);
	}
	sort(a.begin(),a.end());
	ll l=1,r=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;//longlong 型
	ll ans=0;
	while(l<=r)
	{
		ll mid=(l+r)/2;
		if(check(mid))
		{
			ans=max(mid,ans);
			l=mid+1;
		}
		else
		{
			r=mid-1;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
//	cout<<fixed<<setprecision(x)<< ;
	return 0;
}

切绳子（浮点型二分）

P1577 切绳子 - 洛谷

解题过程

  • 二分单段绳子长度，check(x) 统计能切出多少段长度≥x 的绳子
  • 二分循环固定迭代 100 次（替代整数边界判断，保证精度）；
  • 满足段数≥k，记录答案并向右二分找更长长度：ans=mid,l=mid；
  • 不满足则向左缩小长度：r=mid；
    最后向下取整保留两位小数输出。

代码实现

cpp 复制代码 
//1577
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define ull unsigned long long
#define fi first
#define se second
using namespace std;
ll n,k;
vector<double>a;
bool check(double x)
{
	ll cnt=0;
	for(ll i=0;i<n;i++)
	{
			cnt+=(ll)(a[i]/x);
	}
	return cnt>=k;
}
int main()
{
	IOS
	cin>>n>>k;
	double r=0;
	for(ll i=0;i<n;i++)
	{
		double A;
		cin>>A;
		a.push_back(A);
		r=max(r,A);
	}
//	sort(a.begin(),a.end());
	double l=0;
	double  ans=0;
	for(ll i=1;i<=100;i++)
	{
		double mid=(l+r)/2;
		if(check(mid))
		{
			ans=mid;
			l=mid;
		}
		else
		{
			r=mid;
		}
	}
	ans=floor(ans*100)/100;//向下取整保留两位小数
	cout<<fixed<<setprecision(2)<<ans<<endl ;
	return 0;
}

不能直接 cout << fixed << setprecision(2) << ans;

setprecision(2) 默认是四舍五入。比如真实答案是 2.009，直接输出会变成 2.01，题目要求向下取整，必须手动 floor(ans*100)/100

整型二分 vs 浮点二分

  1. 整型二分

区间边界是整数，可以用 l <= r 循环，靠 mid±1 收缩边界

cpp 复制代码 
ll l=1, r=1e9;
while(l <= r)
{
    ll mid = (l + r) / 2;
    if(check(mid))
    {
        ans=mid;
        l=mid+1; // 可行，往右找更大
    }
    else
        r=mid-1; // 不可行，往左缩小
}

原理：每次直接排除mid，不会死循环。

  1. 浮点二分

实数有无穷多个，不能用 l<=r，无法精准边界,会陷入循环；

标准写法：固定循环 100 次（100 次二分后精度远超题目要求的 1e-6/1e-2）。

cpp 复制代码 
double l=0, r=max_len;
for(int i=1;i<=100;i++)
{
    double mid = (l + r) / 2;
    if(check(mid))
    {
        ans=mid;
        l=mid; // 可行，右边界移到mid
    }
    else
        r=mid; // 不可行，左边界移到mid
    }
}

原理：实数区间不能 mid±1，只能不断缩小区间范围，靠迭代保证精度。

浮点：存在浮点数精度丢失，不能直接输出；

如切绳子需要向下取整保留两位小数：ans=floor(ans*100)/100，配合setprecision(2)输出。

奶牛晒衣服

P1843 奶牛晒衣服 - 洛谷

解题过程

  1. 二分答案
    二分总晾晒时间s，check(s)判断s时间内能否晒干所有衣服：
    每件衣服自然风干s*a，剩余水分需要烘干机；
    统计所有衣服烘干总次数，若总次数≤s 则时间 s 可行，尝试更小时间：ans=mid,r=mid-1；
    不可行则增大时间：l=mid+1。
  2. 优先队列暴力
    每次取出含水量最大的衣服烘干 b 水分，循环直到所有衣服自然风干即可

