斐波那契数列的个位数出现的周期是多少？

背景

《斐波那契数列：定义自然法则的数学》一书提到，斐波那契数列的个位数字会按照固定的周期重复出现。我们可以自己动手来探索这个周期的长度是多少。

正文

斐波那契数列

$F1=1,F2=1 F_1=1,F_2=1$ F1=1,F2=1，对满足 $n≥3n\ge 3$ n≥3 的 $nn$ n 而言， $Fn= Fn−1 + Fn−2 F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ Fn=Fn−1+Fn−2。满足这样的规则的数列，我们称其为斐波那契数列。

基本的分析

为了方便讨论，我们记 $an=(Fn mod 10, Fn+1 mod 10) a_n=(F_n\bmod 10,F_{n+1}\bmod 10)$ an=(Fnmod10,Fn+1mod10)。对比较小的 $nn$ n， $Fn F_n$ Fn 和 $an a_n$ an 的值列举如下

$nn$ n	$Fn F_n$ Fn	$an a_n$ an
$11$ 1	$11$ 1	$(1,1)(1,1)$ (1,1)
$22$ 2	$11$ 1	$(1,2)(1,2)$ (1,2)
$33$ 3	$22$ 2	$(2,3)(2,3)$ (2,3)
$44$ 4	$33$ 3	$(3,5)(3,5)$ (3,5)
$55$ 5	$55$ 5	$(5,8)(5,8)$ (5,8)
$66$ 6	$88$ 8	$(8,3)(8,3)$ (8,3)
$77$ 7	$1313$ 13	$(3,1)(3,1)$ (3,1)
$88$ 8	$2121$ 21	$(1,4)(1,4)$ (1,4)
$99$ 9	$3434$ 34	$(4,5)(4,5)$ (4,5)
$1010$ 10	$5555$ 55	$(5,9)(5,9)$ (5,9)

对任意自然数 $kk$ k 来说， $0≤(k mod 10)≤90\le (k\bmod 10) \le 9$ 0≤(kmod10)≤9 总是成立，所以 $an a_n$ an 的可能取值只有 $10×10=10010\times10=100$ 10×10=100 个（有的值可能取不到）。根据鸽笼原理， $a1,a2,⋯ ,a101 a_1,a_2,\cdots,a_{101}$ a1,a2,⋯,a101 这 $101101$ 101 个值必然有重复的（因为 $an a_n$ an 的可能取值只有 $100100$ 100 个）。假设第一个重复出现的值为 $adup a_{dup}$ adup 且 $adup = adup−t a_{dup}=a_{dup-t}$ adup=adup−t。那么从 $adup a_{dup}$ adup 开始，会有什么规律？

分析下标更大的项

注意到
$an=(Fn mod 10, Fn+1 mod 10) a_{n}=(F_{n}\bmod 10, F_{n+1} \bmod 10)$ an=(Fnmod10,Fn+1mod10)
$an+1 =( Fn+1 mod 10, Fn+2 mod 10) a_{n+1}=(F_{n+1}\bmod 10, F_{n+2} \bmod 10)$ an+1=(Fn+1mod10,Fn+2mod10)
$Fn+2 = Fn+1 +Fn F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ Fn+2=Fn+1+Fn

所以
$an+1 =( Fn+1 mod 10,( Fn+1 +Fn) mod 10) a_{n+1}=(F_{n+1}\bmod 10, (F_{n+1} + F_n) \bmod 10)$ an+1=(Fn+1mod10,(Fn+1+Fn)mod10)
$=(an$ $1$ ,(an $0$ +an $1$ ) mod 10) =(a_n $1$ , (a_n $0$ +a_n $1$ ) \bmod 10) =(an $1$ ,(an $0$ +an $1$ )mod10)

也就是说，从 $an a_{n}$ an 可以直接得出 $an+1 a_{n+1}$ an+1。既然 $adup = adup−t a_{dup}=a_{dup-t}$ adup=adup−t，那么必然有 ⬇️

$adup+1 = adup−t+1 a_{dup+1}=a_{dup-t+1}$ adup+1=adup−t+1
$adup+2 = adup−t+2 a_{dup+2}=a_{dup-t+2}$ adup+2=adup−t+2
$adup+3 = adup−t+3 a_{dup+3}=a_{dup-t+3}$ adup+3=adup−t+3
$⋯\cdots$ ⋯

所以一旦发现了第一个重复值 $adup a_{dup}$ adup，之后所有的值都会周期性出现（ $tt$ t 是它的一个周期）。那么随之而来的问题就是 $dupdup$ dup 具体是多少。

