斐波那契数列的个位数出现的周期是多少？

背景

《斐波那契数列：定义自然法则的数学》 一书提到，斐波那契数列的个位数字会按照固定的周期重复出现。我们可以自己动手来探索这个周期的长度是多少。

正文

斐波那契数列

$F1=1,F2=1\; F\_1=1,F\_2=1$ F1=1,F2=1，对满足 $n\ge 3n\backslash ge\; 3$ n≥3 的 $nn$ n 而言， $Fn=\; Fn-1\; +\; Fn-2\; F\_n=F\_\{n-1\}+F\_\{n-2\}$ Fn=Fn−1+Fn−2。满足这样的规则的数列，我们称其为斐波那契数列。

基本的分析

为了方便讨论，我们记 $an=(Fn \; mod\; 10,\; Fn+1\; \; mod\; 10)\; a\_n=(F\_n\backslash bmod\; 10,F\_\{n+1\}\backslash bmod\; 10)$ an=(Fnmod10,Fn+1mod10)。 对比较小的 $nn$ n， $Fn\; F\_n$ Fn 和 $an\; a\_n$ an 的值列举如下

$nn$ n	$Fn\; F\_n$ Fn	$an\; a\_n$ an
$11$ 1	$11$ 1	$(1,1)(1,1)$ (1,1)
$22$ 2	$11$ 1	$(1,2)(1,2)$ (1,2)
$33$ 3	$22$ 2	$(2,3)(2,3)$ (2,3)
$44$ 4	$33$ 3	$(3,5)(3,5)$ (3,5)
$55$ 5	$55$ 5	$(5,8)(5,8)$ (5,8)
$66$ 6	$88$ 8	$(8,3)(8,3)$ (8,3)
$77$ 7	$1313$ 13	$(3,1)(3,1)$ (3,1)
$88$ 8	$2121$ 21	$(1,4)(1,4)$ (1,4)
$99$ 9	$3434$ 34	$(4,5)(4,5)$ (4,5)
$1010$ 10	$5555$ 55	$(5,9)(5,9)$ (5,9)

对任意自然数 $kk$ k 来说， $0\le (k \; mod\; 10)\le 90\backslash le\; (k\backslash bmod\; 10)\; \backslash le\; 9$ 0≤(kmod10)≤9 总是成立，所以 $an\; a\_n$ an 的可能取值只有 $10\times 10=10010\backslash times10=100$ 10×10=100 个（有的值可能取不到）。根据鸽笼原理， $a1,a2,\cdots \hspace{0.17em},a101\; a\_1,a\_2,\backslash cdots,a\_\{101\}$ a1,a2,⋯,a101 这 $101101$ 101 个值必然有重复的（因为 $an\; a\_n$ an 的可能取值只有 $100100$ 100 个）。假设第一个重复出现的值为 $adup\; a\_\{dup\}$ adup 且 $adup\; =\; adup-t\; a\_\{dup\}=a\_\{dup-t\}$ adup=adup−t。那么从 $adup\; a\_\{dup\}$ adup 开始，会有什么规律？

分析下标更大的项

注意到
$$an=(Fn \; mod\; 10,\; Fn+1\; \; mod\; 10)\; a\_\{n\}=(F\_\{n\}\backslash bmod\; 10,\; F\_\{n+1\}\; \backslash bmod\; 10)$$ an=(Fnmod10,Fn+1mod10)
$$an+1\; =(\; Fn+1\; \; mod\; 10,\; Fn+2\; \; mod\; 10)\; a\_\{n+1\}=(F\_\{n+1\}\backslash bmod\; 10,\; F\_\{n+2\}\; \backslash bmod\; 10)$$ an+1=(Fn+1mod10,Fn+2mod10)
$$Fn+2\; =\; Fn+1\; +Fn\; F\_\{n+2\}=F\_\{n+1\}+F\_n$$ Fn+2=Fn+1+Fn

所以
$$an+1\; =(\; Fn+1\; \; mod\; 10,(\; Fn+1\; +Fn) \; mod\; 10)\; a\_\{n+1\}=(F\_\{n+1\}\backslash bmod\; 10,\; (F\_\{n+1\}\; +\; F\_n)\; \backslash bmod\; 10)$$ an+1=(Fn+1mod10,(Fn+1+Fn)mod10)
$$=(an$$1,(an0+an1)  mod  10) =(a_n1, (a_n0+a_n1) \bmod 10) =(an1,(an0+an1)mod10)

也就是说，从 $an\; a\_\{n\}$ an 可以直接得出 $an+1\; a\_\{n+1\}$ an+1。 既然 $adup\; =\; adup-t\; a\_\{dup\}=a\_\{dup-t\}$ adup=adup−t，那么必然有 ⬇️

• $adup+1\; =\; adup-t+1\; a\_\{dup+1\}=a\_\{dup-t+1\}$ adup+1=adup−t+1
• $adup+2\; =\; adup-t+2\; a\_\{dup+2\}=a\_\{dup-t+2\}$ adup+2=adup−t+2
• $adup+3\; =\; adup-t+3\; a\_\{dup+3\}=a\_\{dup-t+3\}$ adup+3=adup−t+3
• $\cdots \backslash cdots$ ⋯