代码实现

cpp 复制代码 
// 二分
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define ull unsigned long long
#define fi first
#define se second
using namespace std;
ll n,aa,b;
//ll s;
ll mx,ti;
vector<ll>a;
bool check(ll s)
{
	ll sum=0;
	for(ll i=0;i<n;i++)
	{
		if(a[i]<=s*aa)
		continue;
		ll re=a[i]-s*aa;
		sum+=(re+b-1)/b;
		if(sum>s)
		return false;
	}
	return sum<=s;
}
int main()
{
	IOS
	cin>>n>>aa>>b;
	for(ll i=0;i<n;i++)
	{
		ll x;
		cin>>x;
		a.push_back(x);
	}
	sort(a.begin(),a.end());
	ll l=0,r=a[n-1];
	ll ans=0;
	while(l<=r)
	{
		ll mid=(l+r)/2;
		if(check(mid))
		{
			ans=mid;
			r=mid-1;
		}
		else
		{
			l=mid+1;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}
cpp 复制代码 
//优先队列
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define ull unsigned long long
#define fi first
#define se second
using namespace std;
ll n,a,b;
ll mx,ti;
int main()
{
	IOS
	priority_queue<ll>q;
	cin>>n>>a>>b;
	for(ll i=0;i<n;i++)
	{
		ll x;
		cin>>x;
		q.push(x);
	}
	mx=q.top();
	q.pop();
	while(mx>ti*a)
	{
		ti++;
		mx-=b;
		q.push(mx);
		mx=q.top();
		q.pop();
	}
	cout<<ti<<endl;

	return 0;
}

逛画展

P1638 逛画展 - 洛谷

说明:滑动窗口

解题过程

  1. 用两个指针 l（窗口左边界）、r（窗口右边界）维护一个动态区间：

    1. 右指针 r 不断向右扩张窗口，把新画作纳入窗口，统计窗口内画作种类数量 kind；

    2. 当窗口集齐全部 m种画（kind == m）说明当前区间合法；

      持续收缩左指针 l，尽可能缩短区间长度；

      每次收缩前更新最短区间答案；

    3. 左指针移出某类画，且该画在窗口内数量变为 0 时，种类数 kind 减一，停止收缩，继续右移 r。

代码实现

cpp 复制代码 
//1843
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define ull unsigned long long
#define fi first
#define se second
using namespace std;
ll n,m;
int main()
{
	IOS
	cin>>n>>m;
	vector<ll>a(n+2);
	vector<ll>cnt(m+2,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	ll l=1;
	ll kind=0;
	ll ansx=0,ansy=0;
	ll mincur=LLONG_MAX;
	for(ll r=1;r<=n;r++)
	{
		if(cnt[a[r]]==0)
		{
			kind++;
		}
		cnt[a[r]]++;
		while(kind==m)
		{
			ll cur=r-l+1;
			if(cur<mincur||(cur==mincur&&l<ansx))
			{
			mincur=cur;
			ansx=l;
			ansy=r;
			}
			cnt[a[l]]--;
			if(cnt[a[l]]==0)
			kind--;
			l++;
		}
	}
	cout<<ansx<<" "<<ansy<<endl;
	return 0;
}

STL内置二分函数

头文件 <algorithm>，数组必须升序

返回迭代器，it-a.begin()得到下标

  1. lower_bound(a.begin(),a.end(),x)：第一个 ≥ x
  2. upper_bound(a.begin(),a.end(),x)：第一个 > x
  3. equal_range(a.begin(),a.end(),x) 返回pair，等于x的区间[L,R)
  4. binary_search(a.begin(),a.end(),x) 返回bool，只判断是否存在

最后一个 <=x

cpp 复制代码 
auto it = upper_bound(a.begin(),a.end(),x);
if(it != a.begin()) 
--it;

逻辑：

upper_bound 返回第一个 > x的位置。

  • 它前一个元素，就是最后一个 ≤ x。
  • it == a.begin()：代表全部元素都大于 x，不存在<=x，不能--it（越界）。

示例：a={1,3,5,7,9}，x=6

  • upper_bound 找第一个 > 6 -> 指向 7（下标 3）
  • --it 指向 5，5 就是数组最后一个 ≤6。

最后一个 ＜ x

cpp 复制代码 
auto it = lower_bound(a.begin(),a.end(),x);
if(it != a.begin())
 --it;

逻辑：

lower_bound 返回第一个 >= x的位置。

  • 它前一个元素，就是最后一个 ＜ x。
  • it == a.begin()：全部元素都≥x，不存在<x，禁止--it。

示例：a={1,3,5,7,9}，x=5

  • lower_bound 找第一个≥5 →指向 5（下标 2）
  • --it指向 3，3 就是数组最后一个 ＜5。

set/map使用成员函数 .lower_bound(x)，不要用全局函数，防止退化O(n)

cpp 复制代码 
auto it = s.lower_bound(x); // 正确
// auto it = lower_bound(s.begin(),s.end(),x); 错误

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