分析下标更小的项

刚才提到从 $an a_{n}$ an 可以直接得出 $an+1 a_{n+1}$ an+1，那么如果知道 $an+1 a_{n+1}$ an+1，能否反推出 $an a_n$ an 呢？我们试一试 ⬇️
$an=(Fn mod 10, Fn+1 mod 10) a_{n}=(F_{n}\bmod 10, F_{n+1} \bmod 10)$ an=(Fnmod10,Fn+1mod10)
$=(( Fn+2 − Fn+1 ) mod 10, Fn+1 mod 10) =((F_{n+2}-F_{n+1})\bmod 10,F_{n+1} \bmod 10)$ =((Fn+2−Fn+1)mod10,Fn+1mod10)
$=(( an+1$ $1$ − an+1 $0$ ) mod 10, an+1 $0$ ) =((a_{n+1} $1$ -a_{n+1} $0$ )\bmod 10,a_{n+1} $0$ ) =((an+1 $1$ −an+1 $0$ )mod10,an+1 $0$ )

看来从 $an+1 a_{n+1}$ an+1 也可以直接得出 $an a_{n}$ an。

有趣的部分来了。考虑到 $adup = adup+t a_{dup}=a_{dup+t}$ adup=adup+t，根据刚才提到的 "从 $an+1 a_{n+1}$ an+1 也可以直接得出 $an a_{n}$ an" 可知以下 $dupdup$ dup 个等式都成立 ⬇️

$adup = adup+t a_{dup}=a_{dup+t}$ adup=adup+t
$adup−1 = adup+t−1 a_{dup-1}=a_{dup+t-1}$ adup−1=adup+t−1
$adup−2 = adup+t−2 a_{dup-2}=a_{dup+t-2}$ adup−2=adup+t−2
$⋯\cdots$ ⋯
$a1= a1+t a_{1}=a_{1+t}$ a1=a1+t

所以 $a1+t a_{1+t}$ a1+t 会是第一个重复的值，它的值和 $a1 a_1$ a1 相等。如此说来，我们只要找到第一个和 $a1 a_1$ a1 相等的 $an a_n$ an（ $n≥2n\ge2$ n≥2），就可以得出周期 $t=n−1t=n-1$ t=n−1 了。

代码实战

我们可以将上述思路用 $Python3Python3$ Python3 来实现 ⬇️ （请将代码保存为 find_period.py）

python 复制代码

appeared_fib_pairs = set()
fib_pair = (1, 1)
n = 1
while True:
    if fib_pair in appeared_fib_pairs:
        break
    appeared_fib_pairs.add(fib_pair)
    print(f'{n}: {fib_pair}')
    next_fib_pair = (fib_pair[1], (fib_pair[0] + fib_pair[1]) % 10)
    fib_pair = next_fib_pair
    n += 1

用以下命令可以运行 find_period.py

bash 复制代码

python3 find_period.py

完整的运行结果如下

text 复制代码

1: (1, 1)
2: (1, 2)
3: (2, 3)
4: (3, 5)
5: (5, 8)
6: (8, 3)
7: (3, 1)
8: (1, 4)
9: (4, 5)
10: (5, 9)
11: (9, 4)
12: (4, 3)
13: (3, 7)
14: (7, 0)
15: (0, 7)
16: (7, 7)
17: (7, 4)
18: (4, 1)
19: (1, 5)
20: (5, 6)
21: (6, 1)
22: (1, 7)
23: (7, 8)
24: (8, 5)
25: (5, 3)
26: (3, 8)
27: (8, 1)
28: (1, 9)
29: (9, 0)
30: (0, 9)
31: (9, 9)
32: (9, 8)
33: (8, 7)
34: (7, 5)
35: (5, 2)
36: (2, 7)
37: (7, 9)
38: (9, 6)
39: (6, 5)
40: (5, 1)
41: (1, 6)
42: (6, 7)
43: (7, 3)
44: (3, 0)
45: (0, 3)
46: (3, 3)
47: (3, 6)
48: (6, 9)
49: (9, 5)
50: (5, 4)
51: (4, 9)
52: (9, 3)
53: (3, 2)
54: (2, 5)
55: (5, 7)
56: (7, 2)
57: (2, 9)
58: (9, 1)
59: (1, 0)
60: (0, 1)

可见 $an a_n$ an 的周期是 $6060$ 60，而 $an$ $0$ a_n $0$ an $0$ 就是斐波那契数列的个位数字，也就是说斐波那契数列的个位数字以 $6060$ 60 为周期，循环出现。