所以一旦发现了第一个重复值 $adup\; a\_\{dup\}$ adup，之后所有的值都会周期性出现（ $tt$ t 是它的一个周期）。那么随之而来的问题就是 $dupdup$ dup 具体是多少。

分析下标更小的项

刚才提到从 $an\; a\_\{n\}$ an 可以直接得出 $an+1\; a\_\{n+1\}$ an+1，那么如果知道 $an+1\; a\_\{n+1\}$ an+1，能否反推出 $an\; a\_n$ an 呢？我们试一试 ⬇️
$$an=(Fn \; mod\; 10,\; Fn+1\; \; mod\; 10)\; a\_\{n\}=(F\_\{n\}\backslash bmod\; 10,\; F\_\{n+1\}\; \backslash bmod\; 10)$$ an=(Fnmod10,Fn+1mod10)
$$=((\; Fn+2\; -\; Fn+1\; ) \; mod\; 10,\; Fn+1\; \; mod\; 10)\; =((F\_\{n+2\}-F\_\{n+1\})\backslash bmod\; 10,F\_\{n+1\}\; \backslash bmod\; 10)$$ =((Fn+2−Fn+1)mod10,Fn+1mod10)
$$=((\; an+1$$1− an+1 0)  mod  10, an+1 0) =((a_{n+1}1-a_{n+1}0)\bmod 10,a_{n+1}0) =((an+11−an+10)mod10,an+10)

看来从 $an+1\; a\_\{n+1\}$ an+1 也可以直接得出 $an\; a\_\{n\}$ an。

有趣的部分来了。考虑到 $adup\; =\; adup+t\; a\_\{dup\}=a\_\{dup+t\}$ adup=adup+t，根据刚才提到的 "从 $an+1\; a\_\{n+1\}$ an+1 也可以直接得出 $an\; a\_\{n\}$ an" 可知以下 $dupdup$ dup 个等式都成立 ⬇️

• $adup\; =\; adup+t\; a\_\{dup\}=a\_\{dup+t\}$ adup=adup+t
• $adup-1\; =\; adup+t-1\; a\_\{dup-1\}=a\_\{dup+t-1\}$ adup−1=adup+t−1
• $adup-2\; =\; adup+t-2\; a\_\{dup-2\}=a\_\{dup+t-2\}$ adup−2=adup+t−2
• $\cdots \backslash cdots$ ⋯
• $a1=\; a1+t\; a\_\{1\}=a\_\{1+t\}$ a1=a1+t

所以 $a1+t\; a\_\{1+t\}$ a1+t 会是第一个重复的值，它的值和 $a1\; a\_1$ a1 相等。如此说来，我们只要找到第一个和 $a1\; a\_1$ a1 相等的 $an\; a\_n$ an（ $n\ge 2n\backslash ge2$ n≥2），就可以得出周期 $t=n-1t=n-1$ t=n−1 了。

代码实战

我们可以将上述思路用 $Python3Python3$ Python3 来实现 ⬇️ （请将代码保存为 find_period.py）

appeared_fib_pairs = set()
fib_pair = (1, 1)
n = 1
while True:
    if fib_pair in appeared_fib_pairs:
        break
    appeared_fib_pairs.add(fib_pair)
    print(f'{n}: {fib_pair}')
    next_fib_pair = (fib_pair[1], (fib_pair[0] + fib_pair[1]) % 10)
    fib_pair = next_fib_pair
    n += 1

用以下命令可以运行 find_period.py

python3 find_period.py

完整的运行结果如下

1: (1, 1)
2: (1, 2)
3: (2, 3)
4: (3, 5)
5: (5, 8)
6: (8, 3)
7: (3, 1)
8: (1, 4)
9: (4, 5)
10: (5, 9)
11: (9, 4)
12: (4, 3)
13: (3, 7)
14: (7, 0)
15: (0, 7)
16: (7, 7)
17: (7, 4)
18: (4, 1)
19: (1, 5)
20: (5, 6)
21: (6, 1)
22: (1, 7)
23: (7, 8)
24: (8, 5)
25: (5, 3)
26: (3, 8)
27: (8, 1)
28: (1, 9)
29: (9, 0)
30: (0, 9)
31: (9, 9)
32: (9, 8)
33: (8, 7)
34: (7, 5)
35: (5, 2)
36: (2, 7)
37: (7, 9)
38: (9, 6)
39: (6, 5)
40: (5, 1)
41: (1, 6)
42: (6, 7)
43: (7, 3)
44: (3, 0)
45: (0, 3)
46: (3, 3)
47: (3, 6)
48: (6, 9)
49: (9, 5)
50: (5, 4)
51: (4, 9)
52: (9, 3)
53: (3, 2)
54: (2, 5)
55: (5, 7)
56: (7, 2)
57: (2, 9)
58: (9, 1)
59: (1, 0)
60: (0, 1)

可见 $an\; a\_n$ an 的周期是 $6060$ 60，而 $an$0 a_n0 an0 就是斐波那契数列的个位数字，也就是说斐波那契数列的个位数字以 $6060$ 60 为周期，循环出现。